10-seongwon030

[seongwon030]

🔗 문제 링크

연속 합

문제

대부분의 양의 정수는 적어도 2개 이상의 연속된 자연수의 합으로 나타낼 수 있다.

예를 들면 다음과 같다.

6 = 1 + 2 + 3

9 = 5 + 4 = 4 + 3 + 2

하지만, 8은 연속된 자연수 합으로 나타낼 수가 없다.

자연수 N이 주어졌을 때, 이 수를 적어도 2개 이상의 연속된 자연수의 합으로 나타낼 수 있는 경우의 수를 출력하시오.

✔️ 소요된 시간

1시간 30분

✨ 수도 코드

연속합이니까 어디까지 탐색을 해야할까 고민을 해봤다. 제곱근부터 생각해봤는데 n=1800 일 때 제곱근이 42..xx였다. 근데 1800을 45로 나눈 몫이 40이고 , 그렇다면 40을 기준 양옆으로 22개씩 연속합을 계산해도 연속합에 포함되는 값이 턱없이 많이 남는다.

해결

나누는 수를 j , 나눈 몫을 center 라고 하면 j는 연속합 구간의 정수의 개수를 의미한다. center는 그 구간의 중앙값을 의미한다. center값은 소수점자리를 없애버리고 정수로 설정해줬다. cnt는 경우의 수다. (j//2 는 중앙값을 기준으로 양옆으로 더할 정수의 개수가 된다.)

1. j가 짝수일 때 -> center가 중앙값이 아니므로 연속합은 (center + center+1) x (j를 2로 나눈 몫)
2. j가 홀수일 때 -> center가 중앙값이므로 center + center x 2 x (j//2)
   제일 중요한 것은 어디까지 탐색해야 되는가 인데 center 기준으로 앞으로 j//2 번째까지 탐색이 가능해야 하니 center가 j//2보다 작기 전까지 반복하면 된다!

import math

n = int(input())
for i in range(n):
    cnt = 0
    k = int(input())
    j = 2 # 적어도 2개 이상의 연속된 자연수의 합
    while True:
        center = math.floor(k / j)  # center 값을 초기화
        div = j // 2
        if center < div:
          break
        if j % 2 == 0:
            if ((center + center + 1) * div == k):
                cnt += 1
        elif j % 2 == 1:
            if ((center * 2 * div + center) == k):
                cnt += 1
        j += 1
    print(cnt)

📚 새롭게 알게된 내용

어디까지 탐색해야 하는지 집중하니 생각보다 빨리 풀리는 것 같다.

[InSange]

저는 아직 풀어보지 않았지만 k값이 주어졌을 때 최소 j = 2개부터 ~ n/2 까지 생각해봤습니다.
ex) 6의 경우 1 + 2 + 3과 같이 개수가 6/2개이기 때문이다.
이렇게 j문을 돌려서 k/j의 값을 기점으로 j개만큼 좌 우 탐색하여 값을 더해주면 연속합이 되지 않을까 생각했습니다. 해당 공식을 어떻게 찾았는지 알 수 있을까요?

[InSange]

해당 부분 div에 대해서 좀 더 상세한 설명이 가능할까요?
j는 k에 대한 연속합을 위한 개수를 적용했을때 왜 j//2가 적용이 되는지 궁금하네요!

[seongwon030]

해당 부분 div에 대해서 좀 더 상세한 설명이 가능할까요? j는 k에 대한 연속합을 위한 개수를 적용했을때 왜 j//2가 적용이 되는지 궁금하네요!

center_first 는 중앙값이고 j는 연속합에 포함되는 정수의 개수라고 한다면, div=j//2 는 중앙값을 기준으로 앞에 최소 j//2 개 이상의 정수가 있어야 연속합이 존재하게 됩니다 !

[yuyu0830]

문제가 재미있어보여서 저도 한번 풀어봤습니다. 접근은 서송이님이랑 조금 다르게 했어요.
우선 문제는 크게 2개로 분할 가능합니다.

1. n개의 자연수의 합으로 나타낼 때 n의 탐색 범위는 어디까지인가
2. n개의 자연수의 합으로 나타낼 수 있는가

탐색 범위

우선 n개의 자연수를 더할 때 가장 작은 경우의 수는 1부터 n까지 등차수열의 합공식을 통해 확인할 수 있습니다.
n * (n + 1) / 2
즉 해당 n의 값에 따른 범위를 구할 수 있습니다.

• 1 : 1
• 2 : 2~3
• 3 : 4~6
• 4 : 7~10
• ...

하지만 우리는 자연수 x를 표현할 수 있는 자연수의 연속합 중 가장 n의 크기를 구해야하기 때문에 역으로 x가 주어졌을 때 n의 최대값을 구해야합니다. 따라서 아래와 같이 구현했습니다.

int n = (int) sqrt((t * 2) - (int) sqrt(t * 2));

이 식 구하는데 상당히 고생 했습니다...

자연수의 합 가능 여부

n개의 연속된 자연수를 더한 값 t는 등차수열의 합공식에 따라 다음과 같이 표기됩니다.
t = n * (n + 1) / 2

여기서 양 변을 n으로 모듈러 연산을 해보면 두개의 항으로 나뉩니다.
t % n = {n * (n + 1) / 2} % n = ((n^2 / 2) % n) + {(n / 2) % n}
이 식을 통해 짝수와 홀수인 경우에 따라 우변의 값이 달라집니다.

1. n이 짝수인 경우
   t % n == n / 2
   (n^2 / 2) % n 은 n이 짝수인 경우 {n * (n / 2)} % n 이기 때문에 0이 된다
   {(n / 2) % n} 는 n / 2가 n보다 작기 때문에 n / 2가 되어 결국 우변은 n / 2 + 0 = n / 2가 된다.

2. n이 홀수인 경우
   t % n == 0
   (n^2 / 2) % n 의 경우 짝수와 똑같이 {n * (n / 2)} % n 이지만 n / 2가 정수로 나누어떨어지지 않기 때문에 n / 2 만큼이 남게된다.
   {(n / 2) % n} 는 짝수와 같이 n / 2가 남는다.
   결과적으로 우변에 (n / 2 + n / 2) % n = n % n = 0 이 된다.

소스코드

#include <iostream>
#include <math.h>

using namespace std;

int main() {
    int n; cin >> n;
    while (n--) {
        int t; cin >> t;
        int p = (int) sqrt((t * 2) - (int) sqrt(t * 2)), ans = 0;

        for (int i = 2; i <= p; i += 2) if (t % i == i / 2) ans++;
        for (int i = 3; i <= p; i += 2) if (!(t % i)) ans++;

        printf("%d\n", ans);
    }
}

역시 수학 문제가 재밌네요

[seongwon030]

int n = (int) sqrt((t * 2) - (int) sqrt(t * 2));

이 식 구하는데 상당히 고생 했습니다...

자연수의 합 가능 여부

n개의 연속된 자연수를 더한 값 t는 등차수열의 합공식에 따라 다음과 같이 표기됩니다. t = n * (n + 1) / 2

연속합이라 등차수열의 합을 쓸 수 있었네요. 그걸 이용해서 공식을 구하다니 .. 한 수 배워갑니다.

[dhlee777]

구간의 중앙값(center)와 구간의 크기(j)를 활용하여 문제를 해결하는 방식이 인상깊었슴니다.또한 center < div: 일경우 break 해줌으로써 탐색범위를 잘잡아주어 불필요한 연산을 줄일 수 있었던거 같네요.. 깔끔한 코드 잘보고 갑니다!