古有周髀。海岛。九章算经云。后世畴人辑之为十书。古希腊国毕氏曰。万物皆数。乃知算学者中外所重。今编程之用虽不胜数。究其本原。亦皆算焉。而算之本原。曰加。曰减。曰乘。曰除。加者。求和也。减者。求差也。乘者。求积也。除者。求商也。书如是。
加一以二。書之。
減二以一。書之。
乘二以三。書之。
除八以四。書之。
或问曰。此易耳。三尺之童亦能算也。胡用机器为。曰。试问九万八千七百六十五乘三千四百五十六。又当几何。当谢不能也。乃令机器算之。转瞬可晓。
乘九萬八千七百六十五以三千四百五十六。書之。
乃得
三億四千一百三十三萬一千八百四十
又算有繁複非一步所能得者。当如是。
加七十五以二。乘其以九。減其以三十六。除其以二。加其以五百。書之。
乃得
八百二十八又五分
又除法者。有除数与被除数之别。是谓除法无交换率也。今言除「甲」以「乙」者。甲者。被除数也。乙者。除数也。亦可书除「乙」於「甲」。无少异耳。减法亦然。而加乘有交换率者。於乃通以。
或问曰。有不能整除者。不欲得商之小数。乃愿得其餘数。当作何书。曰。当如是。
除二以三。所餘幾何。書之。
以上加减乘除之法。算术者。既知其算。乃习其数。曩者朱氏算学啟蒙有大数之类。小数之类。然近世多不用。今考眾说。尊实用。点定如是。
大数之类。一。十。十十曰百。十百曰千。十千曰万。十万。百万。千万。万万曰亿。万亿曰兆。万兆曰京。万京曰孩。万孩曰秭。万秭曰壤。万壤曰沟。万沟曰涧。万涧曰正。万正曰载。
小数之类。漠者。兆分之一。十漠曰渺。十渺曰埃。十埃曰尘。十尘曰沙。十沙曰纤。十纤曰微。十微曰忽。十忽曰丝。十丝曰毫。十毫曰釐。十釐曰分。十分曰一。
例一。孙子算经有问焉。今有稚兔同笼。上有三十五头。下九十四足。问稚兔各几何。依其书之术。编程如是。
吾有二數。曰三十五。曰九十四。名之曰「頭」曰「足」。
除「足」以二。減其以「頭」。名之曰「兔」。
減「頭」以「兔」。名之曰「雉」。
夫「雉」夫「兔」。書之。
遂得
二十三 一十二
吾闻有善詼谐者注此解曰。今有能禽兽语者。申其令。稚独立。兔人立。是时足数為向者之半。故曰除「足」以二。是人又有令曰。稚兔复各举一足。故曰減其以「頭」。稚双足皆举。遂仆於地。兔尚有一足。故数是时之足。乃得兔之数。既知兔几何。则稚易矣。減「頭」以「兔」可得。
兔善好逑。乃有刘胜之风流。稚称佳味。遂遭酈生之惨祸。主人旬日复临。上见头五百七十九。下见足二千二百八十四。问何以编程求稚兔之数。曰。但易首句可矣。
吾有二數。曰五百七十九。曰二千二百八十四。名之曰「頭」曰「足」。
遂得稚一十六。兔五百六十三。遑论头足之多少。唯易一句。变数之用。不亦妙乎。
例二。古勒拿有九首四足一尾之怪。名曰许德拉。山海经载南山有狐九尾。刑天无首。孙叔敖尝见两头蛇。今楚王田猎。获四怪各若干。尽纳笼中。上有三百四十头。三十二臂。下有二百十六足。四百十七尾。问许得拉。九尾狐。刑天。两头蛇。各几何。
吾有四數。曰三百四十。曰三十二。曰二百十六。曰四百十七。名之曰「頭」曰「臂」曰「足」曰「尾」。
除「臂」以二。名之曰「刑天」。
乘「刑天」以二。減其於「足」。除其以四。名之曰「許狐和」。
乘「許狐和」以十。名之曰「十倍許狐和」。
加「頭」以「尾」。減其以「十倍許狐和」。除其以三。名之曰「兩頭蛇」。
減「尾」以「兩頭蛇」。減其以「許狐和」。除其以八。名之曰「九尾狐」。
減「許狐和」以「九尾狐」。名之曰「許德拉」。
夫「許德拉」夫「九尾狐」夫「刑天」夫「兩頭蛇」。書之。
乃得
一十二 三十四 一十六 九十九
其解法盖与稚兔同笼相类。算术之道。至是少备矣。更有圆周密率。开平方。大衍求一诸术者。以其稍繁。故留待后章也。