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动态规划之博弈问题.md

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动态规划之博弈问题

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读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便去 LeetCode 上拿下如下题目:

877.石子游戏

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上一篇文章 几道智力题 中讨论到一个有趣的「石头游戏」,通过题目的限制条件,这个游戏是先手必胜的。但是智力题终究是智力题,真正的算法问题肯定不会是投机取巧能搞定的。所以,本文就借石头游戏来讲讲「假设两个人都足够聪明,最后谁会获胜」这一类问题该如何用动态规划算法解决。

博弈类问题的套路都差不多,下文参考 这个 YouTube 视频 的思路讲解,其核心思路是在二维 dp 的基础上使用元组分别存储两个人的博弈结果。掌握了这个技巧以后,别人再问你什么俩海盗分宝石,俩人拿硬币的问题,你就告诉别人:我懒得想,直接给你写个算法算一下得了。

我们「石头游戏」改的更具有一般性:

你和你的朋友面前有一排石头堆,用一个数组 piles 表示,piles[i] 表示第 i 堆石子有多少个。你们轮流拿石头,一次拿一堆,但是只能拿走最左边或者最右边的石头堆。所有石头被拿完后,谁拥有的石头多,谁获胜。

石头的堆数可以是任意正整数,石头的总数也可以是任意正整数,这样就能打破先手必胜的局面了。比如有三堆石头 piles = [1, 100, 3],先手不管拿 1 还是 3,能够决定胜负的 100 都会被后手拿走,后手会获胜。

假设两人都很聪明,请你设计一个算法,返回先手和后手的最后得分(石头总数)之差。比如上面那个例子,先手能获得 4 分,后手会获得 100 分,你的算法应该返回 -96。

这样推广之后,这个问题算是一道 Hard 的动态规划问题了。博弈问题的难点在于,两个人要轮流进行选择,而且都贼精明,应该如何编程表示这个过程呢?

还是强调多次的套路,首先明确 dp 数组的含义,然后和股票买卖系列问题类似,只要找到「状态」和「选择」,一切就水到渠成了。

一、定义 dp 数组的含义

定义 dp 数组的含义是很有技术含量的,同一问题可能有多种定义方法,不同的定义会引出不同的状态转移方程,不过只要逻辑没有问题,最终都能得到相同的答案。

我建议不要迷恋那些看起来很牛逼,代码很短小的奇技淫巧,最好是稳一点,采取可解释性最好,最容易推广的设计思路。本文就给出一种博弈问题的通用设计框架。

介绍 dp 数组的含义之前,我们先看一下 dp 数组最终的样子:

1

下文讲解时,认为元组是包含 first 和 second 属性的一个类,而且为了节省篇幅,将这两个属性简写为 fir 和 sec。比如按上图的数据,我们说 dp[1][3].fir = 10dp[0][1].sec = 3

先回答几个读者可能提出的问题:

这个二维 dp table 中存储的是元组,怎么编程表示呢?这个 dp table 有一半根本没用上,怎么优化?很简单,都不要管,先把解题的思路想明白了再谈也不迟。

以下是对 dp 数组含义的解释:

dp[i][j].fir 表示对于 piles[i...j] 这部分石头堆先手能获得的最高分数dp[i][j].sec 表示对于 piles[i...j] 这部分石头堆后手能获得的最高分数举例理解一下假设 piles = [3, 9, 1, 2],索引从 0 开始
dp[0][1].fir = 9 意味着面对石头堆 [3, 9],先手最终能够获得 9 dp[1][3].sec = 2 意味着面对石头堆 [9, 1, 2],后手最终能够获得 2 

我们想求的答案是先手和后手最终分数之差,按照这个定义也就是 dp[0][n-1].fir - dp[0][n-1].sec,即面对整个 piles,先手的最优得分和后手的最优得分之差。

二、状态转移方程

写状态转移方程很简单,首先要找到所有「状态」和每个状态可以做的「选择」,然后择优。

根据前面对 dp 数组的定义,状态显然有三个:开始的索引 i,结束的索引 j,当前轮到的人。

dp[i][j][fir or sec]
其中0 <= i < piles.length
i <= j < piles.length

对于这个问题的每个状态,可以做的选择有两个:选择最左边的那堆石头,或者选择最右边的那堆石头。 我们可以这样穷举所有状态:

n = piles.length
for 0 <= i < n:
    for j <= i < n:
        for who in {fir, sec}:
            dp[i][j][who] = max(left, right)

上面的伪码是动态规划的一个大致的框架,股票系列问题中也有类似的伪码。这道题的难点在于,两人是交替进行选择的,也就是说先手的选择会对后手有影响,这怎么表达出来呢?

根据我们对 dp 数组的定义,很容易解决这个难点,写出状态转移方程:

dp[i][j].fir = max(piles[i] + dp[i+1][j].sec, piles[j] + dp[i][j-1].sec)
dp[i][j].fir = max(    选择最左边的石头堆     ,     选择最右边的石头堆     )
# 解释:我作为先手,面对 piles[i...j] 时,有两种选择:
# 要么我选择最左边的那一堆石头,然后面对 piles[i+1...j]
# 但是此时轮到对方,相当于我变成了后手;
# 要么我选择最右边的那一堆石头,然后面对 piles[i...j-1]
# 但是此时轮到对方,相当于我变成了后手。

if 先手选择左边:
    dp[i][j].sec = dp[i+1][j].fir
if 先手选择右边:
    dp[i][j].sec = dp[i][j-1].fir
# 解释:我作为后手,要等先手先选择,有两种情况:
# 如果先手选择了最左边那堆,给我剩下了 piles[i+1...j]
# 此时轮到我,我变成了先手;
# 如果先手选择了最右边那堆,给我剩下了 piles[i...j-1]
# 此时轮到我,我变成了先手。

根据 dp 数组的定义,我们也可以找出 base case,也就是最简单的情况:

dp[i][j].fir = piles[i]
dp[i][j].sec = 0
其中 0 <= i == j < n
# 解释:i 和 j 相等就是说面前只有一堆石头 piles[i]
# 那么显然先手的得分为 piles[i]
# 后手没有石头拿了,得分为 0

2

这里需要注意一点,我们发现 base case 是斜着的,而且我们推算 dp[i][j] 时需要用到 dp[i+1][j] 和 dp[i][j-1]:

3

所以说算法不能简单的一行一行遍历 dp 数组,而要斜着遍历数组:

4

说实话,斜着遍历二维数组说起来容易,你还真不一定能想出来怎么实现,不信你思考一下?这么巧妙的状态转移方程都列出来了,要是不会写代码实现,那真的很尴尬了。

三、代码实现

如何实现这个 fir 和 sec 元组呢,你可以用 python,自带元组类型;或者使用 C++ 的 pair 容器;或者用一个三维数组 dp[n][n][2],最后一个维度就相当于元组;或者我们自己写一个 Pair 类:

class Pair {
    int fir, sec;
    Pair(int fir, int sec) {
        this.fir = fir;
        this.sec = sec;
    }
}

然后直接把我们的状态转移方程翻译成代码即可,可以注意一下斜着遍历数组的技巧:

/* 返回游戏最后先手和后手的得分之差 */
int stoneGame(int[] piles) {
    int n = piles.length;
    // 初始化 dp 数组
    Pair[][] dp = new Pair[n][n];
    for (int i = 0; i < n; i++) 
        for (int j = i; j < n; j++)
            dp[i][j] = new Pair(0, 0);
    // 填入 base case
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dp[i][i].fir = piles[i];
        dp[i][i].sec = 0;
    }
    // 斜着遍历数组
    for (int l = 2; l <= n; l++) {
        for (int i = 0; i <= n - l; i++) {
            int j = l + i - 1;
            // 先手选择最左边或最右边的分数
            int left = piles[i] + dp[i+1][j].sec;
            int right = piles[j] + dp[i][j-1].sec;
            // 套用状态转移方程
            if (left > right) {
                dp[i][j].fir = left;
                dp[i][j].sec = dp[i+1][j].fir;
            } else {
                dp[i][j].fir = right;
                dp[i][j].sec = dp[i][j-1].fir;
            }
        }
    }
    Pair res = dp[0][n-1];
    return res.fir - res.sec;
}

动态规划解法,如果没有状态转移方程指导,绝对是一头雾水,但是根据前面的详细解释,读者应该可以清晰理解这一大段代码的含义。

而且,注意到计算 dp[i][j] 只依赖其左边和下边的元素,所以说肯定有优化空间,转换成一维 dp,想象一下把二维平面压扁,也就是投影到一维。但是,一维 dp 比较复杂,可解释性很差,大家就不必浪费这个时间去理解了。

四、最后总结

本文给出了解决博弈问题的动态规划解法。博弈问题的前提一般都是在两个聪明人之间进行,编程描述这种游戏的一般方法是二维 dp 数组,数组中通过元组分别表示两人的最优决策。

之所以这样设计,是因为先手在做出选择之后,就成了后手,后手在对方做完选择后,就变成了先手。这种角色转换使得我们可以重用之前的结果,典型的动态规划标志。

读到这里的朋友应该能理解算法解决博弈问题的套路了。学习算法,一定要注重算法的模板框架,而不是一些看起来牛逼的思路,也不要奢求上来就写一个最优的解法。不要舍不得多用空间,不要过早尝试优化,不要惧怕多维数组。dp 数组就是存储信息避免重复计算的,随便用,直到咱满意为止。

希望本文对你有帮助。

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======其他语言代码======

python

SCUHZS提供

这里采取的是三维的做法

class Solution:
    def stoneGame(self, piles: List[int]) -> bool:
        n = len(piles)

        # 初始化一个n*n的矩阵 dp数组
        dp = [[None] * n for i in range(0, n)]

        # 在三角区域填充
        for i in range(n):
            for j in range(i, n):
                dp[i][j] = [0, 0]

        # 填入base case
        for i in range(0, n):
            dp[i][i][0] = piles[i]
            dp[i][i][1] = 0

        # 斜着遍历数组
        for l in range(2, n + 1):
            for i in range(0, n-l+1):
                j = l + i - 1


                # 先手选择最左边或最右边的分数
                left = piles[i] + dp[i + 1][j][1]
                right = piles[j] + dp[i][j - 1][1]

                # 套用状态转移方程
                if left > right:
                    dp[i][j][0] = left
                    dp[i][j][1] = dp[i + 1][j][0]
                else:
                    dp[i][j][0] = right
                    dp[i][j][1] = dp[i][j - 1][0]

        res = dp[0][n - 1]

        return res[0] - res[1] > 0

压缩成一维数组,以减小空间复杂度,做法如下。

class Solution:
    def stoneGame(self, piles: List[int]) -> bool:
        dp = piles.copy()

        for i in range(len(piles) - 1, -1, -1):  # 从下往上遍历
            for j in range(i, len(piles)):       # 从前往后遍历
                dp[j] = max(piles[i] - dp[j], piles[j] - dp[j - 1])  # 计算之后覆盖一维数组的对应位置

        return dp[len(piles) - 1] > 0
        

C++ 版本

TCeason 提供

这里采用 hash map 来解决问题

class Solution {
public:
    unordered_map<int, int> memo;

    int dfs(vector<int> &piles, int index) {
        // 从两边向中间获取
        // index 值为 1/2 piles.size() 时可以停止算法
        if (index == piles.size() / 2)
            return 0;

        // 减少计算,快速返回已有结果
        if (memo.count(index))
            return memo[index];

        // 防止第一次取最右时越界
        int n = piles.size() - 1;

        // 先手选择最左边或最右边后的分数
        int l = piles[index] + dfs(piles, index + 1);
        int r = piles[n - index] + dfs(piles, index + 1);

        // 返回先手左或右边的最高分
        return memo[index] = max(l, r);
    }

   bool stoneGame(vector<int>& piles) {
        // 最佳发挥时:
        // 先手得分 * 2 > 总大小 则先手者胜利
        return dfs(piles, 0) * 2 > accumulate(begin(piles), end(piles), 0);
    }
};

javascript

SCUHZS提供

1、暴力递归解

/**
 * 返回[i,j]上先手所能取得的最优决策的值
 * @param piles
 * @param i
 * @param j
 * @return {number|*}
 */
var f=function(piles,i,j) {
  if(i===j){ //如果i===j,只有一个元素,那么先手只能选它
    return piles[i]
  }
  //否则 有2种情况:
  //1  先选i,之后在[i+1,j]上后手进行最优选择
  //2  先选j,之后在[i,j-1]上后手进行最优选择
  return Math.max(piles[i]+s(i+1,j),piles[j]+s(i,j-1))
}
/**
 *返回[i,j]上后手所能取得的最优决策的值
 * @param piles
 * @param i
 * @param j
 * @return {number}
 */
var s=function(piles,i,j) {
  if(i===j){ //如果i===j,只有一个元素,那么后手没有选,只能为0
    return 0
  }
  //对于这种双方都是绝顶聪明的人,数据一开始对于双方都是可见的,那么数据一确定,先后手一确定,那么结果就已经确定了
  //先手选的人会把最优解选了,那么剩给后手的只有最差的情况
  //所以后手的人虽然能从剩下的之中进行最优决策,但结果确是命中注定的了,只能是最差的
  //所以返回[i+1,j] [i,j-1]上进行最优选择的最小值
  //这也说明了先手的人在大概率下会赢得游戏(在某些情况下先手必赢,比如本题的情况:具体分析看官方解析)
  return Math.min(f(i+1,j),f(i,j-1))
}
/**
 *
 * @param piles
 * @return {boolean}
 */
var stoneGame = function(piles) {
  return f(0,piles.length-1)>s(0,piles.length-1) //亚历克斯先选和李后选得到的最大值做比较
};

2、动态规划dp做法

这里采取的是三维的做法

var stoneGame = function (piles) {
    let n = piles.length;

    // 初始化一个n*n的矩阵 dp数组
    let dp = []
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        dp[i] = []
    }

    // 在三角区域填充
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        for (let j = i; j < n; j++) {
            dp[i][j] = [0, 0]
        }
    }


    // 填入base case
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        dp[i][i][0] = piles[i];
        dp[i][i][1] = 0;
    }

    // 斜着遍历数组
    for (let l = 2; l <= n; l++) {
        for (let i = 0; i <= n - 1; i++) {
            let j = l + i - 1;

            // 先手选择最左边或最右边的分数
            let left = piles[i] + dp[i + 1][j][1];
            let right = piles[j] + dp[i][j - 1][1];

            // 套用状态转移方程
            if (left > right) {
                dp[i][j][0] = left;
                dp[i][j][1] = dp[i + 1][j][0];
            } else {
                dp[i][j][0] = right;
                dp[i][j][1] = dp[i][j - 1][0];
            }
        }
    }

    let res = dp[0][n - 1];
    return res[0] - res[1]
};