[A-L] (2023/24) Foglio 1 - Esercizio 7

[Elia-Belli]

[Elia-Belli]

Soluzione confermata in classe

• 1) Se $\mathbb{P}(B^c)=1/4 \Rightarrow \mathbb{P}(B)=1 - 1/4= 3/4$, siccome $\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)=1/3+3/4 = 13/12 > 1$ allora i due eventi devono obbligatoriamente condividere degli eventi elementari per rispettare la condizione $\mathbb{P}(\Omega)=1$. Quindi è impossibile che gli eventi siano disgiunti.

• 2) Nel caso di eventi disgiunti $\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) \Rightarrow \mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(A \cup B) - \mathbb{P}(A) = 3/4 - 1/4 = 2/4$

• 3) $\mathbb{P}(A \cup B)$ ha valore massimo quando gli eventi sono disgiunti: $\mathbb{P}(A \cup B)= \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)=3/8+3/8=6/8$;
  mentre ha valore minimo quando gli eventi coincidono: $\mathbb{P}(A \cup B)= \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A \cap B)=3/8+3/8-3/8=3/8$;
  Quindi $3/8 \leq \mathbb{P}(A \cup B) \leq 6/8$, quindi non può valere ne' $1/4$ ne' $7/8$.

• 4) Dimostriamo il limite inferiore e superiore:
  $\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)= 3/4 + 3/8 -\mathbb{P}(A \cap B) \leq 1$,
  $\mathbb{P}(A \cap B) \geq 3/4 +3/8 -1 = 9/8-1 = 1/8$ (limite inferiore).
  Siccome $\mathbb{P}(A) > \mathbb{P}(B)$ è possibile che $B \subset A$, in tal caso $(A \cap B)=B \Rightarrow \mathbb{P}(A \cap B)=3/8$ (limite superiore).

• 5) Spostando alcuni membri dell'equazione si ottiene: $1 \geq \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$
  Sappiamo che $\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A \cup B)$ per qualsiasi due eventi non necessariamente disgiunti;
  Inoltre per la definizione di $\mathbb{P}$ sappiamo che $\mathbb{P}(\Omega) = 1$;
  Riscrivendo $\mathbb{P}(\Omega) \geq \mathbb{P}(A \cup B)$, dato che $\mathbb{P}$ è una funzione monotona rispetto all'inclusione di insiemi, la disequazione è rispettata se $(A \cup B) \subset \Omega$ , siccome l'unione di eventi è un operazione chiusa l'evento risultante è per definizione $\subset \Omega$.

[MostroAle01]

Non ho capito come hai trovato la P(A ∩ B) nel punto 3, quando l'intersezione non è necessariamente disgiunta.

[CiottoloMaggico]

Allego soluzione punto 4:
Per verificare 1/8 <= P(A ∩ B) <= 3/8 possiamo procedere verificando le disuguaglianze separatamente.
P(A∩B) <= 3/8 <=> P(A∩B) <= P(B) => caso peggiore A∩B=B => B⊆A
P(A∩B) >= P(A) + P(B) - 1 (sfruttando la 5) >= 1/8 => P(A)+P(B)-1 = 3/4+3/8-1 = 1/8
La prima e la seconda disuguaglianza possono essere valide contemporaneamente poichè la 5 è rispettata anche per eventi che non sono necessariamente disgiunti.