[A-L] (2023/24) Foglio 5 - Esercizio 8

[Elia-Belli]

[Elia-Belli]

Soluzione confermata in classe

Considero una schema di Bernoulli $\Omega=\{(w_1,...,w_n)|w_i=T,C\}$ ovvero tutte le possibili parole di $n$ lettere scelte tra $T,C$.
L'evento che studiamo è $A=\{ottenere\ a\ T\ prima\ di\ b\ C\}=\{parole\ con\ a\ T\ prima\ di\ b\ C\}$.

Consideriamo le parole lunghe $n=a+b$ composte da $a$ Teste e $b$ Croci, siccome a noi interessano solamente quelle in cui abbiamo $a$ Teste prima delle $b$ Croci possiamo fissare una Croce come ultima lettera e calcolare la probabilità di ottenere $a$ Teste e $b-1$ Croci nelle prime $n-1$ lettere.
$$\mathbb{P}(A)=\binom{a+b-1}{a}p^a(1-p)^{b-1}$$

[CasuFrost]

Scusa ma così non staresti considerando solamente la probabilità di ottenere $a$ volte testa in $a+b-1$ lanci ? Non dovresti considerare
tutti i casi in cui si fanno anche dagli $a$ lanci fino agli $a+b-2$ lanci e si ottiene comunque un numero $a$ di teste? Oppure questi sono già contenuti nel risultato che hai dato?

Presunto risultato alternativo :
$$\displaystyle\sum_{i=a}^{a+b-1}\binom{i}{a}p^a(1-p)^{i-a}$$
Credo però di non star considerando le intersezioni

[cornflexxx]

La soluzione proposta sopra è stata confermata anche dal prof però come fai notare in questo modo stiamo contando solo quei casi in cui ci sono esattamente $b$ croci. Per calcolare la probabilità in modo corretto:

$$P(\text{a prima di b}) = \sum_{k=a}^{a+b-1} \binom{a+b-1}{k} p^k(1-p)^{a+b-1-k}$$

così consideriamo anche i quei casi in cui $n° teste>a$.