enonces_series_entieres.tex

\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}

\begin{titlepage}
	\centering
	\vspace*{\fill}
	\Huge \textit{\textbf{Exercices MP/MP$^*$\\ Séries Entières}}
	\vspace*{\fill}
\end{titlepage}

\begin{exercise}
    Donner le rayon de convergence de 
    \begin{enumerate}
        \item $\sum_{n\geqslant1}\left(\cosh\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{n^{\alpha}}z^{n}$,
        \item $\sum_{n\geqslant1}\left(1+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right)^{n^{3}}z^{n}$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    \phantom{}
    \begin{enumerate}
        \item Soit $(\theta_{1},\dots,\theta_{p})\in[0,2\pi[^{p}$ des réels distincts, $(m_{1},\dots,m_{p})\in(\N^{*})^{p}$. Montrer que 
        \begin{equation}
            \left(u_n=\sum_{k=1}^{p}m_{k}\e^{\i n\theta_{k}}\right)_{n\in\N}
        \end{equation}
        ne tend pas vers 0.

        \item Soit $A\in\M_{p}(\C)$ et $a_n=\Tr(A^{n})$. Donner le rayon de convergence et la somme de $\sum a_{n}z^{n}$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Donner le rayon de convergence et calculer la somme (en cas de convergence) de 
    \begin{equation}
        \sum_{n\geqslant1}\frac{z^{n}}{\sum_{k=1}^{n}k^{2}}=\sum_{n=\geqslant1}\frac{6z^{n}}{n(n+1)(2n+1)}.
    \end{equation}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    On définit \function{f}{]-1,+\infty[}{\R}{t}{
        \left\lbrace
            \begin{array}[]{ll}
                \frac{t}{\ln(1+t)} & \text{si }t\neq0,\\
                1 & \text{si }t=0.
            \end{array}
        \right.
    }

    Montrer que $f$ est développable en série entière sur $]-1,1[$, en déduire que $f$ est $\mathcal{C}^{\infty}$. On pourra former $\int_{0}^{1}(1+t)^{u}\d u=I(t)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Donner le rayon de convergence de $\sum_{n\geqslant1}a_{n}z^{n}$ où 
    \begin{equation}
        a_n=\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right)^{\ln(n)}.
    \end{equation}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Donner le rayon de convergence de $\sum a_{n}z^{n}$ où $a_n$ est le nombre de diviseurs $n$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Soit $(a_n)_{n\in\N}\in\left(\R_{+}^{*}\right)^{\N}$ telle que 
    \begin{equation}
        \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{a_{n-1}a_{n+1}}{a_{n}^{2}}=l\in\R.
    \end{equation}
    Déterminer le rayon de convergence de $\sum a_{n}z^{n}$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Soit $z\in\C$ tel que $\left\lvert z\right\rvert<1$. On pose $\phi(z)=\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{z^{n}}{n}$. Déterminer $\e^{\phi(z)}$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Donner le rayon de convergence et calculer la somme (sur le disque ouvert de convergence) de 
    \begin{equation}
        \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^{n}}{\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)}.
    \end{equation}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Soit $(a_n)_{n\in\N}$ et $(b_n)_{n\in\N}$ des suites réelles, on suppose que
    \begin{enumerate}[label=\roman*)]
        \item pour tout $n\in\N$, $b_n\geqslant0$,
        \item $a_n\underset{+\infty}{\sim}b_n$,
        \item le rayon de convergence de $\sum b_{n}z^{n}$ vaut 1,
        \item $\sum b_{n}$ diverge.
    \end{enumerate}

    On forme sur $[0,1[$, $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}$ et $g(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}b_{n}x^{n}$.

    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $\lim\limits_{x\to1^{-}}g(x)=+\infty$.
        \item Montrer que $f(x)\underset{x\to1^{-}}{\sim}g(x)$.
        \item Donner un équivalent simple quand $x\to1^{-}$ de $h_p(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}n^{p}x^{n}$ avec $p\in\N$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^{n}$ de rayon de convergence 1. On suppose que $\lim\limits_{x\to1^{-}}=S\in\R$ et que $a_n=\underset{+\infty}{o}\left(\frac{1}{n}\right)$. Montrer que $\sum a_{n}$ converge et vaut $S$. On pourra étudier $f\left(1-\frac{1}{n}\right)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Soit $f\colon\C\to\C$ développable en série entière avec un rayon de convergence $\rho>0$ telle que $f(0)\neq0$. Montrer qu'il existe une fonction $T$, développable en série entière, et $r>0$, telle que si $\left\lvert z\right\rvert<r$, $f(z)=\e^{T(z)}$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Soit $a\in\R\setminus\Q$, on pose pour tout $n\geqslant1$, $a_n=\frac{1}{\sin(n\pi a)}$. Soit $R_a$ le rayon de convergence de $\sum a_{n}z^{n}$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $R_a\leqslant1$.
        \item Évaluer $R_a$ lorsque $a$ est irrationnel algébrique.
        \item Existe-t-il $a$ tel que $R_a=0$ ?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Soit $(a_{1},\dots,a_{N})\in\N^{\N}$ premiers entre eux dans leur ensemble. Pour $n\in\N$, on note $c_n=\left\lvert\left\lbrace (p_1,\dots,p_N)\in\N^{N}\middle| p_1a_1+\dots p_Na_N=n\right\rbrace\right\rvert$. Donner un équivalent simple de $c_n$ quand $n\to+\infty$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Soit \function{f}{\R}{\R}{x}{\sqrt{1+x+x^{2}}}
    Montrer que $f$ est développable en série entière, et donner le rayon de convergence de la série entière obtenue. On pourra dériver $f^{2}(x)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Soit $f\colon[0,A[\to\R$ de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ telle que pour tout $n\in\N$, pour tout $t\in[0,1[$, $f^{(n)}(t)\geqslant0$.
    \begin{enumerate}
        \item Soit $x\in[0,A[$, montrer que $\sum_{k\geqslant0}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}$ converge.
        \item On pose, pour $n\in\N$ et $x\in[0,A[$, $R_n(x)=\int_{0}^{x}\frac{(x-t)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t)\d t$. Montrer que si $x<y<A$, on a $0\leqslant R_n(x)\leqslant\left(\frac{x}{y}\right)^{n}R_n(y)$.
        \item En déduire que $f$ est développable en série entière sur $[0,A[$.
        \item Application à $\tan$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Déterminer le rayon de convergence de $\sum a_nz^{n}$ si
    \begin{enumerate}
        \item $a_n=\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{(-1)^{k}}{k}$.
        \item pour tout $p\in\N$, $a_{3p}=\frac{(-1)^{p}}{2^{p}}$, $a_{3p+1}=3^{p}$ et $a_{3p+2}=0$. Calculer la somme.
        \item $a_n=\int_{0}^{1}\frac{t^{n}}{1+t+t^{2}}\d t$, et calcul. Quelle est la valeur en -1 ?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    On pose $\omega_{0}=1$. Pour tout $n\geqslant1$, $\omega_n$ est le nombre de relations d'équivalence sur $\left\llbracket1,n\right\rrbracket$. On s'intéresse à la série entière $\sum \frac{\omega_n}{n!}z^{n}=\sum a_nz^{n}$, de rayon de convergence $R$, de somme notée $f(z)$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que pour tout $n\in\N$, $\omega_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\omega_k$ et que $\omega_{n}\leqslant n^{n}$ et $R>0$.
        \item Soit $r>1$ et $n_0=\left\lfloor r\e^{r}\right\rfloor$. On pose $A=\max\limits_{k\leqslant n_0}\frac{\omega_k}{k!}r^{k}$. Montrer que pour tout $n\in\N$, $\frac{\omega_nt^{n}}{n!}\leqslant A$, en déduire $R$.
        \item Montrer que pour tout $x\in]-R,R[$, $f'(x)=\e^{x}f(x)$, déduire $f(x)$ et une expression de $\omega_n$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    On appelle \og partition\fg d'un entier $n\geqslant0$ toute suite décroissante d'entiers naturels $(t_k)_{k\geqslant1}$ telle que $\sum_{k=1}^{+\infty}t_k=n$ (somme finie). On note $p_n$ le nombre de partitions de $n$. Soit $R$ le rayon de convergence de $\sum_{n\geqslant0}p_n z^{n}=f(z)$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $R>0$.
        \item Montrer que pour tout $x\in[0,R[$, on a $f(x)=\prod_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{1-x^{k}}$, est-ce encore vrai pour $z\in D(0,R)$ ?
        \item Évaluer $R$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Soit $U$ un ouvert bornée non vide de $\C$ et $f\colon\overline{U}\to\C$ continue sur $\overline{U}$ analytique sur $U$, c'est-à-dire que pour tout $z_0\in U$, il existe $(a_n)_{n\in\N}\in\C^{\N}$ telle que pour tout $h\in\C$ tel que $\left\lvert h\right\rvert<d(z_{0},\partial U)$, $f(z_{0}+h)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n h^{n}$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que pour tout $z_{0}\in U$ et $r\in[0,d(z_{0},\partial U)[$, on a 
        \begin{equation}
            f(z_{0})=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f\left(z_0+r\e^{\i t}\right)\d t.
        \end{equation}
        \item En déduire que $\left\lvert f\right\rvert$ atteint son maximum et son minimum sur $\partial U$.
        \item Que peut-on dire si $f=0$ sur $\partial U$ ?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    \phantom{}
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que l'on peut, pour $q\in\C$, $\left\lvert q\right\rvert<1$ fixé, pour tout $z\in\C$, on a $f(z)=\prod_{k=1}^{+\infty}\left(1-q^{k}z\right)$.
        \item Montrer que $f$ est développable en série entière.
        \item De même pour $\frac{1}{f}$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Soit $U$ un ouvert de $\C$ et $f\colon U\to\C$ analytique sur $U$ (développable en série entière au voisinage de tout point de $U$).
    \begin{enumerate}
        \item Soit $z_{0}\in U$ et $r_0>0, (a_{n})_{n\in\N}$ tels que si $h\in D(0,r_0)$, $f(z_{0}+h)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n h^{n}$. On suppose qu'il existe $\left(\xi_{k}\right)_{k\in\N}\in U^{\N}$ telle que 
        \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
            \item pour tout $k\in\N$, $\xi_{k}\neq z_{0}$,
            \item $\lim\limits_{n\to+\infty}\xi_{k}=z_{0}$,
            \item pour tout $k\in\N$, $f(\xi_{k})=0$.
        \end{enumerate}
        Montrer que pour tout $n\in\N$, $a_n=0$.

        \item On suppose de plus que $U$ est connexe par arcs. Montrer que $f=0$ sur $U$. Est-ce encore vrai si $\left(\xi_{k}\right)$ ne converge pas ?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Soit $\theta\in]0,\pi[$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $f(x)=\ln\left(1-2x\cos(\theta)+x^{2}\right)$ est développable en série entière en 0.
        \item Qu'en déduit-on relativement à $\sum_{n\geqslant1}\frac{\cos(n\theta)}{n}$ ?
        \item Calculer $I(x)=\int_{0}^{\pi}\ln\left(1-2x\cos(\theta)+x^{2}\right)\d\theta$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Soit $(p_n)_{n\in\N}$ une suite strictement croissante d'entiers naturels.
    \begin{enumerate}
        \item Donner le rayon de convergence de $\sum_{n\geqslant0}x^{p_n}$. On pose $f(x)=\sum_{n\geqslant0}x^{p_n}$.
        \item On suppose que $n=\underset{n\to+\infty}{o}(p_n)$. Montrer que $\lim\limits_{x\to1^{-}}(1-x)f(x)=0$.
        \item Réciproque ? %% A voir
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Soit $(u_0,v_0)\in\C^{2}$, et pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=u_n-v_n$ et $v_{n+1}=u_n-2v_n$. DOnner le rayon de convergence et les sommes des séries entières $U(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nz^{n}$ et $V(z)\sum_{n=0}^{+\infty}v_nz^{n}$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
    \phantom{}
    \begin{enumerate}
        \item Donner le développement en série entière de $f(z)=\frac{\sin(\theta)}{z^{2}-2z\cos(\theta)+1}$ avec $\theta\in[0,2\pi[$.
        \item En déduire $I(z)=\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(\theta)\d\theta}{z^{2}-z=2z\cos(\theta)+1}.$
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    \phantom{}
    \begin{enumerate}
        \item Soit $Y$ une variable aléatoire à valeurs dans $\left\llbracket1,n\right\rrbracket$. Montrer que $\left(\mathbb{E}\left(Y^{k}\right)\right)_{k\in\left\llbracket1,n\right\rrbracket}$ caractérise la loi de $Y$.
        \item Soit $Y$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$. On suppose qu'il existe $a\in[0,1[$ tel que $\mathbb{P}\left(Y=k\right)=\underset{k\to+\infty}{O}(a^{k})$. Montrer que pour tout $n\in\N^{*}$, $Y^{n}$ a une espérance finie et que $\left(\mathbb{E}(Y^{n})\right)_{n\geqslant1}$ caractérise la loi de $Y$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Soit $U$ un ouvert de $\C$ et $f\colon U\to\C$ $\mathcal{C}^{1}$ au sens complexe, c'est-à-dire que pour tout $z_{0}\in U$, il existe $f'(z_{0})=\lim\limits_{\substack{h\to0\\ h\in\C^{*}}}\frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}$ et $f'\colon U\to\C$ est continue.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que \function{g}{[0,1]}{\C}{\lambda}{
            \int_{0}^{2\pi}\frac{f\left((1-\lambda)z+\lambda r\e^{\i t}\right)-f(z)}{r\e^{\i t}-z}r\e^{\i t}\d t
            }
            est constante. En déduire que $f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^{n}$ avec 
            \begin{equation}
                a_n=\frac{1}{2\pi r^{n}}\int_{0}^{2\pi}f\left(r\e^{\i t}\e^{-\i nt}\right)\d t.
            \end{equation}
            \item Montrer que pour tout $z_{0}\in U$, on a pour $R=d(z_{0},\partial U)$, il existe $(b_n)_{n\in\N}\in\C^{\N}$ tel que pour tout $h\in D(0,R)$, $f(z_{0}+h)=\sum_{n=0}^{+\infty}b_n h^{n}$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Calculer, en précisant le domaine de définition,
    \begin{equation}
        S_0(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{3n}}{(3n)!}.
    \end{equation}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Soit $f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^{n}$. On suppose que pour tout $z\in\C$, $z\in\R$ si et seulement si $f(z)\in\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que pour tout $n\in\N$, $a_n\in\R$.
        \item On pose $v(z)=\Im(f(z))$. Montrer que pour tout $m\geqslant1$, pour tout $r>0$,
        \begin{equation}
            \pi r^{m}a_m=2\int_{0}^{\pi}v\left(r\e^{\i\theta}\right)\sin(m\theta)\d\theta,
        \end{equation}
        puis que $\left\lvert r^{m}a_m\right\rvert\leqslant mr\left\lvert a_1\right\rvert$.
        \item En déduire que $f$ est affine.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Soit $\sum a_n z^{n}$ une série entière telle que $\sum\left\lvert a_n\right\rvert$ converge. On définit \function{f}{\overline{D(0,1)}}{\C}{z}{\sum_{n=0}^{+\infty}}
    On note $P_{r,n}(x)=\sum_{k=-n}^{n}r^{\left\lvert k\right\rvert}\e^{\i kx}$, et pour $r\in[0,1[$, $P_r(x)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}r^{\left\lvert k\right\rvert}\e^{\i kx}$. Il s'agit du noyau de Poisson.

    \begin{enumerate}
        \item Montrer que pour tout $x\in\R$, pour tout $n\in\N$, pour tout $r\in[0,1[$, 
        \begin{equation}
            \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}r^{\left\lvert k\right\rvert}\e^{\i kx}f\left(\e^{\i(x-t)}\right)\d t=a_k r^{k}\e^{\i kx}.
        \end{equation}
        
        En déduire que
        \begin{equation}
            \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}P_r(t)f\left(\e^{\i(x-t)}\right)\d t=f\left(r\e^{\i x}\right).
        \end{equation}

        \item Quel est le signe de $P_r$ ? Calculer $\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}P_r(t)\d t$.
        \item Montrer que si $f(\U)\subset\U$, alors $f\left(\overline{D(0,1)}\right)\subset\overline{D(0,1)}$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Soit $(\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P})$ un espace probabilisé, $(A_n)_{n\geqslant1}\in\mathcal{T}^{\N^{*}}$ indépendants tels que pour tout $n\geqslant1$, $\mathbb{P}\left(A_n\right)=\frac{1}{n}$. On pose $R_n=\chi_{A_{k}}$.
    \begin{enumerate}
        \item Donner l'espérance et la variance de $R_n$, et donner à chaque fois un équivalent.
        \item Montrer que pour tout $\varepsilon>0$, 
        \begin{equation}
            \lim\limits_{n\to+\infty}\mathbb{P}\left(\left\lvert\frac{R_n}{\ln(n)}-1\right\rvert>\varepsilon\right)=0.
        \end{equation}
        \item Donner la fonction génératrice $G_{R_n}$. En déduire $\mathbb{P}(R_n=1)$ et $\mathbb{P}(R_n=2)$.
        \item Soit $a<b\in\left(\N^{*}\right)^{2}$ et $T_n=R_{nb}-R_{na}$. Donner la fonction génératrice $G_{T_n}$. Déterminer, pour $t\geqslant1$, $\lim\limits_{n\to+\infty}G_{T_n}(t)$. On pourra montrer que pour tout $x\geqslant0$, $x-\frac{x^{2}}{2}\leqslant\ln(1+x)\leqslant x$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[Marches aléatoires sur $\Z^{d}$]
    Soit $X\sim\mathcal{B}(p)$ avec $p\in]0,1[$. Soit $X_n\sim X$ avec $(X_n)_{n\geqslant1}$ indépendants, et $S_n=\sum_{k=1}^{n}X_n$ (avec $S_0=0$).
    Soit
    \begin{equation}
        T=
        \left\lbrace
            \begin{array}[]{ll}
                \min\left\lbrace n\geqslant1\middle| S_n=0\right\rbrace, &\text{s'il existe }n\geqslant1, S_n=0,\\
                +\infty & \text{sinon.}
            \end{array}
        \right.
    \end{equation}
    On note $\pi=\P(T<+\infty)$ : probabilité de retour à l'origine en temps fini.

    \begin{enumerate}
        \item 
        \begin{enumerate}
            \item Justifier qu'en posant pour tout $t\in[0,1[$, on peut définit $f(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}\P(S_n=0)t^{n}$ et $g(t)=\sum_{k=1}^{+\infty}\P(T=k)t^{k}$ $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $[0,1[$.
            \item Montrer que $g$ admet une limite finie quand $t\to 1^{-}$ que l'on exprimera en fonction de $\pi$.
        \end{enumerate}

        \item Justifier que, pour $(k,m)\in(\N^{*})^{2}$, $(S_{m+1}-S_m,\dots,S_{m+k}-S_m)\sim(S_1,\dots,S_k)$.
        
        \item 
        \begin{enumerate}
            \item Montrer que pour tout $n\geqslant1$, $\P(S_n=0)=\sum_{k=1}^{n}\P(T=k)\P(S_{n-k}=0)$.
            \item En déduire que pour tout $t\in[0,1[$, $f(t)=1+f(t)g(t)$.
        \end{enumerate}
        On suppose que $(S_n)_{n\geqslant0}$ est une marche de Bernouilli de paramètre $p$.
        \item 
        \begin{enumerate}
            \item Montrer que pour tout $n\in\N$, $\P(S_{2n+1}=0)$ et $\P(S_n=0)=\binom{2n}{n}(pq)^{n}$.
            \item Montrer que pour tout $t\in[0,1[$, $f(t)=\frac{1}{\sqrt{1-4pqt^{2}}}$.
        \end{enumerate}

        \item 
        \begin{enumerate}
            \item Calculer $g(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}\P(T=k)t^{k}$ pour $t\in[0,1]$ et montrer que $\pi=1-\left\lvert p-q\right\rvert$.
            \item Déterminer la loi de $T$.
        \end{enumerate}

        \item 
        \begin{enumerate}
            \item Montrer que si $p=\frac{1}{2}$, $\mathbb{E}(T)=+\infty$.
            \item On suppose que $p\neq\frac{1}{2}$, calculer l'espérance conditionnelle de $T$ sachant $T<+\infty$ : 
            \begin{equation}
                \mathbb{E}_{T<+\infty}(T)=\frac{\mathbb{E}(T\times \mathbf{1}_{T<+\infty})}{\P(T=+\infty)}.
            \end{equation}
        \end{enumerate}

        \item Déterminer les $p\in]0,1[$ tels que $\pi =1$.
        \item Montrer que l'on a équivalence entre 
        \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
            \item $\sum_{n=0}^{+\infty}\P(S_n=0)=+\infty$,
            \item $f(t)\xrightarrow[t\to1^{-}]{}+\infty$,
            \item $(S_n)_{n\geqslant0}$ est récurrente (c'est-à-dire $\pi=1$).
        \end{enumerate}

        On note $N_n=\sum_{k=1}^{n}\mathbf{1}_{\left\lbrace S_k=0\right\rbrace}$ le nombre de retours à l'origine avant l'instant $n$, et $N=\sum_{k=1}^{+\infty}\mathbf{1}_{\left\lbrace S_k=0\right\rbrace}$ le nombre de retours à l'origine à valeurs dans $\N\cup\left\lbrace+\infty\right\rbrace$. $(N_n)_{n\geqslant1}$ converge simplement vers $N$ dans $\N\cup\left\lbrace+\infty\right\rbrace$ et pour tout $n\geqslant1$, $N_n\leqslant N$.

        Si $\Omega$ est dénombrable, 
        \begin{equation}
            \mathbb{E}(N_n)=\sum_{\omega\in\Omega}N_n(\omega)\P(\lbrace\omega\rbrace)=\sum_{\omega\in\Omega}f_\omega(n).
        \end{equation}
        Pour tout $n\in\N$, $f_\omega(n)\xrightarrow[n\to+\infty]{}N(\omega)\P(\lbrace\omega\rbrace)\geqslant0$ et $\left\lvert f_\omega(n)\right\rvert\leqslant N(\omega)\P(\lbrace\omega\rbrace)$. Si $\mathbb{E}(N)<+\infty$, $\sum f_\omega$ converge normalement sur $\N$ et on peut intervertir. Si $\mathbb{E}(N)=+\infty$, soit $A>0$, il existe $\chi$ fini inclus dans $\Omega$ tel que $\sum_{\omega\in\chi}N(\omega)\P(\lbrace\omega\rbrace)\geqslant 2A$ et ($\chi$ finie) $\lim\limits_{n\to+\infty}N_n(\omega)\P(\lbrace\omega\rbrace)=\sum_{\omega\in\chi}N(\omega)\P(\lbrace\omega\rbrace)$. Donc il existe $N_0\in\N$ tel que pour tout $n\geqslant N_0$, $\sum_{\omega\in\chi}N_n(\omega)\P(\lbrace\omega\rbrace)\geqslant A$ et 
        \begin{equation}
            \mathbb{E}(N_n)\geqslant\sum_{\omega\in\chi}N_n(\omega)\P(\lbrace\omega\rbrace)\geqslant A,
        \end{equation}
        car $N_n\geqslant0$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\mathbb{E}(N_n)=\mathbb{E}(N)=+\infty$.

        \item 
        \begin{enumerate}
            \item On suppose que $(S_n)_{n\geqslant 0}$ est transitoire (i.e.~$p\neq\frac{1}{2}$, on a alors $\pi=1-\left\lvert p-q\right\rvert\neq1$). Montrer que $\mathbb{E}(N)=\frac{\pi}{1-\pi}$. En déduire que $\left\lbrace n\in\N\middle| S_n=0\right\rbrace$ est presque sûrement fini.
            \item On suppose que $p=\frac{1}{2}$. Que vaut $\mathbb{E}(N)$ ?
        \end{enumerate}

        \item Pour $x\in\Z^{d}$, on note $N_n^{x}=\left\lvert\left\lbrace j\in\left\llbracket1,n\right\rrbracket, S_j=x\right\rbrace\right\rvert$ (nombre de passage par $x$ entre les instants 1 et $n$). Montrer que pour tout $n\in\N$, $\mathbb{E}(N_n^{x})\leqslant\mathbb{E}(N)$. On introduira 
        \begin{equation}
            T^{x}=
            \left\lbrace
                \begin{array}[]{ll}
                    \min\left\lbrace n\geqslant 1\middle| S_n=x\right\rbrace, &\text{s'il existe }n\geqslant1, S_n=x,\\
                    +\infty, &\text{sinon,}
                \end{array}
            \right.
        \end{equation}
        le premier passage en $x$, et on formera 
        \begin{equation}
            \begin{array}[]{rcl}
                g_{x,n}(t) &=& \sum_{k=1}^{n}\P(T^{x}=k)t^{k},\\
                f_{n,x}(t) &=& \sum_{k=0}^{n}\P(S_{k}=x)t^{k},
            \end{array}
        \end{equation}
        et on établira une formule reliant $g_{n,x}$ à $f_{n,x}$ de manière analogue à la question 3.

        \item On suppose la marche $(S_n)_{n\geqslant0}$ transitoire (donc la probabilité $\pi$ de retour à l'origine en temps fini est strictement inférieure à $1$). Montrer que $\left\lVert S_n\right\rVert\xrightarrow[n\to+\infty]{}+\infty$ presque sûrement.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Soit $X\colon\Omega\to\N$ variable aléatoire discrète telle que $\P(X=0)=\alpha$ et 
    \begin{equation*}
        \P(X=n+2)=5\P(X=n+1)-\P(X=n),
    \end{equation*}
    pour tout $n\in\N$. Donner la loi de $X$, son espérance et sa variance. 
\end{exercise}
\end{document}