[Esame 11 Febbraio 2020] Esercizio 2

[Elia-Belli]

[Elia-Belli]

(1) La v.a $Y=X^2$ è uniforme su $\{1,4\}$

Y \ X	$-2$	$-1$	$1$	$2$
$1$	$0$	$1/4$	$1/4$	$0$
$4$	$1/4$	$0$	$0$	$1/4$

Notiamo già che le v.a. non sono indipendenti, infatti ci sono degli 0 nella tabella

(2) Sappiamo che per due v.a. $Cov(X,Y)=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$

$$\mathbb{E}(XY)=\sum_{x\in Im(X)}\sum_{y\in Im(Y)}xy \cdot \mathbb{P}(X=x,Y=y)=\frac{1}{4}\cdot (-1+1-8+8)=0$$

$$\mathbb{E}(X)=\frac{1}{4}(-2-1+1+2)=0$$

$$\mathbb{E}(Y)=\frac{1}{2}(1+4)=2.5$$

$$Cov(X,Y)=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)=0-0\cdot 2.5=0$$

(3) Il fatto che la covarianza sia $0$ non implica che le v.a. siano indipendenti, infatti è una condizione necessaria ma non sufficiente per l'indipendenza. Inoltre come già evidenziato, nella tabella sono presenti degli $0$ ovvero le v.a non possono assumere alcuni valori contemporaneamente e l'indipendenza viene a meno, infatti:

$$\mathbb{P}(X=-1,Y=4)=0\neq \mathbb{P}(X=-1)\cdot \mathbb{P}(Y=4)=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$$

Basta mostrare un solo caso in cui la prob congiunta non è uguale al prodotto delle marginali

(4) La distribuzione di $X$ condizionata ad $Y$ è :

$$\mathbb{P}(X|Y=1)=\frac{\mathbb{P}(X=x,Y=1)}{\mathbb{P}(Y=1)}$$

In questo caso $X$ può assumero solo $2$ valori, ovvero $\{-1,1\}$ con rispettive probabilità:

$$\mathbb{P}(X=-1|Y=1)=\frac{\mathbb{P}(X=-1,Y=1)}{\mathbb{P}(Y=1)}=\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{1}=\frac{1}{2}$$

$$\mathbb{P}(X=1|Y=1)=\frac{\mathbb{P}(X=1,Y=1)}{\mathbb{P}(Y=1)}=\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{1}=\frac{1}{2}$$