给你一个整数数组 instructions
,你需要根据 instructions
中的元素创建一个有序数组。一开始你有一个空的数组 nums
,你需要 从左到右 遍历 instructions
中的元素,将它们依次插入 nums
数组中。每一次插入操作的 代价 是以下两者的 较小值 :
nums
中 严格小于instructions[i]
的数字数目。nums
中 严格大于instructions[i]
的数字数目。
比方说,如果要将 3
插入到 nums = [1,2,3,5]
,那么插入操作的 代价 为 min(2, 1)
(元素 1
和 2
小于 3
,元素 5
大于 3
),插入后 nums
变成 [1,2,3,3,5]
。
请你返回将 instructions
中所有元素依次插入 nums
后的 总最小代价 。由于答案会很大,请将它对 109 + 7
取余 后返回。
示例 1:
输入:instructions = [1,5,6,2] 输出:1 解释:一开始 nums = [] 。 插入 1 ,代价为 min(0, 0) = 0 ,现在 nums = [1] 。 插入 5 ,代价为 min(1, 0) = 0 ,现在 nums = [1,5] 。 插入 6 ,代价为 min(2, 0) = 0 ,现在 nums = [1,5,6] 。 插入 2 ,代价为 min(1, 2) = 1 ,现在 nums = [1,2,5,6] 。 总代价为 0 + 0 + 0 + 1 = 1 。
示例 2:
输入:instructions = [1,2,3,6,5,4] 输出:3 解释:一开始 nums = [] 。 插入 1 ,代价为 min(0, 0) = 0 ,现在 nums = [1] 。 插入 2 ,代价为 min(1, 0) = 0 ,现在 nums = [1,2] 。 插入 3 ,代价为 min(2, 0) = 0 ,现在 nums = [1,2,3] 。 插入 6 ,代价为 min(3, 0) = 0 ,现在 nums = [1,2,3,6] 。 插入 5 ,代价为 min(3, 1) = 1 ,现在 nums = [1,2,3,5,6] 。 插入 4 ,代价为 min(3, 2) = 2 ,现在 nums = [1,2,3,4,5,6] 。 总代价为 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 2 = 3 。
示例 3:
输入:instructions = [1,3,3,3,2,4,2,1,2] 输出:4 解释:一开始 nums = [] 。 插入 1 ,代价为 min(0, 0) = 0 ,现在 nums = [1] 。 插入 3 ,代价为 min(1, 0) = 0 ,现在 nums = [1,3] 。 插入 3 ,代价为 min(1, 0) = 0 ,现在 nums = [1,3,3] 。 插入 3 ,代价为 min(1, 0) = 0 ,现在 nums = [1,3,3,3] 。 插入 2 ,代价为 min(1, 3) = 1 ,现在 nums = [1,2,3,3,3] 。 插入 4 ,代价为 min(5, 0) = 0 ,现在 nums = [1,2,3,3,3,4] 。 插入 2 ,代价为 min(1, 4) = 1 ,现在 nums = [1,2,2,3,3,3,4] 。 插入 1 ,代价为 min(0, 6) = 0 ,现在 nums = [1,1,2,2,3,3,3,4] 。 插入 2 ,代价为 min(2, 4) = 2 ,现在 nums = [1,1,2,2,2,3,3,3,4] 。 总代价为 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 2 = 4 。
提示:
1 <= instructions.length <= 105
1 <= instructions[i] <= 105
方法一:树状数组
树状数组,也称作“二叉索引树”(Binary Indexed Tree)或 Fenwick 树。 它可以高效地实现如下两个操作:
- 单点更新
update(x, delta)
: 把序列 x 位置的数加上一个值 delta; - 前缀和查询
query(x)
:查询序列[1,...x]
区间的区间和,即位置 x 的前缀和。
这两个操作的时间复杂度均为
树状数组最基本的功能就是求比某点 x 小的点的个数(这里的比较是抽象的概念,可以是数的大小、坐标的大小、质量的大小等等)。
比如给定数组 a[5] = {2, 5, 3, 4, 1}
,求 b[i] = 位置 i 左边小于等于 a[i] 的数的个数
。对于此例,b[5] = {0, 1, 1, 2, 0}
。
解决方案是直接遍历数组,每个位置先求出 query(a[i])
,然后再修改树状数组 update(a[i], 1)
即可。当数的范围比较大时,需要进行离散化,即先进行去重并排序,然后对每个数字进行编号。
方法二:线段树
线段树将整个区间分割为多个不连续的子区间,子区间的数量不超过 log(width)
。更新某个元素的值,只需要更新 log(width)
个区间,并且这些区间都包含在一个包含该元素的大区间内。
- 线段树的每个节点代表一个区间;
- 线段树具有唯一的根节点,代表的区间是整个统计范围,如
[1, N]
; - 线段树的每个叶子节点代表一个长度为 1 的元区间
[x, x]
; - 对于每个内部节点
[l, r]
,它的左儿子是[l, mid]
,右儿子是[mid + 1, r]
, 其中mid = ⌊(l + r) / 2⌋
(即向下取整)。
本题线段树 Python3 代码 TLE,Java、C++ 代码 AC。
树状数组:
class BinaryIndexedTree:
def __init__(self, n):
self.n = n
self.c = [0] * (n + 1)
def update(self, x: int, v: int):
while x <= self.n:
self.c[x] += v
x += x & -x
def query(self, x: int) -> int:
s = 0
while x:
s += self.c[x]
x -= x & -x
return s
class Solution:
def createSortedArray(self, instructions: List[int]) -> int:
m = max(instructions)
tree = BinaryIndexedTree(m)
ans = 0
mod = 10 ** 9 + 7
for i, x in enumerate(instructions):
cost = min(tree.query(x - 1), i - tree.query(x))
ans += cost
tree.update(x, 1)
return ans % mod
线段树:
class Node:
def __init__(self):
self.l = 0
self.r = 0
self.v = 0
class SegmentTree:
def __init__(self, n):
self.tr = [Node() for _ in range(4 * n)]
self.build(1, 1, n)
def build(self, u, l, r):
self.tr[u].l = l
self.tr[u].r = r
if l == r:
return
mid = (l + r) >> 1
self.build(u << 1, l, mid)
self.build(u << 1 | 1, mid + 1, r)
def modify(self, u, x, v):
if self.tr[u].l == x and self.tr[u].r == x:
self.tr[u].v += v
return
mid = (self.tr[u].l + self.tr[u].r) >> 1
if x <= mid:
self.modify(u << 1, x, v)
else:
self.modify(u << 1 | 1, x, v)
self.pushup(u)
def pushup(self, u):
self.tr[u].v = self.tr[u << 1].v + self.tr[u << 1 | 1].v
def query(self, u, l, r):
if self.tr[u].l >= l and self.tr[u].r <= r:
return self.tr[u].v
mid = (self.tr[u].l + self.tr[u].r) >> 1
v = 0
if l <= mid:
v = self.query(u << 1, l, r)
if r > mid:
v += self.query(u << 1 | 1, l, r)
return v
class Solution:
def createSortedArray(self, instructions: List[int]) -> int:
n = max(instructions)
tree = SegmentTree(n)
ans = 0
for num in instructions:
a = tree.query(1, 1, num - 1)
b = tree.query(1, 1, n) - tree.query(1, 1, num)
ans += min(a, b)
tree.modify(1, num, 1)
return ans % int((1e9 + 7))
树状数组:
class BinaryIndexedTree {
private int n;
private int[] c;
public BinaryIndexedTree(int n) {
this.n = n;
this.c = new int[n + 1];
}
public void update(int x, int v) {
while (x <= n) {
c[x] += v;
x += x & -x;
}
}
public int query(int x) {
int s = 0;
while (x > 0) {
s += c[x];
x -= x & -x;
}
return s;
}
}
class Solution {
public int createSortedArray(int[] instructions) {
int m = 0;
for (int x : instructions) {
m = Math.max(m, x);
}
BinaryIndexedTree tree = new BinaryIndexedTree(m);
int ans = 0;
final int mod = (int) 1e9 + 7;
for (int i = 0; i < instructions.length; ++i) {
int x = instructions[i];
int cost = Math.min(tree.query(x - 1), i - tree.query(x));
ans = (ans + cost) % mod;
tree.update(x, 1);
}
return ans;
}
}
线段树:
class Solution {
public int createSortedArray(int[] instructions) {
int n = 100010;
int mod = (int) 1e9 + 7;
SegmentTree tree = new SegmentTree(n);
int ans = 0;
for (int num : instructions) {
int a = tree.query(1, 1, num - 1);
int b = tree.query(1, 1, n) - tree.query(1, 1, num);
ans += Math.min(a, b);
ans %= mod;
tree.modify(1, num, 1);
}
return ans;
}
}
class Node {
int l;
int r;
int v;
}
class SegmentTree {
private Node[] tr;
public SegmentTree(int n) {
tr = new Node[4 * n];
for (int i = 0; i < tr.length; ++i) {
tr[i] = new Node();
}
build(1, 1, n);
}
public void build(int u, int l, int r) {
tr[u].l = l;
tr[u].r = r;
if (l == r) {
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
build(u << 1, l, mid);
build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
}
public void modify(int u, int x, int v) {
if (tr[u].l == x && tr[u].r == x) {
tr[u].v += v;
return;
}
int mid = (tr[u].l + tr[u].r) >> 1;
if (x <= mid) {
modify(u << 1, x, v);
} else {
modify(u << 1 | 1, x, v);
}
pushup(u);
}
public void pushup(int u) {
tr[u].v = tr[u << 1].v + tr[u << 1 | 1].v;
}
public int query(int u, int l, int r) {
if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) {
return tr[u].v;
}
int mid = (tr[u].l + tr[u].r) >> 1;
int v = 0;
if (l <= mid) {
v += query(u << 1, l, r);
}
if (r > mid) {
v += query(u << 1 | 1, l, r);
}
return v;
}
}
树状数组:
class BinaryIndexedTree {
public:
BinaryIndexedTree(int _n)
: n(_n)
, c(_n + 1) {}
void update(int x, int delta) {
while (x <= n) {
c[x] += delta;
x += x & -x;
}
}
int query(int x) {
int s = 0;
while (x) {
s += c[x];
x -= x & -x;
}
return s;
}
private:
int n;
vector<int> c;
};
class Solution {
public:
int createSortedArray(vector<int>& instructions) {
int m = *max_element(instructions.begin(), instructions.end());
BinaryIndexedTree tree(m);
const int mod = 1e9 + 7;
int ans = 0;
for (int i = 0; i < instructions.size(); ++i) {
int x = instructions[i];
int cost = min(tree.query(x - 1), i - tree.query(x));
ans = (ans + cost) % mod;
tree.update(x, 1);
}
return ans;
}
};
线段树:
class Node {
public:
int l;
int r;
int v;
};
class SegmentTree {
public:
vector<Node*> tr;
SegmentTree(int n) {
tr.resize(4 * n);
for (int i = 0; i < tr.size(); ++i) tr[i] = new Node();
build(1, 1, n);
}
void build(int u, int l, int r) {
tr[u]->l = l;
tr[u]->r = r;
if (l == r) return;
int mid = (l + r) >> 1;
build(u << 1, l, mid);
build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
}
void modify(int u, int x, int v) {
if (tr[u]->l == x && tr[u]->r == x)
{
tr[u]->v += v;
return;
}
int mid = (tr[u]->l + tr[u]->r) >> 1;
if (x <= mid) modify(u << 1, x, v);
else modify(u << 1 | 1, x, v);
pushup(u);
}
void pushup(int u) {
tr[u]->v = tr[u << 1]->v + tr[u << 1 | 1]->v;
}
int query(int u, int l, int r) {
if (tr[u]->l >= l && tr[u]->r <= r) return tr[u]->v;
int mid = (tr[u]->l + tr[u]->r) >> 1;
int v = 0;
if (l <= mid) v = query(u << 1, l, r);
if (r > mid) v += query(u << 1 | 1, l, r);
return v;
}
};
class Solution {
public:
int createSortedArray(vector<int>& instructions) {
int n = *max_element(instructions.begin(), instructions.end());
int mod = 1e9 + 7;
SegmentTree* tree = new SegmentTree(n);
int ans = 0;
for (int num : instructions)
{
int a = tree->query(1, 1, num - 1);
int b = tree->query(1, 1, n) - tree->query(1, 1, num);
ans += min(a, b);
ans %= mod;
tree->modify(1, num, 1);
}
return ans;
}
};
树状数组:
type BinaryIndexedTree struct {
n int
c []int
}
func newBinaryIndexedTree(n int) *BinaryIndexedTree {
c := make([]int, n+1)
return &BinaryIndexedTree{n, c}
}
func (this *BinaryIndexedTree) update(x, delta int) {
for x <= this.n {
this.c[x] += delta
x += x & -x
}
}
func (this *BinaryIndexedTree) query(x int) int {
s := 0
for x > 0 {
s += this.c[x]
x -= x & -x
}
return s
}
func createSortedArray(instructions []int) (ans int) {
m := 0
for _, x := range instructions {
m = max(m, x)
}
tree := newBinaryIndexedTree(m)
const mod = 1e9 + 7
for i, x := range instructions {
cost := min(tree.query(x-1), i-tree.query(x))
ans = (ans + cost) % mod
tree.update(x, 1)
}
return
}
func max(a, b int) int {
if a > b {
return a
}
return b
}
func min(a, b int) int {
if a < b {
return a
}
return b
}
class BinaryIndexedTree {
private n: number;
private c: number[];
constructor(n: number) {
this.n = n;
this.c = new Array(n + 1).fill(0);
}
public update(x: number, v: number): void {
while (x <= this.n) {
this.c[x] += v;
x += x & -x;
}
}
public query(x: number): number {
let s = 0;
while (x > 0) {
s += this.c[x];
x -= x & -x;
}
return s;
}
}
function createSortedArray(instructions: number[]): number {
const m = Math.max(...instructions);
const tree = new BinaryIndexedTree(m);
let ans = 0;
const mod = 10 ** 9 + 7;
for (let i = 0; i < instructions.length; ++i) {
const x = instructions[i];
const cost = Math.min(tree.query(x - 1), i - tree.query(x));
ans = (ans + cost) % mod;
tree.update(x, 1);
}
return ans;
}