[A-L] (2023/24) Foglio 9 - Esercizio 3

[Elia-Belli]

[cornflexxx]

Riscrivo la formula del valore atteso:

$$\mathbb{E}(X)=\sum_{k=0}^{+\infty} k\cdot \mathbb{P}(X=k)=\sum_{k=1}^{+\infty} \sum_{i=1}^{k}\mathbb{P}(X=k)$$

per comodità d'ora in poi scriverò $\mathbb{P}(X=k)$ come $p(k)$.
Quindi svolgendo le sommatorie otteniamo la somma delle probabilità al variare di k:

$$\mathbb{E}(X)=p(1)+p(2)+p(2)+...+[p(n)+p(n)+...+p(n)]+... \quad (i) \qquad \text{ le quadre racchiudono esattamente $n$ termini}$$

Usando la prop. associativa riscriviamo $(i)$ nel seguente modo:

$$\mathbb{E}(X)=(p(1)+p(2)+...+p(n)+...)+(p(2)+p(3)+...+p(n)+...)+...+(p(n)+p(n+1)+...)+...=...$$

$$...=\sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{h=k+1}^{+\infty} \mathbb{P}(X=h)\quad (ii)$$

Ricordiamo che :
$$\mathbb{P}(X>k) = \mathbb{P}(X=k+1)+\mathbb{P}(X=k+2)+... =\sum_{h=k+1}^{+\infty} \mathbb{P}(X=h) \qquad \text{fino al massimo valore assunto dalla v.a}$$
Allora possiamo riscrivere così la $(ii)$:
$$\mathbb{E}(X)=\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}(X>k)$$

[CiottoloMaggico]

@cornflexxx come hai fatto a far sparire il k nella prima sommatoria? kP(X=k) = P(X<=k)?

[cornflexxx]

@cornflexxx come hai fatto a far sparire il k nella prima sommatoria? kP(X=k) = P(X<=k)?

Non ho scritto quello perché se noti nella sommatoria si calcola sempre la distribuzione di $k$ non della $i$, ho solo osservato che svolgendo la sommatoria $p(k)$ compare $k$ volte

[CiottoloMaggico]

Non ci avevo fatto caso, sicuramente la tua soluzione è più semplice della mia. A farlo in quel modo non ci ho proprio pensato 🤯