提示：本题中使用的 base64 编码，采用已被广泛应用于各种场合的 RFC 4648 §5 标准。
小赵听到自己成为了信息安全大赛的创始人后感到非常吃惊：“我一个少院学生会的干事，怎么就成信息安全大赛的创始人了呢？”这也难怪，毕竟小赵后来成为了物理学院的学生。物理和信息安全，通常情况下可都是八杆子打不着的呢。
当然了，小赵作为物理学院的学生，和其他物理学院的学生一样，身上的浮躁劲儿可一点都不少，常常因为一点小成就而沾沾自喜。这不，因为个人安全上的不重视，小赵的某个学弟小郑，很快从小赵暗恋的女孩子手里拿到了小赵和她交流的加密算法的程序。小赵在得知此事后反而没有尽可能地息事宁人，反而公开宣称，由于解密算法目前没有公开，所以拿到了加密算法也没有什么用。看来小赵对于现代密码学，根本没什么全面深入的了解啊。
不过，即使小赵使用的是对称加密算法，分析出解密算法也并非易事——小赵对程序进行了混淆，而混淆的方法是使用 BrainFuck 虚拟机——这也正是小赵的底气所在。现在的任务是分析并读懂一段 BrainFuck 程序，从而将一段密文还原。
现在小郑将这一任务交给了跃跃欲试的你。快来挖掘小赵的黑历史吧！
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小赵听到自己还要给自己出的题目写 write up 感到十分震惊——明明那么简单的题目，write up 还要出题人来写。不过，小赵还是硬着头皮把 write up 写完了。
这道题涉及的 BrainFuck 代码看似复杂，实际上如果仔细分析，可以发现大部分代码都是有规律可循的。
我们首先得知 BrainFuck 虚拟机元素的初始值都是零：
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...我们打开encrypt.bf，将整段代码按循环（一对匹配的[]对及其中间的部分）分段：
,
[->>+++++++>>+++++>>+++>>++>>++++>++++++<<+++<<+++++++++<<++++++++<<++++++<<++++++++<]
>
[->>+++++>>+++++++++>>+++++++++>>++>>++++<+++++++++<<++++<<++++<<++<<++<]
<,
[->>+++++>>++++++++>>++++++>>+++++++>>+++++++>++++++<<++++++<<++++++++<<+++<<+++<<++++++++<]
>
[->>++++++++>>+++>>+++++++>>++++>>+++++++++<++++++<<+++++++++<<++<<+++++++++<<++++++++<]
<,
etc然后我们从第一段开始：
,这段只有一个字符的代码读入一个值，我们不妨设它为a1。现在 BrainFuck 虚拟机情况如下：
a1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...然后我们进入循环：
[
-
>>
+++++++
>>
+++++
>>
+++
>>
++
>>
++++
>
++++++
<<
+++
<<
+++++++++
<<
++++++++
<<
++++++
<<
++++++++
<
]经过一次循环后的虚拟机情况如下：
a1-1 8 7 6 5 8 3 9 2 3 4 6 ...指针回到a1-1处，我们可以得出这个循环还要进行a1-1次，共a1次，最后虚拟机情况如下：
0 8*a1 7*a1 6*a1 5*a1 8*a1 3*a1 9*a1 2*a1 3*a1 4*a1 6*a1 0 0 0 ...然后下一段：
>指针向右一格，停在8*a1处。然后进入下一个循环：
[
-
>>
+++++
>>
+++++++++
>>
+++++++++
>>
++
>>
++++
<
+++++++++
<<
++++
<<
++++
<<
++
<<
++
<
]我们可以得知这个循环将会进行8*a1次，和上面的循环一样，我们将增量代入，最后结果如下：
0 0 23*a1 46*a1 21*a1 80*a1 35*a1 81*a1 34*a1 19*a1 76*a1 38*a1 0 0 0 ...接下来的指令是：
<,首先将指针向左一格到最左点，然后读入一个字符，不妨设为a2：
a2 0 23*a1 46*a1 21*a1 80*a1 35*a1 81*a1 34*a1 19*a1 76*a1 38*a1 0 0 0 ...然后接着进行上面的两组循环。这样的操作一共进行十轮，共二十次循环。
最后的代码段将每个元素加上一个固定的值输出：
>++.
>++++++.
>++++++++.
>++++++++.
>+++.
>+++++.
>+++++.
>+++++++.
>++++.
>+++++++++.通过分析我们实际上可以发现，这就是对a1...a10十个数组成的一次线性变换，当然如果算上最后加上一个固定的值输出的话就是仿射变换。
如果我们设输出为b1...b10的话，我们的目标是找到一个十一维的矩阵A_(11x11)满足：
[b1, b2, ..., b10, 1] = A_(11x11) * [a1, a2, ..., a10, 1]实际上每一轮操作除了+的数量不同，代码形式是一模一样的，我们只需要将代码中连续的+序列分离并分组，然后依次处理就可以了。
我们编写一段 Python 脚本提取出整个矩阵（为方便后续运算，运算结果为A_(11x11)的转置）：
import re
def to_matrix(code):
i = re.compile("[+]+").finditer(code.replace("\n", ""))
m = [[0 for k in range(11)] for j in range(11)]
for j in range(10):
for k in [0, 2, 4, 6, 8, 9, 7, 5, 3, 1]:
m[j][k] += len(next(i).group(0))
factor = len(next(i).group(0))
for k in [1, 3, 5, 7, 9, 8, 6, 4, 2, 0]:
m[j][k] += factor * len(next(i).group(0))
for k in range(10):
m[10][k] += len(next(i).group(0))
m[10][10] = 1
return m以下是输出：
[[23, 46, 21, 80, 35, 81, 34, 19, 76, 38, 0],
[69, 67, 80, 27, 22, 64, 79, 38, 55, 78, 0],
[40, 40, 63, 69, 66, 51, 74, 52, 41, 43, 0],
[61, 54, 33, 53, 43, 46, 52, 72, 68, 59, 0],
[47, 31, 60, 37, 68, 37, 27, 49, 39, 55, 0],
[21, 23, 26, 81, 36, 44, 19, 71, 62, 74, 0],
[62, 54, 39, 24, 67, 75, 38, 36, 48, 50, 0],
[73, 75, 32, 61, 22, 77, 79, 40, 65, 18, 0],
[18, 64, 48, 23, 58, 71, 30, 60, 21, 36, 0],
[81, 69, 39, 50, 37, 18, 68, 45, 66, 77, 0],
[ 2, 6, 8, 8, 3, 5, 5, 7, 4, 9, 1]]有经验的参赛成员应该能够发现这正是希尔密码（Hill Cipher）的一个变种。当然了，如果没有经验，此时也应能想到下一步是求这个矩阵的逆。不过，在题目中也有说明，矩阵的运算结果需要对 64 取余。因此这个矩阵不是定义在实数域（R）上的，而是定义在整数模 64 环（可记为Z_64）上的。
求矩阵的逆的直接方法无非求解伴随矩阵，再除以矩阵的行列式共两步。当然一些库是可以直接对某个整数模 n 环（可记为Z_n）求逆的（比方说 SymPy 的inv_mod）。
以下是待求矩阵的逆（同样经过转置）：
[[ 2, 17, 34, 57, 17, 45, 15, 61, 45, 24, 0],
[ 0, 20, 38, 43, 56, 29, 34, 41, 29, 61, 0],
[29, 3, 25, 25, 32, 57, 22, 4, 32, 52, 0],
[41, 63, 22, 19, 49, 32, 4, 22, 40, 18, 0],
[27, 24, 11, 11, 2, 15, 57, 9, 36, 4, 0],
[26, 55, 52, 10, 10, 54, 32, 37, 52, 28, 0],
[14, 31, 12, 60, 47, 44, 53, 41, 19, 13, 0],
[ 3, 53, 16, 51, 53, 11, 48, 35, 49, 28, 0],
[25, 26, 8, 57, 51, 30, 62, 17, 53, 0, 0],
[25, 37, 46, 19, 52, 53, 24, 18, 31, 12, 0],
[25, 56, 17, 57, 16, 55, 18, 4, 39, 41, 1]]最后 transform 一下输入输出就大功告成了。以下是本人编写的 Python 代码：
import sympy
def decrypt(matrix):
base64_mapping = "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZabcdefghijklmnopqrstuvwxyz0123456789-_"
def to_output(output):
transformed_output = output[:4, :10]
return "".join([base64_mapping[o % 64] for o in transformed_output])
def from_input(input):
transformed_input = [base64_mapping.index(i) for i in input]
return sympy.Matrix(4, 10, transformed_input).row_join(sympy.ones(4, 1))
inv_matrix = sympy.Matrix(matrix).inv_mod(64)
return lambda input: to_output(from_input(input).multiply(inv_matrix))整个 Python 代码位于encryption_and_decryption_solution.py中。
其实这道题的加解密函数存在一个刻意加入 （但却毫无意义） 的不动点，请参阅附带的 Python 代码（^_^）