[A-L] (2023/24) Foglio 6 - Esercizio 2

[Elia-Belli]

[Elia-Belli]

Dado a 6 facce

Il lancio di un dado equo a 6 facce implica probabilità uniforme per tutti i 6 possibili risultati: $\mathbb{P}(X=x)=1/6,\forall x \in Im(X)$

$$\mathbb{E}(X)=\sum^6_{i=1}i\cdot 1/6=\frac{1}{6}\cdot \frac{6\cdot 7}{2}=3.5$$

$$\mathbb{V}(X)=\sum^6_{i=1}(i-3.5)^2\cdot 1/6=\frac{1}{6}\sum^6_{i=1}i^2-7i+3.5^2=\frac{1}{6}(91-7\cdot 21+6\cdot3.5^2)\simeq 2.92$$

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Dado ad n facce

Analogamente a prima $\mathbb{P}(X=x)=\frac{1}{n},\forall x \in Im(X)$
$$\mathbb{E}(X)=\sum^{n}_{i=1}i\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n}\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2}$$

$$\mathbb{V}(X)=\sum^{n}_{i=1}(i-\frac{n+1}{2})^2\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n}[\sum^n_{i=1}i^2+\sum^n_{i=1}(\frac{n+1}{2})^2-\sum^n_{i=1}2i\cdot \frac{n+1}{2}]=$$

$$=\frac{1}{n}[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+n(\frac{n+1}{2})^2-(n+1)\frac{n(n+1)}{2}]=\frac{n^2-1}{12}$$

[CiottoloMaggico]

Analogo @Elia-Belli

[niccolo-fato]