Added my labs 3.2.2 and 3.1.3

3.2.2/Abakshin_V/3.2.2.tex

@@ -0,0 +1,149 @@
+\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
+
+\usepackage[english, russian]{babel}
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{mathtext}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{ amssymb }
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{graphics}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{wrapfig}
+\usepackage{geometry}
+\usepackage{float}
+\geometry{
+	a4paper,
+	total={170mm, 257mm},
+	left=20mm,
+	top=10mm}
+
+\title{Лабораторная работа 3.2.2 \\ Резонанс напряжений в последовательном контуре}
+\author{Абакшин Василий, Б05-207}
+\date{8 ноября 2023 г.}
+\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
+\usepackage{float}
+\begin{document}
+	\maketitle
+	\subsection*{Краткая теория}
+	Импеданс последовательного контура:
+	\[Z = Z_R + Z_C + Z_L = R + \frac{1}{iwC} + iwL\]
+	Ток в цепи:
+	\[I = \frac{\E}{Z} = \frac{\E}{R + \frac{1}{iwC} + iwL}\]
+	С учетом характеристик цепи: $w_0^2 = \frac{1}{LC}, \ \delta = \frac{R}{2L}$ получаем напряжения на всех элементах:
+	\[U_C = IZ_C = \frac{\E}{R + \frac{1}{iwC} + iwL} \cdot \frac{1}{iwC} = \frac{\E}{1 - w^2LC + iwCR} = \frac{\E w_0^2}{w_0^2 - w^2 + 2i\delta w}\]
+	\[U_L = IZ_L = \frac{\E w^2}{w^2 - w_0^2 - 2i\delta w}\]
+
+	\[U_R = IR = \frac{\E 2i\delta w}{w_0^2 - w^2 + 2i\delta w}\]
+	Если контур обладает хорошей добротностью $Q = \frac{w_0}{2\delta}$, то резонансная частота $w_\text{рез} \approx w_0$, на которой в $Q$ раз увеличивается напряжение на конденсаторе и катушке:
+	\[U_C = -i\E \frac{w_0}{2\delta} = -i\E Q, \quad U_L = i\E \frac{w_0}{2\delta} = i\E Q, \quad U_R = \E \]
+	Напряжения на катушке и конденсаторе находятся в противофазе, и всё напряжение источника находится на активном сопротивлении.\\
+	Добротность можно также измерить по амплитудно-частотной характеристике: \[Q = \frac{w_0}{2\Delta w}\] где $2\Delta w$ - ширина резонансной кривой на уровне $U = \frac{U_{\text{рез}}}{\sqrt{2}}$.
+
+	\subsection*{Установка}
+	Последовательный контур подключен к источнику напряжения, на который подается сигнал с генератора.
+	$R_L$ и $R_C$ - активные сопротивления катушки и конденсатора. Напряжения снимаются вольтметрами 1 и 2 со всей цепи и с конденсатора соответственно.
+	\begin{figure}[h!]
+		\centering
+		\includegraphics[width = \textwidth]{Цепь}
+		\caption{Схема экспериментальной цепи}
+	\end{figure}
+	\newpage
+	\subsection*{Ход работы и обработка результатов}
+	\begin{table}[h!]
+	\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
+		\hline
+		$n$ & $C_n$, нФ & \begin{tabular}[c]{@{}c@{}}$f_{0n}$, \\ кГц\end{tabular} & $U_C$, В & $E$, В & \begin{tabular}[c]{@{}c@{}}$L$, \\ мкГн\end{tabular} & $Q$ & \begin{tabular}[c]{@{}c@{}}$\rho$, \\ Ом\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}c@{}}$R_{\sum}$, \\ Ом\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}c@{}}$R_{S_{\max}}$,\\ Ом\end{tabular} & $R_L$, Ом & $I$, мА \\ \hline
+		1 & 25,0 & 31,34 & 4,92 & 0,2 & 1031,58 & 24,61 & 203,13 & 8,25 & 0,203 & 4,60 & 24,22 \\ \hline
+		2 & 33,2 & 27,36 & 4,41 & 0,2 & 1019,22 & 22,07 & 175,21 & 7,94 & 0,175 & 4,31 & 25,17 \\ \hline
+		3 & 47,5 & 23,00 & 3,84 & 0,2 & 1008,07 & 19,23 & 145,68 & 7,58 & 0,146 & 3,98 & 26,36 \\ \hline
+		4 & 57,2 & 21,01 & 3,55 & 0,2 & 1003,21 & 17,79 & 132,43 & 7,45 & 0,132 & 3,86 & 26,81 \\ \hline
+		5 & 67,4 & 19,45 & 3,17 & 0,2 & 993,44 & 15,90 & 121,41 & 7,63 & 0,121 & 4,06 & 26,11 \\ \hline
+		6 & 82,1 & 17,57 & 3,04 & 0,2 & 999,43 & 15,25 & 110,33 & 7,23 & 0,110 & 3,67 & 27,55 \\ \hline
+		7 & 99,6 & 15,99 & 2,81 & 0,2 & 994,68 & 14,10 & 99,93 & 7,08 & 0,099 & 3,53 & 28,12 \\ \hline
+		\multicolumn{5}{|c|}{Среднее значение} & 1007,09 & \multicolumn{4}{c|}{--} & 4,00 & -- \\ \hline
+		\multicolumn{5}{|c|}{Случайная погрешность} & 13,91 & \multicolumn{4}{c|}{--} & 0,36 & -- \\ \hline
+	\end{tabular}
+	\caption{Измерение резонансных частот и характеристик контура}
+	\end{table}
+	Относительный вклад активных потерь на конденсаторах: $\frac{R_{S_{max}}}{R_{\sum}} \leq 2,4 \% $, среднее значение $1,8 \%$. Также полученные данные имеют систематическую погрешность ввиду погрешности вольтметра $\varepsilon_{U_C} = \leq 3\%$ и погрешности измерения резонансной частоты, примем её за $\varepsilon_f = 1 \%$. Тогда получаем следующие относительные систематические погрешности для полученных величин:
+	\begin{table}[h!]
+		\centering
+		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
+			\hline
+			$L$ & $Q$ & $\rho$ & $R_{\sum}$ & $R_{S_{max}}$ & $R_L$ & $I$ \\ \hline
+			2\% & 3\% & 1\% & 3,2\% & 1\% & 6\% & 3,2\% \\ \hline
+		\end{tabular}
+		\caption{Относительные систематические погрешности величин}
+	\end{table}
+
+	Также были сняты данные для амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик для емкостей $C_2 = 33,2$ нФ и $C_6 = 82,1$ нФ. Для АЧХ получился следующий график:
+
+	\begin{figure}[h]
+		\includegraphics[width = \textwidth]{2AFCH}
+		\caption{АЧХ для емкостей $C_2$ (справа) и $C_6$(слева)}
+	\end{figure}
+
+	Видно, что большей емкости отвечает кривая с большей шириной (так как добротность ниже). Измерим добротности с помощью ширины резонансной кривой на графике в относительном масштабе. Получились следующие значения:
+
+	\begin{table}[h]
+		\centering
+		\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
+			\hline
+			$n$ & $C$, нФ & $\frac{2\Delta \nu}{\nu_0}$ & $Q$ \\ \hline
+			2 & 33,2 & 0,0452 & 22,12 \\ \hline
+			6 & 82,1 & 0,077 & 12,99 \\ \hline
+		\end{tabular}
+		\caption{Расчет добротности по ширине АЧХ}
+	\end{table}
+
+	Рассчитаем также добротность по ФЧХ: измерим ширину кривой, которая ограничивается значениями $\frac{\Delta \phi}{\pi}$ от 0,25 до 0,75, получим следующие значения добротностей:
+
+	\begin{figure}[H]
+		\centering
+		\includegraphics[width = 0.85\textwidth, height = 0.44\textheight]{LinedAFCH}
+		\caption{АЧХ в относительном масштабе}
+	\end{figure}
+
+	\begin{figure}[H]
+		\centering
+		\includegraphics[width = 0.85\textwidth, height = 0.44\textheight]{LinedPhFCH}
+		\caption{ФЧХ в относительном масштабе}
+	\end{figure}
+
+	\begin{table}[h]
+		\centering
+		\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
+			\hline
+			$n$ & $C$, нФ & $\frac{2\Delta \nu}{\nu_0}$ & $Q$ \\ \hline
+			2 & 33,2 & 0,043 & 23,26 \\ \hline
+			6 & 82,1 & 0,072 & 13,89 \\ \hline
+		\end{tabular}
+		\caption{Расчет добротности по ширине ФЧХ}
+	\end{table}
+
+	Построим теперь график зависимость $R_L(\nu)$.
+
+	\begin{figure}[h]
+		\centering
+		\includegraphics[width = \textwidth]{LinedR_L}
+		\caption{Зависимость $R_L(\nu)$}
+	\end{figure}
+
+	Значения отклоняются от среднего достаточно сильно, прослеживается почти линейная зависимость от частоты. Из возможных причин можно выделить влияние скин-эффекта, из-за которого ток вытесняется на поверхность проводника и течет по меньшему сечению.
+	\newpage
+
+	\begin{wrapfigure}{l}{0,35\textwidth}
+		\includegraphics[height = 0.5\textheight]{Vector_diagram}
+		\caption{Векторная диаграмма напряжений}
+	\end{wrapfigure}
+
+	Требуется также построить векторные диаграммы токов и напряжений при резонансе для контура с минимальной добротностью. Так как контур последовательный, то токи будут находится на всех элементах в одной фазе. А вот с напряжением ситуация другая: напряжения на конденсаторе и катушке почти в противофазе, причем из напряжение на катушке опережает $\E$ на $\frac{\pi}{2}$, а напряжение на конденсаторе отстаёт от $\E$ на $\frac{\pi}{2}$.
+	$U_L$ расположена под углом $\varphi = 87,6$\textdegree, так как на катушке есть еще активное сопротивление $R_L$. $\tg{\varphi}$ можно рассчитать как $\frac{U_{C_{\text{рез}}}}{IR_L}$. 
+
+	\subsection*{Выводы}
+
+	В данной лабораторной работе был исследован резонанс напряжений в последовательном контуре и вычислены добротности контуров с различными значениями емкости несколькими способами. Так как получившиеся ФЧХ и АЧХ не очень точны ввиду небольшого числа точек и их неравномерности, то погрешность при расчете добротности через ширину резонансных кривых достаточно велика. Однако, рассчет по АЧХ получился достаточно точным в случае контура с $C_2$. В любом случае, это явно не лучший способ измерять добротность контура, гораздо точнее измерение по формулам через параметры контура. 
+
+	Было замечено, что активное сопротивление $R_L$ катушки не является постоянным и линейно растет с частотой. Объяснение этому, скорее всего, кроется в скин-эффекте. 
+\end{document}