第38章 经过交点
给出行星或慧星的轨道要素，该天体经过其轨道交点的时间t，按如下方法可以很容易的计算出来：
在升交点：v = -ω 或 360°- ω
在降交点：v = 180°- ω
和前面的一样，v是真近点角，ω是近日点参数。那么，使用v值就可进行以下计算。
椭圆轨道的情况
计算偏近点角E ：
tan(E/2) = sqrt( (1-e)/(1+e) ) tan(v/2) (38.1)
式中，e是轨道率心率。平近点角M由下式计算：
M = E - e sin E (38.2)
在公式(38.2)中，E应表达为弧度。M的值也是弧度。然而，如果E表达为“度”且计算机也工作在“度”模式，那么，应把公式(38.2)中的弧度制的e换为角度制的eo，即eo=e*57°.29577951。
把M转为“度”单位。那么，如果T是经过近日点的时间，n是每日平运动(单位：度/天)，所需的经过交点的时间是：
t = T + M/n 日 (38.3)
此时对应的径矢r由下式计算：
r = a ( 1 - e cos E ) (38.4)
式中a是轨道的半长轴，天文单位。
如果n未给出，可以使用(32.6)式得到。
抛物线轨道的情形
计算：s = tan (v/2)
那么：t = T + 27.403895 (s3+3s) q3/2 天
式中近日点距离q的单位是AU。此刻对应的径矢r是：
r = q ( 1 + s2 )
注意：——交点是轨道与黄道的交点！交点所涉及的黄道的历元与轨道要素所用的分点的历元是相同的。例如，如果轨道要素是涉及1950.0标准分点的，那么以上公式得到的是经过“1950.0黄道交点”的时间，而不是在当日黄道上的交点。这种差别通常可以忽略，除非倾角非常小或运动十分缓慢。
例38.a —— 1986年回归的周期慧星HAlley，W.Landgraf［小行星通告 No.10634(1986年4月24日)］提供了以下轨道要素：
T = 1986年2月9.45891 TD ω= 111°.84644 e = 0.96727426 n = 0.01297082 度/日 a = 17.9400782
近日点参数ω是涉及1950.0标准分点的。
对于经过升交点，我们有：
v = 360°- ω = 248°.15356
tan(E/2) = -0.1906646
E = -21°.5894332
M = -21°.5894332 - ( 0.96727426 * 57°.29577951 ) sin (21°.5894332) = -1°.1972043
t = T + (-1.1972043)/0.01297082 = T - 92.2998 日
因此，慧星经过升交点(在1950.0黄道上)发生在近日点之后92.2998日，即1985年11月9.16日TD。
由公式(38.4)得到 r = 1.8045AU。所以，在它的升交点，著名的慧星稍微在火星的轨道之外。
对于降交点，类似得到：
v = 180°- ω = 68°.15356
E = +9°.9726067
M = +0°.3749928
t = T + 28.9105 日 = 1986年3月10.37 TD
r = 0.8493 AU，在金星和地球轨道之间
事实上，慧星运动(i=162°)是逆行的，这里离题了。不管怎样，ω总是从升交点，沿道天体运动方向测量的。
例38.b ——对于慧星Helin-Roman(1989s = 1989IX)，Marsden(小行星通告 No.16001，1990年3月11日)已经计算出了以下抛物线轨道要素：
T = 1989年8月20.29104 TD q = 1.3245017AU ω= 154°.90425 (1950.0)
对于升交点，我们有：
v = -ω = -154°.90425 s = -4.4929389 t = T - 4351.68日 = 1977年9月20日 r = 28.06 AU
对于降交点，我们有：
v = 180°- ω = +25°.09575 s = -0.2225715 t = T + 28.3527 日 = 1989年9月17.644日 TD r = 1.3901 AU
例38.c ——计算1970.0附近，金星经过升交点的时间。
我们使用表30.A中的轨道要素。我们得到：
a = 0.723329820，因此 n = 1.602137
e = 0.00677188 - 0.000047766T + 0.0000000975T2
ω= π - Ω = 54°.883787 + 0°.5010998T - 0°.0014800T2
T3次可以安全的忽略掉。e和ω随时间变化非常缓慢。我们计算历元1979.0的相关值，那么T=0.21。我们得到：
e = 0.00678192， ω = 54°.778491
然后依次有：
v = -ω = -54°.778491
E = -54°.461669
M = -54°.145475
t = T - 33.7958 日
在例37.a，我们已经知道金星经过近日点的时间是T=1978年12月31.204。因此，我们有：
t = 1978年11月27.408日 或 1978年11月27日10h TD。
重要注意
本章的算法是假设天体运动在无摄动的轨道上。要获得完全精度，应在预期的时间附近计算3个或5个时刻的天体日心黄纬。当然，在交点时，我们有黄纬 = 零。
1990年9月4日土星达到它的轨道的降交点(当日黄道上)，在2005年1月8日达到升交点。
1984年12月21日天王星在降交点，2029年5月19日经过升交点。
对于海王星，我们有：
升交点：1920年06月03日 降交点：2003年08月11日 升交点：2084年12月30日