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blog/content/post/clj3.md

@@ -1,7 +1,7 @@
 +++
 title = "Clojure Sessions03"
 description = "Advanced Three Little Pigs - Calling Functions, Macros, Special Forms, and More"
-date = 2024-07-21T19:00:00-00:00
+date = 2024-07-24T19:00:00-00:00
 tags = ["OOP", "software", "engineering", "Clojure"]
 draft = true
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 # Introdução
 
-Bem-vindo à terceira sessão de Clojure! Neste artigo, vamos continuar a história dos três porquinhos, introduzindo conceitos avançados de Clojure como chamadas de funções, chamadas de macros, special forms, funções anônimas, e funções que retornam outras funções. Essas técnicas avançadas permitirão criar um código mais expressivo e poderoso.
+Bem-vindo à terceira sessão de Clojure! Vamos continuar a história dos três porquinhos, introduzindo conceitos como chamadas de funções, chamadas de macros, special forms, funções anônimas, e funções que retornam outras funções. Essas técnicas permitirão criar um código mais expressivo e poderoso.
 
 # Avançando com o Projeto
 

blog/content/post/fcs.md

@@ -0,0 +1,280 @@
++++
+title = "Math 01"
+description = "Capítulo 01"
+date = 2024-08-06T17:31:45-03:00
+tags = ["mathematics"]
+draft = false
+weight = 8
+author = "Vitor Lobo Ramos"
++++
+
+## Table of Contents
+
+- **[Introdução](#introdução)**
+- [Torre de Hanói](#torre-de-hanói)
+  - [Provando que Esta Fórmula é Correta](#provando-que-esta-fórmula-é-correta)
+  - [Resolvendo a Recorrência](#resolvendo-a-recorrência)
+- [O problema dos cortes](#o-problema-dos-cortes)
+- [Problema de Josephus](#problema-de-josephus)
+  - [Solução para o Caso Par](#solução-para-o-caso-par)
+- [Exercícios](#exercícios)
+  - [Todos os Cavalos São da Mesma Cor?](#todos-os-cavalos-são-da-mesma-cor)
+  - [Movendo Discos na Torre de Hanói](#movendo-discos-na-torre-de-hanói)
+
+
+
+O texto que escrevi abaixo é uma adaptação do capítulo 1 do livro **[Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science](https://www.amazon.com.br/Concrete-Mathematics-Foundation-Computer-Science/dp/0201558025)** de Ronald L. Graham, Donald E. Knuth e Oren Patashnik. Este livro foi pensado para ajudar estudantes a resolver problemas matemáticos que aparecem na programação de computadores, combinando ideias práticas e teóricas.
+
+Nos anos 1970, muitas pessoas começaram a questionar a forma como a matemática era ensinada nas escolas e universidades. Um dos autores do livro percebeu que precisava de novas ferramentas matemáticas para entender melhor a programação de computadores. Então, ele decidiu criar um novo curso chamado "Concrete Mathematics" (Matemática Concreta), ensinando as técnicas que ele desejava ter aprendido quando era estudante.
+
+A matemática abstrata se concentra em ideias gerais e conceitos amplos, sendo muito útil em diversas áreas. No entanto, às vezes ela se afasta das aplicações práticas do dia a dia. A matemática concreta, por outro lado, se foca em problemas específicos e técnicas práticas. É como um conjunto de ferramentas que podemos usar para resolver problemas reais. Vamos começar:
+
+## Torre de Hanói
+
+Vamos resolver um quebra-cabeça fascinante chamado "Torre de Hanói". Este quebra-cabeça foi inventado por um matemático francês chamado **[Edouard Lucas](https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%89douard_Lucas)** em 1883. A ideia é simples: temos uma torre de discos de diferentes tamanhos empilhados em ordem decrescente em um dos três pinos. O objetivo é mover toda a torre para um dos outros pinos, seguindo estas regras:
+
+1. Só é possível mover um disco de cada vez.
+2. Um disco maior nunca pode ser colocado sobre um disco menor.
+
+![Imagem da Torre de Hanói](https://cs.brynmawr.edu/cs380/Lec12/towers.png)
+
+Em vez 5 ou 64 discos, vamos considerar que temos $n$ discos. Isso nos ajuda a enxergar o problema em partes menores. Vamos dar nomes às coisas para facilitar. Vamos chamar $T_n$ o número mínimo de movimentos necessários para transferir $n$ discos de um pino para outro, seguindo as regras. Por exemplo:
+
+- $T_1$ é claramente 1, porque só precisamos de um movimento para um disco.
+- $T_2$ é 3, porque precisamos de três movimentos para dois discos.
+
+Para começar, vamos considerar o caso mais simples de todos: $T_0 = 0$, porque não precisamos de movimentos para transferir zero discos. Para transferir uma torre maior, podemos usar uma estratégia. Se temos três discos, podemos mover os dois menores para o pino do meio, depois mover o maior para o pino final e, em seguida, trazer os dois menores de volta para o pino final. Isso nos dá uma pista de como transferir $n$ discos:
+
+1. Primeiro, transferimos os $n - 1$ discos menores para outro pino (que precisa de $T_{n-1}$ movimentos).
+2. Depois, movemos o maior disco (que precisa de um movimento).
+3. Finalmente, transferimos os $n - 1$ discos menores de volta para o pino final (outros $T_{n-1}$ movimentos).
+
+Portanto, precisamos de $2T_{n-1} + 1$ movimentos para transferir $n$ discos, ou seja:
+
+$$
+T_n \leq 2T_{n-1} + 1
+$$
+
+Precisamos provar que essa fórmula é a melhor possível. Em algum momento, temos que mover o maior disco, e para fazer isso, os $n - 1$ discos menores precisam estar em um único pino, o que leva pelo menos $T_{n-1}$ movimentos. Depois de mover o maior disco, temos que trazer os $n - 1$ discos menores de volta para o maior disco, o que leva mais $T_{n-1}$ movimentos. Assim, temos:
+
+$$
+T_n \geq 2T_{n-1} + 1
+$$
+
+Portanto, a fórmula correta é:
+
+$$
+T_n = 2T_{n-1} + 1
+$$
+
+Podemos usar a fórmula para calcular $Tn$ para qualquer valor de $n$. Por exemplo:
+
+- $T3 = 2 \times 3 + 1 = 7$
+- $T4 = 2 \times 7 + 1 = 15$
+- $T5 = 2 \times 15 + 1 = 31$
+- $T6 = 2 \times 31 + 1 = 63$
+
+Parece que a fórmula geral é:
+
+$$
+T_n = 2^n - 1
+$$
+
+Para provar que esta fórmula é correta para todos os $n$, usamos um método chamado indução matemática. Primeiro, provamos a fórmula para o menor valor de $n$, que é $0$. Depois, mostramos que, se a fórmula é verdadeira para $n-1$, então é verdadeira para $n$. Isso nos dá uma maneira de provar que a fórmula funciona para qualquer valor de $n$.
+
+---
+
+## O problema dos cortes
+
+Vamos agora aprender sobre um problema interessante de matemática que envolve linhas e cortes. Imagine que você está cortando uma pizza com uma faca reta. A pergunta é: quantas fatias de pizza você pode obter ao fazer $n$ cortes retos? Vamos explorar essa questão e entender como resolver. Vamos começar com casos pequenos para entender melhor. Se não houver linhas (ou cortes), temos uma única região, que é a pizza inteira. Se fizermos um corte, obtemos duas fatias. Com dois cortes, conseguimos quatro fatias. Matematicamente, podemos representar esses casos assim:
+
+- $L0 = 1$ (sem cortes, uma fatia)
+- $L1 = 2$ (um corte, duas fatias)
+- $L2 = 4$ (dois cortes, quatro fatias)
+
+No entanto, quando adicionamos mais cortes, a situação fica um pouco mais complicada. Por exemplo, com três cortes, conseguimos dividir a pizza em sete fatias.
+
+![Imagem de pizza com mais cortes](link-para-imagem)
+
+Para entender quantas fatias obtemos com $n$ cortes, precisamos generalizar o problema. Vamos chamar $Ln$ o número máximo de regiões que podemos obter com $n$ linhas. Descobrimos que a fórmula geral é:
+
+$$
+L_n = L_{n-1} + n
+$$
+
+Isso significa que a quantidade máxima de regiões com $n$ cortes é igual à quantidade de regiões com $n-1$ cortes, mais $n$. Vamos "desdobrar" essa fórmula para entender melhor. Por exemplo, se quisermos calcular $L3$, podemos fazer isso assim:
+
+$$
+L_3 = L_2 + 3
+$$
+$$
+L_2 = L_1 + 2
+$$
+$$
+L_1 = L_0 + 1
+$$
+
+Substituindo as fórmulas, temos:
+
+$$
+L_3 = (L_1 + 2) + 3
+$$
+$$
+L_3 = ((L_0 + 1) + 2) + 3
+$$
+$$
+L_3 = (1 + 1 + 2) + 3
+$$
+$$
+L_3 = 7
+$$
+
+Então, com três cortes, obtemos sete fatias de pizza.
+
+![Imagem final de pizza com sete fatias](link-para-im
+
+agem)
+
+Agora, vamos entender a soma dos primeiros números inteiros. A fórmula geral para a soma dos primeiros $n$ números inteiros é:
+
+$$
+S_n = 1 + 2 + 3 + \ldots + n
+$$
+
+Um matemático chamado **[Gauss](https://pt.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss)** encontrou uma maneira inteligente de calcular essa soma. Ele percebeu que se somarmos a sequência normal com a sequência invertida, podemos simplificar o cálculo:
+
+$$
+S_n = 1 + 2 + 3 + \ldots + n
+$$
+$$
+S_n = n + (n-1) + (n-2) + \ldots + 1
+$$
+$$
+2S_n = (n+1) + (n+1) + (n+1) + \ldots + (n+1)
+$$
+
+Cada par de números soma $n+1$ e temos $n$ pares. Portanto, a fórmula para a soma dos primeiros $n$ números inteiros é:
+
+$$
+S_n = \frac{n(n + 1)}{2}
+$$
+
+Usando a soma dos primeiros $n$ números inteiros, podemos encontrar a fórmula final para o número máximo de regiões criadas por $n$ linhas:
+
+$$
+L_n = \frac{n(n + 1)}{2} + 1
+$$
+
+Isso significa que, se fizermos $n$ cortes em uma pizza, o número máximo de fatias que podemos obter é dado por essa fórmula. Vamos recapitular:
+
+1. Sem cortes, temos uma fatia de pizza.
+2. Com um corte, temos duas fatias.
+3. Com dois cortes, temos quatro fatias.
+4. Com três cortes, temos sete fatias.
+
+Usamos a fórmula geral para calcular o número máximo de regiões (ou fatias) criadas por $n$ cortes:
+
+$$
+L_n = \frac{n(n + 1)}{2} + 1
+$$
+
+Espero que esta explicação tenha ajudado a entender como funciona o problema dos cortes na pizza e a matemática por trás dele!
+
+---
+
+## Problema de Josephus
+
+Esse problema envolve pessoas dispostas em círculo, onde uma pessoa é eliminada a cada rodada até que reste apenas uma. Vamos descobrir como determinar a posição da pessoa que sobrevive.
+
+Imagine que temos 10 pessoas numeradas de 1 a 10 em um círculo. Começamos eliminando a segunda pessoa, depois a quarta, e assim por diante, até restar apenas uma pessoa. A ordem de eliminação seria: 2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9. A pessoa que sobrevive é a número 5. Nosso objetivo é encontrar a posição do sobrevivente, que chamamos de $J(n)$, onde $n$ é o número total de pessoas.
+
+Primeiro, tentamos observar um padrão para encontrar uma fórmula. Percebemos que, quando $n$ é 10, $J(10) = 5$. Tentamos adivinhar que $J(n) = n/2$ quando $n$ é par, mas isso não funciona para todos os casos. Vamos então olhar para casos menores:
+
+- $J(1) = 1$
+- $J(2) = 1$
+- $J(3) = 3$
+- $J(4) = 1$
+- $J(5) = 3$
+- $J(6) = 5$
+
+Parece que $J(n)$ é sempre um número ímpar.
+
+### Solução para o Caso Par
+
+Se temos $2n$ pessoas, após a primeira rodada todas as pessoas com números pares são eliminadas. Ficamos com a sequência: 1, 3, 5, ..., 2n-1. Isso é como começar com $n$ pessoas, mas cada número foi duplicado e subtraído por 1. Portanto, a fórmula é:
+
+$J(2n) = 2J(n) - 1$
+
+Se sabemos que $J(10) = 5$, então para $20$ pessoas:
+
+$J(20) = 2J(10) - 1 = 2 \times 5 - 1 = 9$
+
+Se temos $2n + 1$ pessoas, a pessoa número 1 é eliminada logo após a pessoa número $2n$. Ficamos com a sequência: 3, 5, 7, ..., 2n-1, 2n+1. Isso é como começar com $n$ pessoas, mas cada número foi duplicado e somado com 1. Portanto, a fórmula é:
+
+$J(2n + 1) = 2J(n) + 1$
+
+Combinando essas fórmulas e começando com $J(1) = 1$, temos:
+
+$J(1) = 1$
+$J(2n) = 2J(n) - 1$
+$J(2n + 1) = 2J(n) + 1$
+
+Podemos construir uma tabela para valores pequenos de $n$ para observar o padrão:
+
+| n  | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
+|----|---|---|---|---|---|---|---|---|---|----|----|----|----|----|----|----|
+| J(n)| 1 | 1 | 3 | 1 | 3 | 5 | 7 | 1 | 3 |  5 |  7 |  9 | 11 | 13 | 15 |  1 |
+
+Percebemos que $J(n)$ é sempre 1 no início de cada grupo que é potência de 2, e aumenta de 2 em 2 dentro do grupo. Se escrevermos $n$ na forma $2^m + l$, onde $2^m$ é a maior potência de 2 menor ou igual a $n$ e $l$ é o resto, a solução parece ser:
+
+$J(2^m + l) = 2l + 1$
+
+Para provar essa fórmula, usamos indução matemática. Quando $m = 0$, temos $l = 0$ e a base da indução é $J(1) = 1$, que é verdadeira. Para o passo da indução, assumimos que a fórmula é verdadeira para $m$ e provamos para $m+1$. No Problema de Josephus, a posição do sobrevivente pode ser encontrada usando as fórmulas:
+
+- Para $2n$ pessoas: $J(2n) = 2J(n) - 1$
+- Para $2n + 1$ pessoas: $J(2n + 1) = 2J(n) + 1$
+
+Usamos essas fórmulas para construir uma tabela de valores pequenos e observar padrões que nos ajudam a generalizar a solução.
+
+---
+
+## Exercícios
+
+### Todos os Cavalos São da Mesma Cor?
+
+Suponha que você tenha um grupo de cavalos. Prove por indução que todos os cavalos desse grupo têm a mesma cor.
+
+1. **Base da indução:** Mostre que a proposição é verdadeira para um grupo de um cavalo.
+2. **Passo da indução:** Suponha que a proposição é verdadeira para um grupo de \(k\) cavalos. Prove que ela também é verdadeira para um grupo de \(k+1\) cavalos.
+
+###  Movendo Discos na Torre de Hanói
+
+Resolva o problema da Torre de Hanói para diferentes valores de \(n\).
+
+1. Calcule $T_n$ para $n = 4, 5, 6, 7$.
+2. Verifique se a fórmula $T_n = 2^n - 1$ é válida para os valores calculados.
+3. Prove por indução matemática que a fórmula $T_n = 2^n - 1$ é correta para todos os valores de $n$.
+
+###  Problema dos Cortes na Pizza
+
+Determine o número máximo de fatias de pizza que podem ser obtidas com $n$ cortes retos.
+
+1. Calcule $L_n$ para $n = 3, 4, 5, 6$.
+2. Verifique se a fórmula $L_n = \frac{n(n + 1)}{2} + 1$ é válida para os valores calculados.
+3. Prove por indução matemática que a fórmula $L_n = \frac{n(n + 1)}{2} + 1$ é correta para todos os valores de $n$.
+
+###  Problema de Josephus
+
+Encontre a posição do sobrevivente no Problema de Josephus para diferentes números de pessoas.
+
+1. Calcule $J(n)$ para $n = 5, 10, 15, 20$.
+2. Verifique se a fórmula $J(2n) = 2J(n) - 1$ e $J(2n + 1) = 2J(n) + 1$ é válida para os valores calculados.
+3. Prove por indução matemática que a fórmula $J(2^m + l) = 2l + 1$ é correta para todos os valores de $n$.
+
+###  Soma dos Primeiros Números Inteiros
+
+Prove a fórmula da soma dos primeiros $n$ números inteiros.
+
+1. Calcule $S_n$ para $n = 4, 5, 6, 7$.
+2. Verifique se a fórmula $S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$ é válida para os valores calculados.
+3. Prove por indução matemática que a fórmula $S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$ é correta para todos os valores de $n$.