[Esame Gennaio 2020] Esercizio 1

[Elia-Belli]

[LeoCosta02]

[cornflexxx]

@LeoCosta02

Nel terzo punto il passaggio a complemento che hai fatto sta considerando anche i casi in cui ci sono due semi uguali ed uno diverso, ho trovato più facile svolgerlo direttamente:

$$P\{\text{tre carte estratte con semi diversi}\}=\frac{40 \cdot 30 \cdot 20}{40\cdot 39 \cdot 38}\approx 0.40$$

Ci servono tutte quelle tuple del tipo $(D,B,S)$ dove le lettere rappresentano il seme della carta.

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Allo stesso modo nel terzo punto non ho ragionato in termini di probabilità condizionata ma sempre in termini di casi favorevoli su casi possibili.
Casi favorevoli: sono tutti quei casi del tipo $(A_D,X,X)$, quindi il primo fisso e gli altri che permutano perciò $CF=\binom{39}{2}2!$
Casi possibili: sono tutti quei casi dello stesso tipo precedente ma i tre elementi permutano tutti quindi $CP=\binom{39}{2}3!$

$$P\{\text{asso al primo posto}\}=CF/CP=\frac{1}{3}$$

[LeoCosta02]

@cornflexxx Adesso anche con il complemento dovrebbe essere giusto e poi ho calcolato come hai fatto tu in modo diretto

[LeoCosta02]

Il quarto punto se si vuole usare la prob condizionata

[Elia-Belli]

(1) Lo spazio di probabilità dell'estrazione senza rimpiazzo di $3$ carte dalle $40$ è descritto come:
$$\Omega =\{(w_1,w_2,w_3)| w_i=1,..,40\ w_i\neq w_j\}$$ con $\mathbb{P}$ uniforme su $\Omega$ , dato che $|\Omega|=\binom{40}{3}$ ogni tupla ha probabilità $1/\binom{40}{3}$ di essere ottenuta.

(2) Possiamo avere una napoletana di $4$ semi differenti, quindi calcoliamo la probabilità per un seme e la moltiplichiamo per il numero di semi:
$$\mathbb{P}(napoletana)=4\cdot \mathbb{P}((1D,2D,3D))=\frac{4}{\binom{40}{3}}$$

(3) Possiamo scegliere i semi invece delle carte in $\binom{4}{3}=4$ modi diversi e per ogni seme scegliere una carta tra le $10$:

$$\mathbb{P}(semi\ diversi)=\frac{4\cdot 10^3}{\binom{40}{3}}\simeq 0.405$$

(4) Lo spazio $\Omega$ definito non considera l'ordine delle estrazioni, preferisco utilizzare la probabilità condizionata e ragionare sulle estrazioni con l'asso di denari favorevoli contro quelle possibili:

$$\mathbb{P}(Asso\ Denari\ 1°\ estratto)=\mathbb{P}(i=1|w_i=1D)=\frac{\mathbb{P}(i=1\cap w_i=1D)}{\mathbb{P}(w_i=1D)}=\frac{1/40}{3/40}=\frac{1}{3}$$

[CasuFrost]

Scusa una cosa non mi è chiara nel punto 3, scrivi che $\mathbb{P}(\omega_i=1D)=\frac{3}{40}$, ma non dovrebbe essere :
$$\frac{1}{40}+\frac{1}{39}+\frac{1}{38}$$
?

[CiottoloMaggico]