第46月章 月面被照亮部分
月亮表面被照亮的比例：
月面被照亮的部分用k来表示，它取决于从月心看地日的距角(注：所谓距角指星体到太阳的角距离)，这个距角叫做相位角（i）。公式如下：
k = ( 1+cos(i) ) / 2 ……46.1式
这个值是照亮区与整个月面的比例，也是与月角直径(图中NS)相垂直的直径(图中AC)的被照亮的长度与月面直径的比值（译者注：k=BC/AC），请参考下图。
NCS = 被照亮的一面 N = 北月角 S = 南月角 C = 被照亮的边缘的中点 NOS = 月角连线 NBS = 明暗分界线（一个弧） 月面被照亮的部分k = 长度比BC：AC = 面积比NBSC：NASC
地心观测的相位角i，可以使用以下方法得到。
首先，找出地心坐标中的月球距角Ψ（日月之间的角距离），可使用如下方法之一：
cos(ψ) = sin(δo)*sin(δ) + cos(δo)*cos(δ)*cos(αo-α) ……46.2式
cos(ψ) = cos(β)*cos(λ-λo)
式中，(αo、δo、λo)和(α、δ、λ)分别是地心坐标中太阳和月亮的（视赤经、视赤纬、视黄经），β是月球的地心黄纬。（译者注：请注意区分月心坐标下的地球距角i与地心坐标下的月球距角ψ，日月地连成三角形，i与ψ就是这个三角形中的二个角。）
然后，我们有以下下算式：
tan(i) = R*sin(ψ)/(Δ-R*cos(ψ)) ……46.3式
式中R是日地距离，Δ是月地距离，二者的距离单位是千米。ψ和i在均在0到180度之间。当i已知，则可由46.1式算出。
当然，计算k是不需要高精度的日、月的地心位置坐标。1分的精度已经足够了。
如果高精度要求不高，使用cos(i) = - cos(ψ)计算i即可， 这样计算，k的结果误差不会超过0.0014。
较低精度下，使用如下忽略月球纬度的方法计算i的近似值，结果仍然比较好：
i=180°- D ……46.4式
-6°.289*sin(M')
+2°.100*sin(M)
-1°.274*sin(2D-M')
-0°.658*sin(2D)
-0°.214*sin(2M')
-0°.110*sin(D)
式中角度D、M和M’通过（45.2）式和（45.4）式得到。在这种情况下，无需计算日月的地心位置坐标。
月亮明亮边缘的位置角（月亮的弓背中点C的位置角）
月亮明亮边缘的位置角χ是月亮被照亮部分的边缘的中点C的位置角，χ角是从月面北点朝东方转到C点，不是从月球自转轴起算(也不是从北月角起算，译者注：沿北极到月心再到南极画经圈，该经圈与月面上方的交点就是北点)。可以通过下面的公式得到：
tan(χ) = cos(δo)*sin(αo-α) /
( sin(δo)*cos(δ) – cos(δo)*sin(δ)*cos(αo-α) ) ……46.5式
式中α0 ，δ0 ，α 和δ的含意和前面的相同。
角χ在270度左右是上弦月，90度左右是满月。应使用ANT2函数计算角χ，确保结果在正确地象限里。公式（46.5）里的分子、分母是ANT2()的两个传入参数。
当χ表示月亮被照亮边缘中点的位置角，那么南北两个月角的位置角是χ+90度和χ-90度。
使角χ的好处是，它明确定义了月亮被照亮面的边缘。
要注意的是：角χ不是从天顶开始测量的，被照亮面边缘的天顶角是χ-q，这里q是视差角（参见第11章）。
最后，46.5式还可以的应用于行星的计算。
例46.a —— 1992年4月12日0 TD时刻的月亮 在例子45.a中我们得到了那一时间的： α = 134°.6885 δ = +13°.7684 Δ = 368 408 km 同一时刻的太阳的视位置和距离是： αo = 1h 22m 37s.9 = 20°.6579 δo = +8o41'47" = +8°.6964 R = 1.002 4977 AU = 149971520 km 根据公式（46.2）由cos(Ψ) = -0.354 991，得到Ψ = 110.7929度。然后可得 tan(i) = +2.615 403，使用46.3式得到 i = 69°.0756 接下来，根据46.1式，k = 0.6786，约等于是0.68。 如果我们使用近似关系cos (i) = - cos(ψ)，我们算得k = 0.6775，也约等于0.68。 现在我们使用近似式46.4计算。在例子45.a中我们得到瞬时值： D = 113°.8423 M = 97°.6435 M'= 5°.1508 然后使用公式（46.4）得到i=68°.88，再通过公式（46.1）得到k = 0.6802，也约等于0.68。 最后，依照公式（46.5）得到： tan(χ) = (-0.90283) / (+0.24266) 得 χ = 285.0度