[A-L] (2023/24) Foglio 4 - Esercizio 7

[Elia-Belli]

[CiottoloMaggico]

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Soluzione Confermata in Classe

Sia $p=18/37$ la probabilità di vincere una partita e $1-p=19/37$ di perderla.
Le singole partite sono eventi indipendenti, le codifico con 0 in caso di perdita e 1 in caso di vincita.
Codifico la serie di 10 partite con uno schema di Bernoulli $XXXXXXXXXX$, dove $X=0,1$: tutti i possibili risultati delle 10 partite giocate sono $2^{10}$.

• (1) Armando effettua la prima vincita alla 5° partita se perde le prime 4, vince la 5° e consegue un qualsiasi risultato nelle rimanenti, ovvero $\mathbb{P}(00001XXXXX)=(1-p)^4\cdot p=(19/37)^4\cdot 18/37\simeq 0.034$
• (2) La prob che Armando vinca almeno 2 partite è la somma delle prob che Armando ne vinca esattamente 2, esattamente 3, ..., esattamente 8 (eventi disgiunti):
  $$\mathbb{P}(almeno\ due\ 1)=\sum^{10}_{k=2}\binom{10}{k}p^k\cdot(1-p)^{10-k}=-[(1-p)^{10}+10p(1-p)^9]+\sum^{10}_{k=0}\binom{10}{k}p^k\cdot(1-p)^{10-k}$$
  Ora posso applicare la formula del Binomio di Newton, con $a=(1-p),\ b=p$:
  $$-[(1-p)^{10}+10p(1-p)^9]+(1-p+p)^n=1-[\frac{19^{10}}{37^{10}}+\frac{10\cdot 18\cdot 19^9}{37\cdot 37^9}]\simeq 1- 0.23=0.77$$
  Ovvero abbiamo calcolato l'evento complementare: la probabilità di vincerne esattamente 0 o esattamente 1 (che potevamo fare dall'inizio :])
• (3) Il capitale di Armando aumenta di (esattamente) 2 euro se vince 6 partite e ne perde 4:
  $$\mathbb{P}(+2\ euro)=\mathbb{P}(sei\ 1)=\binom{10}{6}\cdot p^6\cdot (1-p)^4= 210\cdot(18/37)^6\cdot(19/37)^4\simeq 0.19$$

[cornflexxx]

$2)$ Nel secondo punto ho provato a passare a complemento ottenendo lo stesso risultato:

$$\mathbb{P}(\text{almeno due vinte})=1-\mathbb{P}(\text{esattamente una vinta $\cup$ esattamente zero vinte})=1-(\mathbb{P}(\text{esattamente una vinta}) \cup \mathbb{P}(\text{esattamente zero vinte}))$$

$$\mathbb{P}(\text{almeno due vinte})=1-[10(1-p)^9p+(1-p)^{10}]$$

[CuriousCI]

$1)$ Abbiamo $Z \sim \text{Geom}(\frac{18}{37})$

Per i punti $2)$ e $3)$, possiamo considerare $X \sim \text{Bin}(10, \frac{18}{37})$

$2)$ Abbiamo $\mathbb{P}(X >= 2) = 1 - [\mathbb{P}(X = 0) + \mathbb{P}(X = 1)]$ etc...

$3)$ Possiamo considerare $Y = 2 X - 10 \implies \mathbb{P}(Y = 2) = \mathbb{P}(2X - 10 = 2) = \mathbb{P}(X = 6) = {10 \choose 6} (\frac{18}{37})^6 (\frac{19}{37})^4$