Guía de Estudio: Extremos Relativos

1. Definición de Extremos Relativos

Un punto ( (x_0, f(x_0)) ) es un extremo relativo de una función ( f(x) ) si es un máximo o mínimo local.

• Máximo Relativo: ( f(x_0) \geq f(x) ) para todo ( x ) en un entorno de ( x_0 ).
• Mínimo Relativo: ( f(x_0) \leq f(x) ) para todo ( x ) en un entorno de ( x_0 ).

2. Condiciones Necesarias (Criterio de la 1ª Derivada)

Para encontrar los extremos relativos, primero calculamos la derivada de la función ( f'(x) ) y encontramos los puntos donde ( f'(x) = 0 ) o donde ( f'(x) ) no existe. Estos puntos son llamados puntos críticos.

Puntos Críticos

Los puntos críticos son aquellos valores de ( x ) donde la derivada de la función se anula o no existe. Es decir:

[ f'(x_0) = 0 \quad \text{o} \quad f'(x) \text{ no existe en } x_0 ]

Pasos para Encontrar los Puntos Críticos

1. Calcula la derivada primera ( f'(x) ).
2. Resuelve la ecuación ( f'(x) = 0 ) para encontrar los puntos críticos.
3. Verifica si ( f'(x) ) no existe en algún punto para identificar otros posibles puntos críticos.

3. Criterio de la 2ª Derivada

El criterio de la segunda derivada se usa para clasificar los puntos críticos encontrados:

• Si ( f''(x_0) > 0 ), entonces ( x_0 ) es un mínimo relativo.
• Si ( f''(x_0) < 0 ), entonces ( x_0 ) es un máximo relativo.
• Si ( f''(x_0) = 0 ), el test es inconcluso y es necesario realizar un análisis adicional (por ejemplo, utilizando la tabulación).

4. Método de Tabulación para Graficar Extremos Relativos

Paso 1: Crear una Tabla de Valores

Construir una tabla con valores de ( x ) alrededor del punto crítico ( x_0 ). Para ello:

1. Escoge valores de ( x ) cercanos a ( x_0 ) (a la izquierda y a la derecha).
2. Calcula ( f(x) ) para esos valores de ( x ).

La tabla tendrá la siguiente estructura:

( x )	( f(x) )	( f'(x) )	( f''(x) )
( x_0 - h )	( f(x_0 - h) )	( f'(x_0 - h) )	( f''(x_0 - h) )
( x_0 )	( f(x_0) )	( f'(x_0) )	( f''(x_0) )
( x_0 + h )	( f(x_0 + h) )	( f'(x_0 + h) )	( f''(x_0 + h) )

Paso 2: Análisis de los Valores

Para identificar si ( x_0 ) es un máximo o mínimo relativo:

• Si ( f(x_0) > f(x_0 - h) ) y ( f(x_0) > f(x_0 + h) ), entonces ( x_0 ) es un máximo local.
• Si ( f(x_0) < f(x_0 - h) ) y ( f(x_0) < f(x_0 + h) ), entonces ( x_0 ) es un mínimo local.

Paso 3: Graficar

Una vez completada la tabla, coloca los valores de ( x ) y ( f(x) ) en un sistema de coordenadas. Observa la curva resultante para confirmar si el punto ( x_0 ) es un extremo relativo.

• Eje X: ( x_0 - h, x_0, x_0 + h )
• Eje Y: ( f(x_0 - h), f(x_0), f(x_0 + h) )

5. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: ( f(x) = x^3 - 3x + 2 )

1. Derivada:

[ f'(x) = 3x^2 - 3 ]

Resolviendo ( f'(x) = 0 ):

[ 3x^2 - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1 ]

2. Segunda Derivada:

[ f''(x) = 6x ]

Evaluando en los puntos críticos:

• ( f''(1) = 6 > 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 ) es un mínimo relativo.
• ( f''(-1) = -6 < 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 ) es un máximo relativo.

Tabla de Valores para ( f(x) = x^3 - 3x + 2 ):

( x )	( f(x) )	( f'(x) )	( f''(x) )
( -2 )	( -6 )	( 15 )	( -12 )
( -1 )	( 6 )	( 0 )	( -6 )
( 0 )	( 2 )	( -3 )	( 0 )
( 1 )	( 0 )	( 0 )	( 6 )
( 2 )	( 4 )	( 9 )	( 12 )

Análisis:

• ( f(x_0) > f(x_0 - h) ) y ( f(x_0) > f(x_0 + h) ) para ( x_0 = -1 ): máximo local.
• ( f(x_0) < f(x_0 - h) ) y ( f(x_0) < f(x_0 + h) ) para ( x_0 = 1 ): mínimo local.

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Ejemplo 2: ( f(x) = x^2 - 4x + 4 )

1. Derivada:

[ f'(x) = 2x - 4 ]

Resolviendo ( f'(x) = 0 ):

[ 2x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 ]

2. Segunda Derivada:

[ f''(x) = 2 ]

Evaluando en ( x = 2 ):

• ( f''(2) = 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 ) es un mínimo relativo.

Tabla de Valores para ( f(x) = x^2 - 4x + 4 ):

( x )	( f(x) )	( f'(x) )	( f''(x) )
( 0 )	( 4 )	( -4 )	( 2 )
( 1 )	( 1 )	( -2 )	( 2 )
( 2 )	( 0 )	( 0 )	( 2 )
( 3 )	( 1 )	( 2 )	( 2 )
( 4 )	( 4 )	( 4 )	( 2 )

Análisis:

• ( f(x_0) < f(x_0 - h) ) y ( f(x_0) < f(x_0 + h) ) para ( x_0 = 2 ): mínimo local.

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Ejemplo 3: ( f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2 )

1. Derivada:

[ f'(x) = 3x^2 - 4x - 1 ]

Resolviendo ( f'(x) = 0 ):

[ 3x^2 - 4x - 1 = 0 ]

Las soluciones son ( x \approx -0.2 ) y ( x \approx 2.2 ).

2. Segunda Derivada:

[ f''(x) = 6x - 4 ]

Evaluando en los puntos críticos:

• ( f''(-0.2) = -4.4 < 0 \quad \Rightarrow \quad x = -0.2 ) es un máximo relativo.
• ( f''(2.2) = 8.4 > 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2.2 ) es un mínimo relativo.

Tabla de Valores para ( f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2 ):

( x )	( f(x) )	( f'(x) )	( f''(x) )
( -1 )	( 4 )	( 15 )	( -12 )
( -0.2 )	( 5.072 )	( 1.52 )	( -4.4 )
( 0 )	( 2 )	( -3 )	( -4 )
( 1 )	( 0 )	( -3 )	( 2 )
( 2.2 )	( -2.488 )	( -7.256 )	( 8.4 )

Análisis:

• ( f(x_0) > f(x_0 - h) ) y ( f(x_0) > f(x_0 + h) ) para ( x_0 = -0.2 ): máximo local.
• ( f(x_0) < f(x_0 - h) ) y ( f(x_0) < f(x_0 + h) ) para ( x_0 = 2.2 ): mínimo local.

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6. Consejos para Identificar el Comportamiento de la Curva

1. Puntos Críticos: Los puntos donde la derivada se hace cero o no existe son lugares donde la pendiente de la curva se iguala a cero, y pueden indicar un máximo, mínimo o punto de inflexión.
2. Comportamiento de la Curva: Al analizar la tabla de valores y graficar la función, observa cómo se comporta la curva alrededor de los puntos críticos para identificar si son máximos o mínimos locales.

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