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# 第二章 概率论和信息论 {#第三章-概率论和信息论}

这一章主要是讨论概率论和信息论相关的内容。 概率论是一种用来表示不确定状态的数学方法。在人工智能当中，概率论的应用主要在两个方面：

1. 概率论的laws告诉我们AI系统如何去完成推论，也就是用来设计AI的推论结构；

2. 可以采用概率论和统计理论来理论的分析所提出的人工智能系统的性能。 信息理论的作用就是让我们来量化一个概率分布当中的不确定性。

## 为什么采用概率论 {#为什么采用概率论}

在机器学习当中，算法必须总是处理不确定量以及随机量，同时硬件中的错误也会经常发生。不确定性的来源有三个：  
 1. 系统的固有不确定性被建模包含。例如，大多数的量子力学将亚原子的运动描述为不确定性的。  
 2. 不可完全观测。即使是确定性系统也会表现出随机性，因为我们肯能不能观察到所有的驱动这个系统的变量。在Monty Hall问题中，输出结果已经给定了，但是对于contestant来讲，输出却是不确定的，有点类似于薛定谔的猫。  
 3. 不完整的建模。例如在机器人中，为了估计机器人的位置从而离散空间，这样就没有办法精确的知道objects的位置。  
 在很多情况下，一个简单的不确定的系统比复杂的确定的系统更好用。需要指出的一点是，虽然我们想找到一种描述不确定的方法，但是概率论并没所有我们需要的所有工具。概率论最先是用来研究事物发生的频率的，通常是对于可重复事件，重复多次，就会发生那么多次，例如概率为p，可能会有p次发生。但是对于举出的医生的例子，认为flu的概率是40%，这里就是指的置信度的概念（degree of belief）。前一种被称作为频率论的概率论Frequentist probability，后一种用来衡量不确定性水平的被称作为贝叶斯概率论（Bayesian probability）。

## 随机事件与概率 {#随机变量}

公式名称                                                             公式表达

德摩公式                                                  $$\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}, \overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}$$

古典概率                                                 $$P(A)=m/n$$ =  A包含的基本事件数/基本事件总数

求逆公式                                                 $$P(\overline{A})=1-P(A)$$

加法公式                                                $$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A B)$$  当 $$P(AB)=0$$时，$$P(A U B)=P(A)+P(B)$$

减法公式                                                $$P(A-B)=P(A)-P(A B), B \subset A$$时$$P(A-B)=P(A)-P(B)$$

条件概率公式                                         $$P(B | A)=\frac{P(A B)}{P(A)} \quad P(A B)=P(A) P(B | A)=P(B) P(A | B)$$  
$$P(A B C)=P(A) P(B | A) P(C | A B)$$  
全概率公式                                              $$P(A)=\sum_{i=1}^{n} P\left(B_{i}\right) P\left(A | B_{i}\right)$$

贝叶斯公式                                              $$P\left(B_{i} | A\right)=\frac{P\left(B_{i}\right) P\left(A | B_{i}\right)}{\sum_{i=1}^{n} P\left(B_{i}\right) P\left(A | B_{i}\right)}$$

乘法公式                                                  $$P\left(A_{1} A_{2}\right)=P\left(A_{1}\right) P\left(A_{2} | A_{1}\right)=P\left(A_{2}\right) P\left(A_{1} | A_{2}\right)$$  
                                                                $$P\left(A_{1} A_{2} \cdots A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right) P\left(A_{2} | A_{1}\right) P\left(A_{3} | A_{1} A_{2}\right) \cdots P\left(A_{n} | A_{1} A_{2} \cdots A_{n-1}\right)$$

两个事件相互独立                                    $$P(A B)=P(A) P(B) ; \quad P(B | A)=P(B) ; \quad P(B | A)=P(B | \overline{A})$$

三个事件独立性

1. A,B,C两两独立$$\Leftrightarrow P(A B)=P(A) P(B);P(B C)=P(B) P(C) ; P(A C)=P(A) P(C)$$
2. A,B,C相互独立$$\Leftrightarrow P(A B)=P(A) P(B);P(B C)=P(B) P(C) ; P(A C)=P(A) P(C) ; P(A B C)=P(A) P(B) P(C)$$

## 随机变量及其分布

**1，分布函数**

$$F(x)=P(X \leq x)=\left\{\begin{array}{ll}{\sum_{x_{2} \leq x} P\left(X=x_{k}\right)} \\ {\int_{-\infty}^{x} f(t) d t}\end{array}\right. \quad P(a<X \leq b)=F(b)-F(a)$$

* $$0 \leq F(x) \leq 1$$
* F\(x\)单调不减
* 右连续$$F(x+0)=F(x)$$
* $$F(-\infty)=0, F(+\infty)=1$$

**2， 离散型随机变量及其分布**

0-1分布  $$\mathrm{X} \sim \mathrm{b}(1, \mathrm{p})$$                                               $$P(X=k)=p^{k}(1-p)^{1-k}, \quad k=0,1$$

二项分布 $$X \sim B\left(n_{s}, p\right) $$                                          $$P(X=k)=C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k}, \quad k=0,1, \cdots, n$$

泊松分布  $$\mathrm{x} \sim \mathrm{p}(\lambda)$$                                                   $$P(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda}, \quad k=0,1,2, \cdots$$

**3，连续性随机变量及其分布**

分布名称                                    密度函数                                                                      分布函数

均匀分布 $$x \sim U(a, b)$$          $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{1}{b-a},} & {a<x<b} \\ 0,   else \end{array}\right.$$                          $$F(x)=\left\{\begin{array}{cc}{0,} & {x<a} \\ {\frac{x-a}{b-a}, a} & { \leq x<b} \\ {1,} & {x \geq b}\end{array}\right.$$               

指数分布 $$\mathrm{X} \sim \mathrm{E}(\lambda)$$             $$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}{\lambda e^{-\lambda x},} & {x>0} \\ {0,} & {x \leq 0}\end{array}\right.$$                                   $$F(x)=\left\{\begin{array}{cc}{1-e^{-j x},} & {x>0} \\ {0,} & {x \leq 0}\end{array}\right.$$

正态分布 $$\mathrm{x} \sim \mathrm{N}\left(\mu, \sigma^{2}\right)$$      $$\begin{aligned} f(x)=& \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 c^{2}}} \\ &-\infty<x<+\infty \end{aligned}$$                                  $$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{(t-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}} \mathrm{d} t$$

标准正太分布 $$\mathrm{x} \sim \mathrm{N}(0,1)$$     $$\begin{array}{r}{\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^{2}}{2}}} \\ {-\infty<x<+\infty}\end{array}$$                                                $$\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{1}{2} t^{2}} d t$$

几何分布  $$x \sim G(p)$$                 $$P(X=k)=(1-p)^{k-1} p, 0<p<1, k=1,2, \cdots$$

超几何分布: $$H(N, M, n) : P(X=k)=\frac{C_{M}^{k} C_{N-l l}^{n-k}}{C_{N}^{n}}, k=0,1, \cdots, \min (n, M)$$

**重要公式与结论**

* $$X \sim N(0,1) \Rightarrow \varphi(0)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}, \Phi(0)=\frac{1}{2}, \Phi(-a)=P(X \leq-a)=1-\Phi(a)$$
* $$X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right) \Rightarrow \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1), P(X \leq a)=\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$
* $$X \sim E(\lambda) \Rightarrow P(X>s+t | X>s)=P(X>t)$$
* $$X \sim G(p) \Rightarrow P(X=m+k | X>m)=P(X=k)$$
* 离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数

* 存在既非离散也非连续型随机变量

**分布函数**

连续性随机变量                      $$F(x)=P(X \leq x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) d t$$

离散型随机变量                      $$F(x)=P(X \leq x)=\sum_{k \leq x} P(X=k)$$

分布函数与密度函数的重要关系       $$F^{\prime}(x)=f(x)$$

**4，随机变量函数**$$Y=g(X)$$**的分布**

$$f_{Y}(y)=f_{X}(h(y)) \cdot\left|h^{\prime}(y)\right|(x=h(y)$$ h\(y\)是g\(x\)的反函数

## 多维随机变量及其分布

1，离散型二维随机变量及其分布

分布律   $$P\left(X=x_{i}, Y=y_{j}\right)=p_{i j}, i, j=1,2, \cdots$$              分布函数 $$F(X, Y)=\sum_{x_i\leq x} \sum_{y_j \leq y} p_{ij}$$

边缘分布   $$p_{i}=P\left(X=x_{i}\right)=\sum_{j} p_{i j} \quad p_{j}=P\left(Y=y_{j}\right)=\sum_{i} p_{i j}$$

条件分布律  $$P\left(X=x_{i} | Y=y_{j}\right)=\frac{p_{i j}}{p_{j}}, i=1,2, \cdots, P\left(Y=y_{j} | X=x_{i}\right)=\frac{p_{ij}}{p_{i}}, j=1,2, \cdots$$

2, 连续性二维随机变量及其分布

分布函数    $$F(x, y)=\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u, v) d u d v$$

性质： $$F(+\infty,+\infty)=1, \frac{\partial^{2} F(x, y)}{\partial x \partial y}=f(x, y), P((x, y) \in G)=\iint f(x, y) d x d y$$

边缘分布函数与边缘密度函数

分布函数   $$F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u, v) d v d u$$                  密度函数         $$f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, v) d v$$  
$$F_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u, v) d u d v$$                                            $$f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(u, y) d u$$

条件概率密度

$$f_{Y | X}(y | x)=\frac{f(x, y)}{f_{X}(x)},-\infty<y<+\infty$$          $$f_{X Y}(x | y)=\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)},-\infty<x<+\infty$$

二维随机变量和函数的分布

离散型  $$P\left(Z=z_{k}\right)=\sum_{x_i+y_j=z_k} P\left(X=x_{i}, Y=y_{j}\right)$$ 注意部分可加性

连续性  $$f_{z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) d x=\int_{-\infty}^{\infty} f(z-y, y) d y$$

**常见二维随机变量的联合分布**

\(1\) 二维均匀分布：$$(x, y) \sim U(D), f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{S(D)},(x, y) \in D} \\ 0, else \end{array}\right.$$

\(2\) 二维正态分布: $$(X, Y) \sim N\left(\mu_{1}, \mu_{2}, \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \rho\right),(X, Y) \sim N\left(\mu_{1}, \mu_{2}, \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \rho\right)$$

$$f(x, y)=\frac{1}{2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2}}} \cdot \exp \left\{\frac{-1}{2\left(1-\rho^{2}\right)}\left[\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{\sigma_{1}^{2}}-2 \rho \frac{\left(x-\mu_{1}\right)\left(y-\mu_{2}\right)}{\sigma_{1} \sigma_{2}}+\frac{\left(y-\mu_{3}\right)^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\right]\right\}$$

若\(X,Y\)服从二维正态分布$$N\left(\mu_{1}, \mu_{2}, \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \rho\right)$$则有：

* $$X \sim N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right), Y \sim N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$$

* X与Y相互独立$$\Leftrightarrow \rho=0$$，即X与Y不相关

* $$C_{1} X+C_{2} Y \sim N\left(C_{1} \mu_{1}+C_{2} \mu_{2}, C_{1}^{2} \sigma_{1}^{2}+C_{2}^{2} \sigma_{2}^{2}+2 C_{1} C_{2} \sigma_{1} \sigma_{2} \rho\right)$$

* X关于Y=y的条件分布为：$$N\left(\mu_{1}+\rho \frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}\left(y-\mu_{2}\right), \sigma_{1}^{2}\left(1-\rho^{2}\right)\right)$$

* Y关于X=x的条件分布为：$$N\left(\mu_{2}+\rho \frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}\left(x-\mu_{1}\right), \sigma_{2}^{2}\left(1-\rho^{2}\right)\right)$$

* 若X与Y独立，且分别服从$$N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right), N\left(\mu_{1}, \sigma_{2}^{2}\right)$$ 则：$$(X, Y) \sim N\left(\mu_{1}, \mu_{2}, \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, 0\right)$$    $$C_{1} X+C_{2} Y_{\sim} N\left(C_{1} \mu_{1}+C_{2} \mu_{2}, C_{1}^{2} \sigma_{1}^{2} C_{2}^{2} \sigma_{2}^{2}\right)$$

* 若X与Y相互独立，f\(x\)和g\(x\)为连续函数， 则f\(X\)和g\(Y\)也相互独立。

## 随机变量的数字特征

### 1，数学期望

定义：离散型 $$E(X)=\sum_{k=1}^{+\infty} x_{k} p_{k}$$            连续型  $$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) d x$$

性质 $$E(C)=C, E[E(X)]=E(X), E(C X)=C E(X), E(X \pm Y)=E(X) \pm E(Y)$$ $$E(a X \pm b)=a E(X) \pm b$$

当X,Y相互独立时，$$E(X Y)=E(X) E(Y)$$

### 2，方差

定义：$$D(X)=E\left[(X-E(X))^{2}\right]=E\left(X^{2}\right)-E^{2}(X)$$

性质 $$D(C)=0, D(a X \pm b)=a^{2} D(X), \quad D(X \pm Y)=D(X)+D(Y) \pm 2Cov(X, Y)$$  $$D(X)<E(X-C)^{2}, C \neq E(X)$$            $$D(X)=0 \Leftrightarrow P\{X=C\}=1$$

当X, Y相互独立时 $$D(X \pm Y)=D(X)+D(Y)$$

### 3，协方差与相关系数

协方差 $$Cov\,(X, Y)=E(X Y)-E(X) E(Y)$$  当X,Y相互独立时 $$Cov\,(X, Y)=0$$

相关系数 $$\rho_{x y}=\frac{\operatorname{cov}(X, Y)}{\sqrt{\operatorname{var}(X) \cdot \operatorname{var}(Y)}}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \cdot\|\vec{b}\|}=\cos \theta$$   当X,Y相互独立时 $$\rho_{X Y}=0$$ X,Y不相关

k阶原点矩$$E(X^k)$$

k阶中心距$$E\left\{[X-E(X)]^{k}\right\}$$

协方差和相关系数的性质 $$cov(X, X)=D(X), \quad Cov(X, Y)=Cov(Y, X)$$

$$cov\left(X_{1}+X_{2}, Y\right)=Cov\left(X_{1}, Y\right)+Cov\left(X_{2}, Y\right), \quad Cov(a X+c, b Y+\alpha)=a b Cov(X, Y)$$

$$Cov(x, a)=0$$ a为常数   $$D(a X \pm b Y)=a^{2} D(X)+b^{2} D(Y) \pm 2 a b Cov(X, Y)$$

### 4，常见随机变量分布的数学期望和方差

**1）0-1分布**

0-1分布是单个二值型离散随机变量的分布，其概率分布函数为：

$$P(X=1)=p\,\, \,\, \,\, \,\, P(X=0)=1-p$$

**2）几何分布**

几何分布是离散型概率分布，其定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。即：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。其概率分布函数为：

$$P(X=k)=(1-p)^{k-1} p$$                               $$E(X)=\frac{1}{p} \operatorname{Var}(X)=\frac{1-p}{p^{2}}$$

**3）二项分布**

二项分布即重复n次伯努利试验，各次试验之间都相互独立，并且每次试验中只有两种可能的结果，而且这两种结果发生与否相互对立。如果每次试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p，则n次重复独立试验中发生k次的概率为：

$$P(X=k)=C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k}$$                            $$E(X)=n p \,\,\,\,\,\,\,\,\operatorname{Var}(X)=n p(1-p)$$

**4）高斯分布**

**5）指数分布**

指数分布是事件的时间间隔的概率，它的一个重要特征是无记忆性。例如：如果某一元件的寿命的寿命为T，已知元件使用了t小时，它总共使用至少t+s小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。下面这些都属于指数分布：

* 婴儿出生的时间间隔
* 网站访问的时间间隔
* 奶粉销售的时间间隔

指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个婴儿要间隔时间t，就等同于t之内没有任何婴儿出生，即：

$$P(X \geq t)=P(N(t)=0)=\frac{(\lambda t)^{0} \cdot e^{-\lambda t}}{0 !}=e^{-\lambda t}$$  则    $$P(X \leq t)=1-P(X \geq t)=1-e^{-\lambda t}$$

如：接下来15分钟，会有婴儿出生的概率为：

$$P\left(X \leq \frac{1}{4}\right)=1-e^{-3 \cdot \frac{1}{4}} \approx 0.53$$

**6）泊松分布**

日常生活中，大量事件是有固定频率的，比如：

* 某医院平均每小时出生3个婴儿
* 某网站平均每分钟有2次访问
* 某超市平均每小时销售4包奶粉

它们的特点就是，我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。已知平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？有可能一下子出生6个，也有可能一个都不出生，这是我们没法知道的。

**泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。**其概率函数为：

$$P(N(t)=n)=\frac{(\lambda t)^{n} e^{-\lambda t}}{n !}$$

其中：

P表示概率，N表示某种函数关系，t表示时间，n表示数量，1小时内出生3个婴儿的概率，就表示为 P\(N\(1\) = 3\) ；λ 表示事件的频率。

还是以上面医院平均每小时出生3个婴儿为例，则$$\lambda=3$$；

那么，接下来两个小时，一个婴儿都不出生的概率可以求得为：

$$P(N(2)=0)=\frac{(3 \cdot 2)^{\circ} \cdot e^{-3 \cdot 2}}{0 !} \approx 0.0025$$

同理，我们可以求接下来一个小时，至少出生两个婴儿的概率：

$$P(N(1) \geq 2)=1-P(N(1)=0)-P(N(1)=1) \approx 0.8$$

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## 大数定律和中心极限定理

## 数理统计的基本概念

### 1，总体和样本的分布函数

设总体$$X\sim F(x)$$,则样本的联合分布函数$$F\left(x_{1}, x_{2} \cdots x_{n}\right)=\prod_{k=1}^{n} F\left(x_{\hat{\varepsilon}}\right)$$

### 2， 统计量

样本均值 $$\overline{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$$   样本方差 $$S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}^{2}-n \overline{X}^{2}\right)$$

样本标准差 $$S=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2}}$$   样本的k阶原点距 $$A_{\mathrm{k}}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{k}, k=1,2...$$

样本的k阶中心距 $$B_{k}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{\kappa}\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{*}, k=1,2,3 \cdots$$

### 3，三大抽样分布

a, $$\chi^2$$分布：设随机变量 $$\mathrm{X} \sim \mathrm{B}(0,1)(i=1,2, \cdots, n)$$且相互独立，则称统计量

$$\chi^2=X_1^2+X_2^2+...X_n^2$$服从自由度为n的$$\chi^2$$分布，记为$$\chi^2=\chi^2(n)$$

性质  $$E\left[\chi^{2}(n)\right]=n, D\left[\chi^{2}(n)\right]=2 n$$  设$$X \sim \chi^{2}(m), Y \sim \chi^{2}(n)$$ 且相互独立，则$$X+Y \sim \chi^{2}(m+n)$$

b,t分布：设随机变量$$X \sim N(0,1), Y \sim \chi^{2}(n)$$, 且X与Y独立，则称统计量

$$T=\frac{X}{\sqrt{Y / n}}$$服从自由度为n的t分布， 记为$$T \sim t(n)$$

性质 $$E(T)=0(n>1), D(T)=\frac{n}{n-2}(n>2)$$

$$\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^{2}}{2}}$$

c,F分布，设随机变量 $$X \sim \chi^{2}(n_1), Y \sim \chi^{2}(n_2)$$ 且X与Y相互独立，则称随机变量

$$F=\frac{\sum_{i=1}^{n_{1}} X_{i}^{2}}{n_{1}} / \frac{\sum_{i=1}^{n_{2}} Y_{i}^{2}}{n_{2}}$$ 服从自由度n1和n2的F分布。

### 4**.正态总体的常用样本分布**

\(1\) 设$$X_{1}, X_{2} \cdots, X_{n}$$为来自正态总体$$N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$$的样本，$$\overline{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2}$$，则：

1\)$$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^{2}}{n}\right)$$或者$$\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$$

2\)$$\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}=\frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2} \sim \chi^{2}(n-1)$$

3\)$$\frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2} \sim \chi^{2}(n)$$

4\)$$\frac{\overline{X}-\mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$$

### 5**.重要公式与结论**

\(1\) 对于$$\chi^{2} \sim \chi^{2}(n)$$，有$$E\left(\chi^{2}(n)\right)=n, D\left(\chi^{2}(n)\right)=2 n$$

\(2\) 对于$$T \sim t(n)$$，有；$$E(T)=0, D(T)=\frac{n}{n-2}(n>2)$$

\(3\) 对于$$F_{\sim} F(m, n)$$，有$$\frac{1}{F} \sim F(n, m), F_{a / 2}(m, n)=\frac{1}{F_{1-a / 2}(n, m)}$$

\(4\) 对于任意总体X，有$$E(\overline{X})=E(X), E\left(S^{2}\right)=D(X), D(\overline{X})=\frac{D(X)}{n}$$

## 信息论 {#information-theory}

信息理论是应用数学的一个分支，主要是来围绕着定量的分析一个信号中包含了多少信息。最开始是用来研究通过噪声通道发送离散字母的信息发送问题，例如通过无线电的通信。在这个环境中，信息论能告诉我们怎么最优化编码，计算预期的消息长度并从特定采样的概率分布使用不同的编码方案，在机器学习当中，可以将信息论应用于连续变量，采用这种正式的直觉

* 相似的事件拥有较少的信息量，在极端情况下，事件确定发生的情况，应该不包含
* 相似度小的事情应该拥有更高的信息量
* 独立事件应该有附加信息

为了满足这三个性质，所以呢定义了互信息 I\(X\)=-LogP\(x\)（自信息（英语：self-information），又译为信息本体，由克劳德·香农提出，用来衡量单一事件发生时所包含的信息量多寡）。用nat作为单位，1nat就是观测可能性为1/e的事件所包含的信息量。可以用Shannon entropy（香农熵）来衡量概率分布当中的不确定性大小。当变量是连续变量时，香龙熵就变成了（differencial entropy）微分熵。如果说遇到了两个分布，那么用Kullback-Leibler \(KL\) divergence来衡量两个分布之间的不同。

### **1、熵**

如果一个随机变量X的可能取值为$$X=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots . . ., x_{n}\right\}$$，其概率分布为$$P\left(X=x_{i}\right)=p_{i}, i=1,2, \ldots, n$$，则随机变量X的熵定义为**H\(X\)**：$$H(X)=-\sum_{i=1}^{n} P\left(x_{i}\right) \log P\left(x_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} P\left(x_{i}\right) \frac{1}{\log P\left(x_{i}\right)}$$

### **2、联合熵**

两个随机变量X和Y的联合分布可以形成联合熵，定义为联合自信息的数学期望，它是二维随机变量XY的不确定性的度量，用**H\(X,Y\)**

表示：$$H(X, Y)=-\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} P\left(x_{i}, y_{j}\right) \log P\left(x_{i}, y_{j}\right)$$

### **3、条件熵**

在随机变量X发生的前提下，随机变量Y发生新带来的熵，定义为Y的条件熵，用**H\(Y\|X\)**表示：

$$H(Y | X)=-\sum_{x, y} P(x, y) \log P(y | x)$$

条件熵用来衡量在已知随机变量X的条件下，随机变量Y的不确定性。

实际上，熵、联合熵和条件熵之间存在以下关系：

$$H(Y | X)=H(X, Y)-H(X)$$

推导过程如下：

$$\begin{array}{l}{H(X, Y)-H(X)} \\ {=-\sum_{x, y} p(x, y) \log p(x, y)+\sum_{x} p(x) \log p(x)} \\ {=-\sum_{x, y} p(x, y) \log p(x, y)+\sum_{x}\left(\sum p(x, y)\right) \log p(x)} \\ {=-\sum_{x, y} p(x, y) \log p(x, y)+\sum_{x, y} p(x, y) \log p(x)} \\ {=-\sum_{x y} p(x, y) \log \frac{p(x, y)}{p(x)}} \\ {=-\sum_{x y} p(x, y) \log p(y | x)}\end{array}$$

### **4、相对熵**

相对熵又称互熵、交叉熵、KL散度、信息增益，是描述两个概率分布P和Q差异的一种方法，记为**D\(P\|\|Q\)**。在信息论中，D\(P\|\|Q\)表示当用概率分布Q来拟合真实分布P时，产生的信息损耗，其中P表示真实分布，Q表示P的拟合分布。

对于一个离散随机变量的两个概率分布P和Q来说，它们的相对熵定义为：$$D(P \| Q)=\sum_{i=1}^{n} P\left(x_{i}\right) \log \frac{P\left(x_{i}\right)}{Q\left(x_{i}\right)}$$

注意：D\(P\|\|Q\) ≠ D\(Q\|\|P\)

相对熵又称**KL散度\( Kullback–Leibler divergence\)**，KL散度也是一个机器学习中常考的概念。

### **5、互信息**

两个随机变量X，Y的互信息定义为X，Y的联合分布和各自独立分布乘积的相对熵称为互信息，用**I\(X,Y\)**表示。互信息是信息论里一种有用的信息度量方式，它可以看成是一个随机变量中包含的关于另一个随机变量的信息量，或者说是一个随机变量由于已知另一个随机变量而减少的不肯定性。$$I(X, Y)=\sum_{x \in X} \sum_{y \in Y} P(x, y) \log \frac{P(x, y)}{P(x) P(y)}$$

互信息、熵和条件熵之间存在以下关系：$$H(Y | X)=H(Y)-I(X, Y)$$

推导过程如下：

$$\begin{aligned} & H(Y)-I(X, Y) \\ &=-\sum_{y} p(y) \log p(y)-\sum_{x y} p(x, y) \log \frac{p(x, y)}{p(x) p(y)} \\ &=-\sum_{y}\left(\sum_{x} p(x, y) \log p(y)-\sum_{x y} p(x, y) \log \frac{p(x, y)}{p(x) p(y)}\right.\\ &=-\sum_{x y} p(x, y) \log p(y)-\sum_{x y} p(x, y) \log \frac{p(x, y)}{p(x) p(y)} \\ &=-\sum_{x y} p(x, y) \log \frac{p(x, y)}{p(x)} \\ &=-\sum_{x y}^{x y} p(x, y) \log \frac{p(x, y)}{p(x)} \\ &=H(Y | X) \end{aligned}$$

通过上面的计算过程发现有：**H\(Y\|X\) = H\(Y\) - I\(X,Y\)**，又由前面条件熵的定义有：**H\(Y\|X\) = H\(X,Y\) - H\(X\)**，于是有**I\(X,Y\)= H\(X\) + H\(Y\) - H\(X,Y\)**，此结论被多数文献作为**互信息的定义**

### **6、最大熵模型**

最大熵原理是概率模型学习的一个准则，它认为：学习概率模型时，在所有可能的概率分布中，熵最大的模型是最好的模型。通常用约束条件来确定模型的集合，所以，**最大熵模型原理也可以表述为：在满足约束条件的模型集合中选取熵最大的模型。**

前面我们知道，若随机变量X的概率分布是$$P\left(x_{i}\right)$$，则其熵定义如下：

$$H(X)=-\sum_{i=1}^{n} P\left(x_{i}\right) \log P\left(x_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} P\left(x_{i}\right) \frac{1}{\log P\left(x_{i}\right)}$$

**熵满足下列不等式**：$$0 \leq H(X) \leq \log |X|$$

式中，**\|X\|是X的取值个数**，**当且仅当X的分布是均匀分布时右边的等号成立**。**也就是说，当X服从均匀分布时，熵最大。**

直观地看，最大熵原理认为：要选择概率模型，首先必须满足已有的事实，即约束条件；在没有更多信息的情况下，那些不确定的部分都是“等可能的”。**最大熵原理通过熵的最大化来表示等可能性；“等可能”不易操作，而熵则是一个可优化的指标。**

# Structured Probabilistic Models-结构化的概率模型 {#structured-probabilistic-models-结构化的概率模型}

机器学习通常涉及非常大量的随机变量的概率分布。通常，这些概率分布会涉及相对较少变量的直接相互作用。采用一个单一的函数来描述整个联合概率分布式非常有效的（不论是计算效率还是统计效率）。当我们用一个graph来表征概率分布的factorization，就可以称之为structured probabilistic model 结构化概率模型 or graphical model 图论模型。结构概率模型分为两种：直接和间接。这两种方法都是用一个图，每个图的节点表示一个变量，连接点之间的边表示这两个随机变量之间的直接相关的概率分布。