3.tex

\chapter{不等式和解不等式}

\section{大小次序与不等式}

\subsection{大小关系与次序关系}

“数系”的概念由于对于各种“量”的问题作了系统的讨论
而产生．由于计算个数和度量各种量的需要而产生了整数系
和实数系．日常生活的量与量的问题除了可以运算之外，还常
有很自然的“大小”关系，将这些关系抽象化，即得数与数之
间的大小关系，运算与大小关系是数系的两种基本结构．本章
将以数系在大小关系上的基本性质为出发点，逐步讨论不等
式的性质．

在日常生活中，我们说$A$量大于$B$量的意义是：“从$A$量
减去$B$量后还有剩余”，所以在数系中我们定义“$a$大于$b$”的意
义为$a-b$是一个正数．也就是：

\begin{blk}{定义}
\[\begin{split}
    a-b\text{是一个正数}&\Longleftrightarrow a>b\\
    a-b=0  &\Longleftrightarrow a=b\\
    a-b\text{是一个负数}&\Longleftrightarrow a<b
\end{split}\]
所以，$a>b$与$b<a$是同一回事．
\end{blk}


由这个定义，我们有下面的特例：
\[\begin{split}
    a>0 &\Longleftrightarrow a\text{是一个正数}\\
    a<0&\Longleftrightarrow a\text{是一个负数} 
\end{split}\]
这种正负数的表示法，前面已经用过．

我们知道任何一个实数或为正，或为零，或为负，上述
三种关系有且仅有一种成立．于是任意两个实数$a,b$的差$a-
b$也就或为正，或为零，或为负有且仅有一种成立．这也就是
说对于任意两个实数，我们都能比较它们的大小，下列关系
有一种且仅有一种成立：
\[a>b,\quad \text{或}\quad a=b,\quad  \text{或}\quad a<b\]

实数系的大小关系和直线上的点的次序关系具有相同的
构造，即坐标的大小关系就相当于相应点在数轴上的左右关
系．

我们可以这么来比着看：
\begin{enumerate}
    \item 0这个数把实数集$\mathbb{R}$分成三部分：$\mathbb{R}_+$, $\{0\}$,$\mathbb{R}_-$，
原点$O$这个点把数轴$\ell$分成三段：不含原点的正向射线$\ell_+$，原
点和不含原点的负向射线$\ell_-$；
\item 在数轴上任给两个点$A,B$, 我们在第二章1.2中已
经知道有向线段$\Vec{AB}$的数量
\[AB=x_B-x_A\]
这里$x_A,x_B$分别为$A,B$的坐标，于是
\[\begin{split}
    \text{$B$点在$A$点之右}&\Longleftrightarrow AB=x_B-x_A>0\Longleftrightarrow x_B>x_A\\
    \text{$B$点与$A$点重合}&\Longleftrightarrow AB=x_B-x_A=0\Longleftrightarrow x_B=x_A\\
    \text{$B$点在$A$点之左}&\Longleftrightarrow AB=x_B-x_A<0\Longleftrightarrow x_B<x_A\\
\end{split}\]
\end{enumerate}

基于上述实数的大小关系和数轴上点的次序关系之间的密切
对应，一切实数按照由小而大的顺序从左往右排列在数轴
上，这就使得我们可以由坐标的大小来确定直线上点的次序，
反过来，也用数轴上的点的次序来把数的大小关系形象化．

两个数或两个代数式用不等号“$>$”或“$<$”联结起来，以
表示它们的数量关系就构成不等式．

例如$5>3$, $-7<-4$, $x+1>3$, $a>b$等都是不等式．如
果不等式中含有变数，那么使不等式成立的变数值叫做不等
式的解，例如$x=2.1$是不等式$x+1>3$的一个解．使不等式成
立的变数值的全体，称为这个不等式的解集．一般来说，不等
式的解集是实数集的子集．例如不等式$x+1>3$的解集是：
$\{x|x\in\mathbb{R},\;\;x>2\}$.如果不等式的解集是全体实数集$\mathbb{R}$的话，
那么这种不等式称为恒不等式．例如$x^2+1>0$, 就是一个恒
不等式，如果不等式的解集是空集$\emptyset$的话，那么这种不等式是
不成立的或者说是矛盾的不等式，例如$x-1>x+1$, 就是
矛盾的不等式，由上面所说可以明白：一个含有变数的不等
式，只有在它的解集上才是成立的，譬如我们说$x+1>3$,
它只在$x>2$的条件下才是正确的．

有时我们会遇到用不等号“$\ge$”或“$\le$”联结的不等式，例
如$|x|\ge 2$, 其中“$\ge$”表示“$>$或$=$”，即其解集是
$$\{x|x\in\mathbb{R},\;\;|x|>2\}\cup\{x|x\in\mathbb{R},\;\;|x|=2\}$$
也就是$$\{x|x\in\mathbb{R},\;\;x\ge2\}\cup
\{x|x\in\mathbb{R},x\le -2\}$$
同样地“$\le$”表示“$<$或$=$”．我们也常写
$a<b<c$来表示$a<b$和$b<c$; $a<b\le c$表示$a<b$和$b\le c$．

我们可以把不等式解集用数轴或平面上的对应点集直观
地表示出来，如：
不等式$x+1>3$的解集可用图3.1表示，解点集是一条以
坐标是2的点为端点的开射线，由于2不包括在内，故用空
圈表示．

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
    \draw[->] (-4,0)--(4,0)node [right]{$x$};

\foreach \x in {-2,-1,...,2}
{
    \draw (\x,.15)--(\x, 0)node[below]{$\x$};
}
\draw (2,0) circle (2pt);

\draw[thick]  (2,0.1) to [bend left=12] (4,.5);


\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

不等式$|x|\ge 2$的解集可用图3.2表示，解集是两条射
线，一条是以坐标是2的点为端点的正向射线；另一条是以
坐标是$-2$的点为端点的负向射线．注意$\pm 2$处用实圈表示，
说明这两个点被包括在解集内．
\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
    \draw[->] (-4,0)--(4,0)node [right]{$x$};

\foreach \x in {-2,-1,...,2}
{
    \draw (\x,.15)--(\x, 0)node[below]{$\x$};
}
\draw (2,0)[fill=black] circle (1.5pt);  \draw (-2,0)[fill=black]  circle (1.5pt);

\draw[thick] (2,0) to [bend left=12] (4,.5);
\draw[thick]  (-2,0) to [bend right=12] (-4,.5);

\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}


不等式$|x|\le 2$的解集可用图3.3表示，解点集是以$\pm 2$
为坐标的点为端点的线段．
\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
    \draw[->] (-4,0)--(4,0)node [right]{$x$};

\foreach \x in {-2,-1,...,2}
{
    \draw (\x,.15)--(\x, 0)node[below]{$\x$};
}
\draw (2,0)[fill=black] circle (1.5pt);  \draw (-2,0)[fill=black]  circle (1.5pt);

\draw[thick]  (-2,0)--(-2,.5)--(2,.5)--(2,0);

\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

学会不等式的解集合的图示，对以后解不等式是会有很
大好处的．

\begin{ex}
    \begin{enumerate}
    \item 在一条数轴上已知点$B$在$A,C$之间，如何用对应的数的
    大小来表示这种点的次序关系？
    \item 什么叫不等式、恒不等式、不等式的解？
    \item 试画出下列不等式解集图示：
    \begin{enumerate}
        \item $\{x|x\in\mathbb{R},\;\;x\ge -2\}$
        \item $\{x|x\in\mathbb{R},\;\;-1<x\le 3\}$
        \item $\{x|x\in\mathbb{R},\;\;x\ge 3\}\cup\{x|x\in\mathbb{R},\;\; x<-1\}$
        \item $\{x|x\in\mathbb{R},\;\;x\le 2\}\cap \{x|x\in\mathbb{R},\;\; x\le 3\}$
    \end{enumerate}
    
\end{enumerate}
\end{ex}

\subsection{不等式的基本性质}
基于实数系中大于和小于的定义以及实数系中的下列性
质，即
\begin{blk}{}
\begin{enumerate}
    \item 正数加正数仍是正数；
    \item 正数乘正数仍是正数；
    \item 正数乘负数则为负数；
    \item 负数乘负数则为正数；
    \item 任何一数或为正，或为零，或为负，且这三种可能
性有一种且仅有一种成立．
\end{enumerate}
\end{blk}

我们说明不等式的基本性质如下：
\begin{blk}{性质1}
    如果$a>b$, $b>c$, 那么$a>c$ (不等式传递性)．
\end{blk}

\begin{proof}
    $a>b$, $b>c$就是$a-b>0$, $b-c>0$．
由于
$$a-c=(a-b)+(b-c)>0$$
这就是说：
$a>c$    
\end{proof}

\begin{blk}{性质2}
    如果$a>b$, 那么对于任意的$c$, 有$a+c>b+c$
（两边同加一个数，不等号方向不变）．
\end{blk}

\begin{proof}
    $a>b$,就是$a-b>0$,
    由于
    $$(a+c)-(b+c)=a-b$$
    所以
    $$(a+c)-(b+c)>0$$
    这就是：
$a+c>b+c$
\end{proof}

\begin{blk}{推论1}
不等式中任何一项可以把它的符号变成相反的
符号后，从一边移到另一边．

\end{blk}

\begin{blk}{推论2}
    如果$a>b$, $c>d$, 那么$a+c>b+d$ （同向不等式的两端相加仍得同向不等式）．
    \end{blk}

这是因为，根据性质2, 可得$a+c>b+c$，$b+c>b+
d$再根据性质1，可得$a+c>b+d$．

\begin{blk}{性质3}
如果$a>b$，$c>0$，那么$ac>bc$，如果$c<0$,
那么$ac<bc$,（不等式两端乘以正数得同向不等式，乘以负
数得反向不等式）．
\end{blk}

\begin{proof}
$a>b$就是$a-b>0$,
由于
$$ac-bc=(a-b)c$$
所以当$c>0$时，$ac-bc>0$, 就是说
$$ac>bc$$
当$c<0$时，$ac-bc<0$, 就是说
$$ac<bc$$
\end{proof}

\begin{blk}{推论1}
   $a>b$和$b<a$是等价的，即：如果$a>b$,那么
$b<a$；反过来，如果$b<a$,那么$a>b$.
\end{blk}

这是因为$a>b$就是$a-b>0$, 不等式两边乘以$-1$, 得
$-(a-b)<0$, 即$b-a<0$, 这就是$b<a$, 同理可证后半个
结论．

\begin{blk}{推论2}
    如果$a>b>0$, $c>a>0$, 那么$ac>bd$.
\end{blk}

 
这是因为$a>b$, $c>0$, 根据性质3, 可得：
\begin{equation}
    ac>bc
\end{equation}
又$c>d$, $b>0$, 同理得
\begin{equation}
    bc>bd
\end{equation}
由(3.1)，(3.2)得：
\begin{equation*}
    ac>bd  \tag{性质1}
\end{equation*}

\begin{blk}{推论3}
    如果$a>b$, 并且$a,b$同号，那么$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$
\end{blk}

因为$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{a-b}{ab}$，再由假设得到：
\[a-b>0,\quad ab>0\]
所以$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}>0$，即$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$．

\begin{blk}{推论4}
    如果$a>b>0$, 那么$a^n>b^n$ ($n$是大于1的整
数）．
\end{blk}

\begin{itemize}
    \item 当$n=2$时，由$a>b>0$，根据推论2得到：
$a^2>b^2$
\item 当$n=3$时，由$a>b>0$和$a^2>b^2$, 同理得到：
$a^3>b^3$
\item 依此类推，得到：$a^n>b^n$
\end{itemize}
这样正数之间的不等式可以进行$n$次乘方运算，仍得同向不
等式．

\begin{blk}{推论5}
    如果$a>b>0$, 那么$\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}$ ($n$是大于1的整
数）．
\end{blk}

因为$\sqrt[n]{a}$, $\sqrt[n]{b}$是$n$次算术根，所以它们都是正数．

假设$a^{\tfrac{1}{n}}=b^{\tfrac{1}{n}}$，于是$\left(a^{\tfrac{1}{n}}\right)^n=\left(b^{\tfrac{1}{n}}\right)^n$，因而$a=b$，这就与已知$a>b$矛盾．

假设$a^{\tfrac{1}{n}}<b^{\tfrac{1}{n}}$，于是$\left(a^{\tfrac{1}{n}}\right)^n<\left(b^{\tfrac{1}{n}}\right)^n$，即$a<b$，这又与
已知条件矛盾．但是$\sqrt[n]{a}$和$\sqrt[n]{b}$的大小关系，只有三种可能，
而且仅有一种成立，因此$\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}$．
这样正数之间的不等式可以进行开$n$次方运算，仍得同向不
等式．

下面我们从不等式的定义和不等式的基本性质及其推论
出发来证明一些恒不等式．在推导不等式时，我们常利用实
数的平方不会是负的这个事实．我们首先证明下面的命题：

\begin{blk}{命题}
    若$a$是任意实数，那么$a^2\ge 0$．
\end{blk}

事实上，$a$或是正数，或是零，或是负数．如果$a>0$,
那么$a^2=a\x a>0$; 如果$a=0$, 那么$a^2=0\x0=0$; 如果
$a<0$, 于是$a=-|a|$, $a^2=(-|a|)\cdot (-|a|)=|a|^2>0$, 无
论哪种情形都有$a^2\ge 0$．

\subsubsection{比较法}

为证明某一个不等式成立，常用“大于”
定义，即要证$a>b$, 我们常证$a-b>0$, 这种方法叫做比较
法．用比较法证明不等式时，常常要把式子配方或把式子分
解成恒取正值或负值的因式的乘积．

\begin{example}
    若$a,b$是实数，则
    \begin{equation}
        a^2+b^2\ge 2ab
    \end{equation}
\end{example}
\begin{proof}
    $\because\quad a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\ge 0$

    $\therefore\quad a^2+b^2\ge 2ab$，当且仅当$a=b$时，取等号．
\end{proof}

    
\begin{example}
    若$a,b,c$是任何实数，求证：
    \begin{equation}
   a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca     
    \end{equation}
\end{example}

\begin{proof}
    \[\begin{split}
     &\quad   a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \\
      &=\frac{1}{2}( 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)\\
        &=\frac{1}{2}\left[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\right]\\
        &=\frac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right]\ge 0
    \end{split}\]
   
    这里等于关系成立等同于$(a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0$．
    即$a=b=c$, 因此，
$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca $
这里当且仅当$a=b=c$时取等号．

\textbf{另证：} 
\[\begin{split}
    &\quad   a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \\
&=a^2-(b+c)a+b^2+c^2-bc\\
&=\left[a^2-(b+c)a+\left(\frac{b+c}{2}\right)^2\right]+b^2+c^2-bc-\frac{(b+c)^2}{4}\\
&=\left(a-\frac{b+c}{2}\right)^2+\frac{3}{4}(b-c)^2\ge 0
\end{split}\]

这里等于关系当且仅当$b=c$和$a=\frac{b+c}{2}$
时，即$a=b=c$时成
立，因此，
$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca $．
\end{proof}




\begin{example}
    若$a,b$是不相等的正数，则
\[\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}>\sqrt{a}+\sqrt{b}\]
\end{example}
    
\begin{proof}
\[\begin{split}
     \frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}-\sqrt{a}-\sqrt{b}
    &=\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}-a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}\\
    &=\frac{a\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-b\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}\\
    &=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)(a-b)}{\sqrt{ab}}\\
    &=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}>0
\end{split}\]

因为算术根式$\sqrt{ab}$, $\sqrt{a}+\sqrt{b}$在$a,b$是正数的条件
下是正数，又$a\ne b$，因此$\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2>0$．

所以，$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}>\sqrt{a}+\sqrt{b}$
\end{proof}

\subsubsection{综合法}
要证明某个不等式，常由已知的或明显
的不等式，根据不等式的性质把它推导出来，这种由因导果
的证法叫做综合证法．
\begin{example}
    如果$a>b>0$, $0<c<d$,那么
    \begin{equation}
        \frac{a}{c}>\frac{b}{d}
    \end{equation}
\end{example}

\begin{proof}
 因为$c,d$同为正数，又$c<d$, 根据性质3的推
论3,得\[\frac{1}{c}>\frac{1}{d}>0\]
又$a>b>0$,
根据性质3的推论2, 得   
\[\frac{a}{c}>\frac{b}{d}\]
\end{proof}
    
\begin{example}
    $a_1$, $a_2$是任意正数，试证：
\begin{equation}
    \frac{a_1+a_2}{2}\ge \sqrt{a_1a_2}
\end{equation}
这里当且仅当$a_1=a_2$时，取“$=$”号．
\end{example}

\begin{proof}
    因为$(a_1-a_2)^2\ge 0$, 由此得到
\[a_1^2-2a_1a_2+a_2^2\ge 0\]
移项：
\[a^2_1+a^2_2\ge 2a_1a_2\]
两边同加正数$2a_1a_2$, 得
\[\begin{split}
    a_1^2+2a_1a_2+a^2_2&\ge 4a_1a_2\\
(a_1+a_2)^2&\ge 4a_1a_2
\end{split}\]

根据性质3的推论5, 得
\[a_1+a_2\ge 2\sqrt{a_1a_2}\]
即：$\frac{a_1+a_2}{2}\ge \sqrt{a_1a_2}$

显然，当且仅当$a_1=a_2$时，不等式取等号．
\end{proof}

这个不等式很重要，我们叫
$\frac{a_1+a_2}{2}$为正数$a_1$, $a_2$的算术
平均值，叫$\sqrt{a_1a_2}$为正数$a_1$, $a_2$的几何平均值．上面的不等
式是说两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．

这个不等式有下面的几何
意义：

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
    \draw[|<->|] (2,0)--node[fill=white]{$h$}(2,2.4);
 \draw (0,0)node[left]{$A$}--(5,0)node[right]{$B$};
\draw (5,0) arc (0:180:2.5);    
\draw (1.8,2.4)node[above]{$C$}--(1.8,0)node[below]{$D$};
\draw (0,0)--(1.8,2.4)--(5,0);
\draw[|<->|] (0,-.5)--node[fill=white]{$a_1$}(1.8,-.5);
\draw[|<->|] (5,-.5)--node[fill=white]{$a_2$}(1.8,-.5);
\draw (0,0)--(0,-.8);\draw (5,0)--(5,-.8);

\end{tikzpicture} 
    \caption{}
\end{figure}


以$a_1+a_2$为半径作圆
(图3.4), 设$AD=a_1$, $DB=a_2$,
过$D$点作线段$AB$的垂直线交
半圆于$C$点，于是$\angle ACB=
90^{\circ}$, 设$DC=h$, 由勾股定理
知：
\[AD^2+DC^2=AC^2,\qquad DC^2+DB^2=BC^2,\qquad AC^2+BC^2=AB^2\]
即：
$(a_1^2+h^2)+(a_2^2+h^2) =(a_1+a_2)^2$
从而：
\[h=\sqrt{a_1a_2}\]

另一方面，$DC$无论如何是不会超过圆的半径的，即：
\[h=\sqrt{a_1a_2}\le \frac{a_1+a_2}{2}\]
此外，当且仅当$D$点与圆心$O$点重合时，即$a_1=a_2$时，$DC$等
于圆的半径，即$h=\sqrt{a_1a_2}=\frac{a_1+a_2}{2}$    

\begin{example}
    两个正数的和是定值$A$, 求证在所有这样的和
中，当且仅当这两数相等时，它们的乘积最大．
\end{example}

\begin{proof}
设两个正数是$x$和$y$, 由题设知
\begin{equation}
   x+y=A 
\end{equation}
而其积依例3.5应该适合不等式：
\[\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}\]
也即：$xy\le \left(\frac{x+y}{2}\right)^2$
将条件(3.7)代入上面不等式中，得
\[xy\le \left(\frac{A}{2}\right)^2\]
这表示其和等于$A$的两个正数，无论怎样取法，它们的积都
不大于常数$\left(\frac{A}{2}\right)^2$．
由于这里等式当且仅当两个正数相等时，
即$x=y=\frac{A}{2}$时，才能成立，因此当且仅当两个正数相等时，
它们的积才能达到最大值$\left(\frac{A}{2}\right)^2$．

\end{proof}
    
\begin{example}
$a_1,a_2,a_3$为任意正数，求证：
\begin{equation}
 \frac{a_1+a_2+a_3}{3}\ge \sqrt[3]{a_1a_2a_3}  
\end{equation}
这里的等于关系当且仅当$a_1=a_2=a_3$时成立．
\end{example}

\begin{proof}
    如果令$b_1>0$, $b_2>0$, $b_3>0$, 使得
\[a_1=b_1^3,\qquad a_2=b_2^3,\qquad  a_3=b_3^3\]
这样一来，我们就要证明：
\[b_1^3+b_2^3+b_3^3\ge 3b_1b_2b_3\]
由于
$b_1^3+b_2^3=(b_1+b_2)(b_2^2-b_1b_2+b^2_2)$
利用不等式(3.3)或(3.6),就有：
\[b_1^2 -b_1b_2+b_2^2\ge b_1b_2\]
所以我们有：
\[b^3_1+b_2^3\ge b_1b_2(b_1+b_2)=b_1^2 b_2+b_1b_2^2\]
同样地可证明：
\[b_2^3+b_3^3\ge b_2^2b_3+b_2b^2_3\]
以及
\[b_3^3+b_1^3\ge b_3^2b_1+b_3b^2_1\]
从而
\[\begin{split}
    2(b_1^3+b_2^3+b_3^3) &\ge b_1(b^2_2+b^2_3)+b_2(b^2_3+b^2_1)+b_3(b^2_1+b^2_2)\\
    &\ge b_1(2b_1b_2)+b_2(2b_3b_1)+b_3(2b_1b_2)\\
    &=6b_1b_2b_3
\end{split}\]
即：$b_1^3+b_2^3+b_3^3\ge 3b_1b_2b_3$

因而，$\frac{a_1+a_2+a_3}{3}\ge \sqrt[3]{a_1a_2a_3}  $

此外，从上面的过程可见，等式成立，等同于要求
\[b_1^2-b_1b_2 +b_2^2=b_1b_2,\qquad  b_2^2 -b_2b_3+b_3^2 =b_2b_3,\qquad b_3^2-b_3b_1+b_1^2=b_2b_1\]
三个式子成立，这就等同于要求
$b_1=b_2=b_3$．
\end{proof}

\begin{rmk}
    如果我们注意下面的因式分解：
    \[b_1^3+b_2^3+b_3^3-3b_1b_2b_3=(b_1+b_2+b_3)(b_1^2+b_2^2
    +b^2_3-b_1b_2-b_2b_3-b_3b_1)\]
    那么，我们就立即可得不等式(3.8)的证明．但是这样的因式
    分解不易使人想到，而且也不能进一步推广． 
\end{rmk}

由不等式(3.6)和(3.8)使人猜想，对于$n$个正数：
$a_1,a_2,\ldots,a_n$是不是有：
\[\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\]
其中$n$是大于1的整数，当且仅当$a_1=a_2=\cdots=a_n$时取等号．

我们说这个一般的结论“$n$个正数的算术平均不小于几何
平均”是成立的，不过这里我们略去它的证明．

\begin{example}
    求证在周长都为$2L$的所有三角形中，面积最大
的必是等边三角形．
\end{example}

\begin{proof}
    设三角形边长为$a,b,c$, 则周长为$a+b+c=2L$,
设面积为$S$, 于是依不等式(3.8)
\[\begin{split}
    S^2&=L(L-a)(L-b)(L-c)\\
&\le L\left[\frac{(L-a)+(L-b)+(L-c)}{3}\right]^3\\
&=\frac{L^4}{27}
\end{split}\]

因此这样的三角形面积不会超过$\frac{L^2}{\sqrt{27}}$，
同时要达到这个数
值必须且只须$L-a=L-b=L-c$, 即为等边三角形．
\end{proof}
    
\begin{example}
    若$x,y,z$是不都相等的正数，且$x+y+z=1$

求证$(1-x)(1-y)(1-z)>8xyz$．
\end{example}

\begin{proof}
由于：
\[\begin{split}
    1-z&=x+y\ge 2\sqrt{xy}\\
1-y&=x+z\ge 2\sqrt{xz}\\
1-x&=y+z\ge 2\sqrt{yz}
\end{split}\]   
因为$x,y,z$不都相等，即至少有两个数不相等，所以上面
三个不等式中至少有一个不等式只能成立“$>$”关系，将上面
不等式的两端相乘得到
\[(1-x)(1-y)(1-z)>8\sqrt{x^2y^2z^2}=8xyz\]
\end{proof}

\subsubsection{分析法}
证明不等式也可以用分析法，就是先假
定这个不等式成立，逐步找出使这个不等式成立的充分条
件，直到推导出已知条件或明显的不等式为止．也就是说由
果索因找出证题路线，然后再按分析过程的相反过程写出由
已知条件导出结论的过程．应用分析法时，一定要仔细检查
每步推理是否可逆，也就是不等式在反推时有无不等式的性
质作根据，如果其中某一步推理不可逆，那么用分析法是无
效的．



\begin{example}
    试证$\left(\sqrt{2}+1\right)^2 <3.4\sqrt{3}$

\end{example}

\begin{proof}
要证
\begin{equation}
    \left(\sqrt{2}+1\right)^2 <3.4\sqrt{3}
\end{equation}
成立 即要证：$3+2\sqrt{2}<\frac{17}{5}\sqrt{3}$．

两边乘以5，只须证：
\begin{equation}
    15+10\sqrt{2}<17\sqrt{3}
\end{equation}
两边平方，可证：
\begin{equation}
    225+200+300\sqrt{2}<867
\end{equation}
移项
\begin{equation}
    300\sqrt{2}<442
\end{equation}
两边除以300，即要证：
\begin{equation}
    \sqrt{2}<1.47
\end{equation}
显然(3.13)成立，而由(3.9)推出(3.13)的每一步都可逆，
所以$\left(\sqrt{2}+1\right)^2 <3.4\sqrt{3}$成立．
\end{proof}
    
\begin{example}
    若$a>b>0$, 求证：
    \[\frac{1}{8}\frac{(a-b)^2}{a}<\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}<\frac{1}{8}\frac{(a-b)^2}{b} \]
\end{example}

\begin{proof}
    （分析法）要证：$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}<\frac{1}{8}\frac{(a-b)^2}{b}$成立，只须证：
\[\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}<\frac{1}{8}\frac{(a-b)^2}{b}\]

$\because \quad a>b>0,\qquad \therefore\quad \left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ne 0$，两边除以$\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2$，可证：
\[\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{8b}>\frac{1}{2}\]
但是，$\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{8b}=\frac{1}{8}\left(1+\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2$，即要证：
\[\frac{1}{8}\left(1+\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2>\frac{1}{2},\quad \text{或}\quad \left(1+\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2>4\]

两边开平方取算术根，可证：
\[1+\sqrt{\frac{a}{b}}>2,\quad \text{或}\quad \sqrt{\frac{a}{b}}>1\]
即要证：$a>b$．

但是，$a>b>0$成立，并且上面推理的每一步可逆，所以，
$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}<\frac{1}{8}\frac{(a-b)^2}{b}$成立．

同理证明：$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}>\frac{1}{8}\frac{(a-b)^2}{a}$成立．

因此，$\frac{1}{8}\frac{(a-b)^2}{a}<\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}<\frac{1}{8}\frac{(a-b)^2}{b}$
\end{proof}

\begin{rmk}
    此题分析中的关键：
    \begin{enumerate}
        \item 通过恒等变形，将不等
    式两边的正因式$\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2$约去；
    \item $\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{8b}=\frac{1}{8}\left(1+\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2$的右端使求证和已知条件的联系明朗化．
    \end{enumerate}
\end{rmk}



\begin{example}
    试证：若$a>0$, $b^2-4ac\le 0$, 则对于任意实数
\begin{equation}
    ax^2+bx+c\ge 0
\end{equation}
\end{example}

\begin{proof}
\[\begin{split}
    ax^2+bx+c&=a\left[x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+c-\frac{b^2}{4a}\\
    &=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}
\end{split}\]
因为不论$x$为何值，$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\ge 0$, 又因为：
$b^2-4ac\le 0$，故$4ac-b^2\ge 0$，因而：
\[ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\]
的值的正、负与$a$的值的正、负相同，并且当且仅当$b^2-4ac=0$和$x=-\frac{b}{2a}$
时，其值为零，故在$a>0$, $b^2-4ac\le 0$的条件下，不论$x$为何值，
$ax^2+bx+c\ge 0$.
\end{proof}

\begin{rmk}
    二次三项式经过配方后，要解决的问题就明朗
    化了．    
\end{rmk}


\begin{example}
    试证：对于任意实数$a_1,a_2,a_3$; $b_1,b_2,b_3$, 有
  \begin{equation}
      (a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\ge (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2
  \end{equation} 
\end{example}

\begin{proof}
    \[\begin{split}
&\quad   (a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2\\
 & = a_1^2b_1^2+a_1^2b_2^2+a_1^2b_3^2
    +a_2^2b_1^2+a_2^2b_2^2+a_2^2b_3^2
    +a_3^2b_1^2+a_3^2b_2^2+a_3^2b_3^2\\
  &\qquad  + a_1^2b_1^2-a_2^2b^2_2-a_3^2b_3^2
    -2a_1b_1a_2b_2-2a_1b_1a_3b_3-2a_2b_2a_3b_3\\
    & = (a_1^2b_2^2-2a_1b2b_2a_2b_1+a_2^2+a_2^2b_1^2)
    +(a_1^2b_3^2-2a_1b_3a_3b_1+a_3^2b_1^2)\\
    &\qquad     +(a_2^2b_3^2-2a_2b_3a_3b_2+a_3^2b_2^2)\\
    & = (a_1b_2 -a_2b_1)^2+(a_1b_3-a_3b_1)^2+(a_2b_3-a_3b_2)^2\\
    & \ge 0        
    \end{split}\]
    这里不等式当且仅当$a_1b_2 -a_2b_1=a_1b_3-a_3b_1=a_2b_3-a_3b_2=0$   
    时，即在$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}$时取等号． 
\end{proof}

不等式(3.15)可以推广到下面的情形：

\begin{blk}{}
    对于$a_1,a_2,\ldots,a_n$; $b_1,b_2,\ldots,b_n$的一切实数值，下列
    不等式成立：
    \[(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2\le (a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\]
    等式当且仅当
    $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}$
    时成立，这个不等式称为
    柯西不等式，不等式(3.15)是柯西不等式$n=3$的特例．
\end{blk}



\begin{example}
    试证：如果$a^2+b^2+c^2=1$和$x^2+y^2+z^2=1$, 这
里$a,b,c$不分别等于$x,y,z$,那么，
\[ax+by+cz<1\]
\end{example}

\begin{proof}
根据柯西不等式，有
\[(ax+by+cz)^2<(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\]
（因为$a,b,c$不分别等于$x,y,z$, 故不能取等号）．由此
\[(ax+ay+cz)^2<1\]
即：$|ax+by+cz|<1$，但是
\[ax+by+cz\le |ax+by+cz|\]
所以：$ax+by+cz<1$
\end{proof}

\section*{习题3.1}
\addcontentsline{toc}{subsection}{习题3.1}
\begin{enumerate}
    \item 如果$a>b$, $e>f$, $c>0$, 求证$f-ac<e-bc$．
    \item 如果$a>b$, $g<0$, $c$是任何数，求证：
   \[ g(a-c)<g(b-c)\]

   \item   如果$a>b>0$, $c>d>0$, 求证
   $\frac{1}{ac}<\frac{1}{bd}$
   \item 如果$a>b>0$, $c<d<0$, $e<0$, 求证：
   $\frac{e}{a-c}>\frac{e}{b-d}$
   \item 如果$a,b$是正数，求证：
   \[\frac{a+b}{1+a+b}<\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}\]
   \item 回答下列问题，并说明理由（“是”的给予证明；“不是”
   的举一反例）．
\begin{enumerate}
    \item 如果$a>b$, $c=d$是否一定有$ac>bd$？
    \item 如果$\frac{a}{c^2}<\frac{b}{c^2}$,
    是否一定有$a<b$?
    \item 如果$ac>bc$, 是否一定有$a>b$?
    \item 如果$a>b$, $c>d$, 是否一定有$a-c>b-d$?
    \item 如果$a>b>0$, $c>d>0$, 是否一定有$\frac{a}{c}>\frac{b}{d}$?
    \item 如果$a>b$, $c>d$, 是否一定有$ac>bd$?
    \item 如果$a>b$, 是否一定有$a^2>b^2$?
    \item 如果$a>b$, 是否一定有$a^3>b^3$?
\end{enumerate}

\textbf{用比较法证明下面不等式：}
\item 若$a,b$是正数，求证$\frac{a^2+b^2}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$
\item $1+2x^4\ge x^2+2x^3$
\item 若$a,b$是正数，求证$a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$
\item 证明: $a^2+b^2+c^2\ge 2(a+b+c)-3$
\item 若$a,b,c$是正数，求证
$a^2(b+c) +a(b^2+c^2-bc)> 0$


\textbf{用综合法证明下面不等式：}
\item 证明$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$， 其中$a,b$是正数．
\item 若$a,b,c$是正数，求证：
\[\frac{ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)}{abc}\ge 6\]


\item 设$a,b$是不相等的正数，求证：
\begin{enumerate}
    \item $(a+b)(a^2+b^2)(a^3+b^3)>8a^3b^3$
    \item $(a+b)(a^3+b^3)>(a^2+b^2)$
\end{enumerate}

\item 若$a_1,a_2,a_3,a_4$都是正数，求证：
\[\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}\ge \sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4}\]
\item 在上题中，令$a_4=\frac{a_1+a_2+a_3}{3}$，
试由\[\left(\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}\right)^4\ge a_1a_2a_3a_4\]
推出$\frac{a_1+a_2+a_3}{3}\ge \sqrt[3]{a_1a_2a_3}$

\item 若$a,b,c$是正数，求证：
$a+b+c\ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$
\item 若$a,b$是正数，求证：
$\frac{a^3+b^3}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right)^3$
\item 若$a,b,c$是不相等的正数，
求证$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)>9$

\item 若$x>0$, 求证$x+\frac{9}{x}$
的最小值是6.
\item 当$x$为何值时，$2x(9-2x),\quad \left(0<x<\frac{9}{2}\right)$
取最大值，
最大值是多少？
\item 求证：周长一定的所有矩形中以正方形的面积最
大；面积一定的所有矩形中以正方形的周长最短，
这个正方形的边长是多少？
\item  斜边长一定的直角三角形中，求两直角边的和的最大
值，又何时达到最大值．


\textbf{用综合法或分析法证明下面不等式：}

\item 求证：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $\sqrt{2}+\sqrt{3}<4$
    \item $\sqrt{3}+\sqrt{5}>\sqrt{15}$
    \item $\sqrt{2}+\sqrt{3}<\sqrt{10}$
    \item $\sqrt{5}+\sqrt{7}>1+\sqrt{15}$
\end{enumerate}    
\end{multicols}

\item 下面的差是正的还是负的？
\[\sqrt[3]{3}-\sqrt{2},\qquad \sqrt[4]{3}-\sqrt[5]{4},\qquad \sqrt[5]{2}-\sqrt[6]{3} \]
\item 若$a,b,c$是正整数，求证：
$ab+bc+ac\le 3abc$

\item 求证$a_1+a_2+\cdots+a_n<\frac{1}{1-a}\quad (0<a<1)$

\item 若$|a|<1$, $|b|<1$, 求证：$\left|\frac{a+b}{1+ab}\right|<1$

\item 求证$\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\ge 2$

\item 若$a,b,c,d$是正数，求证：
$$\sqrt{(a+c)(b+d)}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}$$
\item 若$a>b>0$且$m>n$, 求证：
$\frac{a-b}{a^m+b}>\frac{a-b}{a^n+b}$

\item 若$a>0$, $b>0$且$a+b=1$, 求证：
$\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\ge \frac{25}{4}$
\end{enumerate}

\section{解不等式}
解不等式就是要找出使不等式成立的变数值的全体，即
不等式的解集，在上节1.1中我们已经知道含有一个变数的
不等式的解集，或是整个实数集$\mathbb{R}$, 或是实数集$\mathbb{R}$的一个子
集，或是空集$\emptyset$．

解不等式的方法如同解方程一样，在于应用不等式的性
质，逐步将它变形到最简单的不等式，在变形过程中要特别注
意合理地应用不等式的性质，以保证每次得到的不等式的解
集和原来的不等式的解集都相同．现在让我们分析一下怎样
的变形可以保证解集相同，设不等式$\alpha(x)>0$和$\beta(x)>0$的对
应解集是$A$和$B$, 这里$\alpha(x)$, $\beta(x)$代表含有一个变数的代数式．

假设任意给出$x\in A$使$\alpha(x)>0$成立，根据不等式的性质
作变形推出$\beta(x)>0$成立，于是$x\in B$, 那么$A\subseteq B$, 反过来，假
设任给$x\in B$使$\beta(x)>0$成立，根据不等式的性质作逆变形推
出$\alpha(x)>0$成立，于是$x\in A$, 那么$B\subseteq A$, 从$A\subseteq B$和$B\subseteq A$都成
立，就可以说$A=B$, 这也就是说$A=B$的充要条件是$\alpha(x)>0$
成立$\Longleftrightarrow\beta(x)>0$成立，所以我们在解不等式的过程中要求
每步推理都是可逆的，这样才能保证它们的解集相同．

问题：说明能否由不等式$\sqrt{x}+x>-3+\sqrt{x}$推出$x>-3$，
又能否由不等式$x>-3$推出$\sqrt{x}+x>-3+\sqrt{x}$, 它们
的解集有何关系？

根据不等式的性质，容易验证下面的不等式的变形是同
解变形，即能保持它们的解集相同．

假设$f_1(x)$和$f_2(x)$都是含有一个变数的代数式，
\begin{enumerate}
    \item 若$g(x)$是整式，那么
    \[f_1(x)>f_2(x)\Longleftrightarrow f_1(x)+g(x)>f_2(x)+g(x)\]
    \item 若数$m>0$, 那么
    \[f_1(x)>f_2(x)\Longleftrightarrow mf_1(x)>mf_2(x)\]
    \item 若数$m<0$, 那么
    \[f_1(x)>f_2(x)\Longleftrightarrow mf_1(x)<mf_2(x)\]
\end{enumerate}

\subsection{一元一次不等式（组）}
形如$ax+b>0$或$ax+b<0\; (a\ne 0)$的不等式，称为一元一次不等式，其中$a,b$是两个已知的实数，$x$是变数．

由于这第二种类型的一元一次不等式$ax+b<0$的两端乘
以$(-1)$后，总可以变成第一种类型的同解不等式$-ax-b>
0$, 所以我们只讨论第一种类型的一元一次不等式的解集：

\begin{itemize}
    \item 当$a>0$时，那么$ax+b>0$的解集是：$\left\{x\Big|x>-\frac{b}{a}\right\}$，解集是数轴上不含点$-\frac{b}{a}$
的正向射线．
\item 当$a<0$时，那么$ax+b>0$的解集是：$\left\{x\Big|x<-\frac{b}{a}\right\}$，解集是数轴上不含点$-\frac{b}{a}$
的负向射线．
\end{itemize}

\begin{example}
    解不等式$\frac{x-1}{6}-\frac{2x+1}{4}<\frac{2x}{15}-1$
\end{example}

\begin{solution}
两边同乘以60，得：
\[\begin{split}
    10(x-1)-15(2x+1)&<8x-60\\
    -20x-25&<8x-60\\
    -28x&<-35
\end{split}
\]
因此：$x>\frac{5}{4}$，所以它的解集是：$\left\{x\Big|x>\frac{5}{4}\right\}$
\end{solution}

\begin{example}
    解不等式：$3(x-5)\ge x^2-5x+3-(x^2-8x)$
\end{example}

\begin{solution}
    有时我们可以采用另一种书写方式，即采用一系列
相等的集合把原不等式的解集找出来．

原不等式的解集：
\[\begin{split}
&\quad    \left\{x|3(x-5)\ge x^2-5x+3-(x^2-8x)\right\}\\
&=\left\{x|3x-15\ge 3x+3\right\}\\
&=\left\{x|0x\ge 18\right\}\\
&=\emptyset
\end{split}\]
“$\emptyset$”表示空集，这说明原不等式不能成立．

解不等式组就是先分别求不等式组中各个不等式的解
集，然后再求这些解集的交集．
\end{solution}

\begin{example}
    解不等式组：
    \[\begin{cases}
        3(x-2)+1<6(x+1)\\
        7-4(x-3)>5x-10
    \end{cases}\]
\end{example}

\begin{solution}
    先解第一个不等式，化简得：
\[\begin{split}
    3x-6+1&<6x+6\\
    3x&>-11
\end{split}\]
所以$x>-\frac{11}{3}$．

再解第二个不等式，化简得
\[\begin{split}
    7-4x+12&>5x-10\\
    9x&<29
\end{split}\]
所以$x<\frac{29}{9}$

最后求两个解集的公共部分 $-\frac{11}{3}<x<\frac{29}{9}$，这就是不等式组的解(图3.5)．

\begin{figure}[htp]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.3,>=latex]
\draw[->] (-4.5,0)--(4.5,0)node[right]{$x$};
\foreach \x in {-3,-2,..., 3}
{
    \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1);
}

\draw(-11/3,0)--(-11/3,.5)--(4.5,.5);
\draw(-4.5,1)--(29/9,1)--(29/9,0);
\fill[pattern=north east lines](-11/3,0) rectangle (29/9,.5);

\foreach \x/\xtext in {{-11/3}/-\frac{11}{3},  {29/9}/\frac{29}{9}}
{
    \node at (\x, 0)[below]{$\xtext$};
    \draw[fill=white] (\x, 0) circle (1.5pt);
}
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

求解的过程也可以用集合的符号来书写，即
\[\begin{split}
&\quad \left\{x\Big|\begin{cases}
    3(x-2)+1<6(x+1)\\
    7-4(x-3)>5x-10
\end{cases}  \right\}\\
&=\left\{x\Big|3(x-2)+1<6(x+1) \right\} \cap \left\{x\Big|7-4(x-3)>5x-10 \right\}    \\
&=\{x|3x>-11\}\cap\{x|9x<29\}\\
&=\left\{x\Big|-\frac{11}{3}<x<\frac{29}{9} \right\}
\end{split}\]

\end{solution}

\begin{example}
    解不等式组：
    \[\begin{cases}
        5(x-3)>3(2x-3)\\
        5(x-2)<3(x-1)
    \end{cases}\]
\end{example}

\begin{solution}
\[\begin{split}
&\quad \left\{x\Big|\begin{cases}
    5(x-3)>3(2x-3)\\
    5(x-2)<3(x-1)
\end{cases} \right\}\\
&=\left\{x\Big|5(x-3)>3(2x-3) \right\} \cap \left\{x\Big|5(x-2)<3(x-1) \right\}    \\
&=\{x|x<-6\}\cap\left\{x\Big|x<\frac{7}{2}\right\}\\
&=\{x|x<-6\}
\end{split}\] 

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.7]
\draw [->](-8,0)--(4.5,0)node [right]{$x$};
\foreach \x in {-5,-4,...,3}
{
    \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1);
}

\draw (-6,0)--(-6,1)--(-8,1);
\draw (3.5,0)--(3.5,.5)--(-8,.5);
\fill[pattern=north east lines](-8,1) rectangle (-6,0);

\foreach \x/\xtext in {-6/-6,3.5/\frac{7}{2}}
{
    \node at (\x,0)[below]{$\xtext$};
    \draw[fill=white] (\x,0) circle (2pt);
}

\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}


在最后求交集时可借助于如图3.6的图示，用这种图表
交集，直观清晰不易出错．
\end{solution}

\begin{example}
    解不等式组：
\[\begin{cases}
    7x-3>5x+1\\
    \frac{1}{2}x>x+\frac{1}{2}
\end{cases}\]
\end{example}

\begin{solution}
 \[\begin{split}
&  \quad \left\{x\Big|\begin{cases}
    7x-3>5x+1\\
    \frac{1}{2}x>x+\frac{1}{2}
\end{cases} \right\}   \\
&=\{x|7x-3>5x+1 \}\cap\left\{x|\frac{1}{2}x>x+\frac{1}{2}\right\}\\
&=\{x|x>2\}\cap\{x|x<-1\}=\emptyset
 \end{split}\]  
\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[->](-5,0)--(5,0)node[right]{$x$};
\foreach \x in {-1,0,1,2}
{
    \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1);
}    
\draw (-5,.3)--(-1,.3)--(-1,0);
\draw (5,.3)--(2,.3)--(2,0);

\foreach \x in {-1,2}
{
    \draw (\x,0) [fill=white]circle(1.5pt);
}

\fill[pattern=north east lines] (-5,.3) rectangle (-1,0);
\fill[pattern=north east lines]  (5,.3) rectangle (2,0);
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

 不等式组的解集是空集，说明没有实数能使不等式组的
各不等式同时成立，换句话说，不等式组无解．
\end{solution}

\begin{rmk}
    含有字母系数的不等式，它的解集因字母系数的
取值不同而有不同的情形，因此需要对字母系数高取值分情
况进行讨论．
\end{rmk}

\begin{example}
    解不等式：$mx-2>x-3m$
\end{example}

\begin{solution}
移项、化简得：
\[(m-1)x>2-3m\]
因为$m-1$可能是正数或零或负数，故需分三种情形来讨
论：
\begin{itemize}
    \item 当$m>1$时，则$x>\frac{2-3m}{m-1}$；
\item 当$m=1$时，原不等式化为$0x>-1$, 这个不等式的解集
是所有实数；
\item 当$m<1$时，则$x<\frac{2-3m}{m-1}$．
\end{itemize}

答：不等式的解集是：
\begin{itemize}
    \item 当$m>1$时，$\left\{x\Big| x>\frac{2-3m}{m-1}\right\}$
    \item 当$m=1$时，$\left\{x\Big| x\in\mathbb{R}\right\}$
    \item 当$m<1$时，$\left\{x\Big| x<\frac{2-3m}{m-1}\right\}$
\end{itemize}
\end{solution}

\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item  解下列不等式，并在数轴上表示出它的解集：
    \begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $3 x-2>5 x+8$
\item $5 x-7 \le 33(x-4)$
\item  $0.3 x-0.5>x-1$
\item $0.8-0.2 x \le 0.5 x-0.6$
\item $\frac{1}{3}(x-5)>\frac{1}{4}(1-x)$
\item  $3(x-1)-(x-5)<x-3$
\item $\frac{2}{5}(x-3)+1<\frac{1}{6}(2 x-1) $
\item $\frac{x-3}{4}-\frac{2 x-1}{3}>x$
\item $\frac{2 x-1}{5}-\frac{x-2}{3} \geq \frac{2 x-5}{10}$
\item $\frac{x-1}{2}-\frac{x+1}{2}>\frac{x}{6}$
\end{enumerate}       
    \end{multicols}

\item 解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\begin{cases}
    \frac{x+2}{6}>\frac{x-9}{6}+\frac{x+5}{2}\\
    6-\left(\frac{x-2}{4}+\frac{2}{3}\right)<\frac{x}{6}
\end{cases}$
\item $\begin{cases}
    \frac{3}{4}x-\frac{2}{3}\le \frac{4x-3}{12}\\
    2x-1>\frac{3x-4}{2}
\end{cases}$
\item $\begin{cases}
    x-1>\frac{7x-2}{3}\\
    4.5x+2.5<3x+2
\end{cases}$
\item $\begin{cases}
2x-3<4-5x\\
\frac{7x-8}{5}\ge x-1    
\end{cases}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item 解下列不等式：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $(a-b)x<2ax-b$
    \item $(p-q)x<p^2-q^2$
    \item $3(m+1)x+3m<2mx+3$
    \item $\frac{mx+1}{3}+\frac{4m-x}{2}<\frac{m^2}{6}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ex}    

\subsection{一元一次不等式的应用}

\begin{example}
    为奖励12名运动员需要买一些笔记本和铅笔，每
本笔记本的价格是0.94元，每打铅笔价格是0.76元，如果每
人各得一件奖品且所买物品价格不超过10元，问至多买几本
笔记本？
\end{example}


\begin{solution}
    设买笔记本$x$本，铅笔$(12-x)$打，则
\[0.94x+0.76(12-x)\le 10\]
化简得：
\[0.13x\le 0.88\quad \Rightarrow\quad x\le 4\frac{8}{9}\]
不大于$4\frac{8}{9}$的最大自然数是4．

答：至多买4本笔记本．
\end{solution}
    

    
\begin{example}
    拍照留念像，4吋的一份二张收费2.85元，加印
一张0.48元，预定每人平均出钱不超过1元，并都分到一－张
照片，问参加照像的至少有几人？
\end{example}

\begin{solution}
设参加照像的人数为$x$, 且在二个人以上，于是照像
费为：
\[2.85+0.48(x-2)\]
预定的照像费为：$x$元．
依题意有：
\[2.85+0.48(x-2)\le x\]
化简得
\[\begin{split}
    0.52x&\ge 1.89\\
x&\ge \frac{189}{52}=3\frac{33}{52}
\end{split}\]
大于$3\frac{33}{52}$的最小自然数是4．

答：参加照像的至少得有4人．
\end{solution}
    

\begin{example}
把笔记本123册，铅笔23打，分给三年级一班学
生，如果每人分三本笔记本，则尚余10册以上；每人分给8
支铅笔，则至少缺一人份，问这个班有多少学生？
\end{example}

\begin{solution}
 设这个班有学生$x$人，从人和笔记本册数的关系，得：
 \begin{equation}
     123-3x\ge 10
 \end{equation}
从人和铅笔支数的关系，得
\begin{equation}
    8x-12\x 23\ge 8
\end{equation}
解联立不等式(3.16)和(3.17)：

由(3.16)得
\[x\le 37\frac{2}{3}\]

由(3.17)得
\[x\ge 35\frac{1}{2}\]

所以
\begin{equation}
    35\frac{1}{2}\le x\le 37\frac{2}{3}
\end{equation}
表示班级人数的数是自然数，所以使(3.18)成立的自然数
有36和37.

答：36人或37人．
\end{solution}

\begin{example}
浓度8\%的盐水100克与浓度3\%的盐水混合，要
制成的涅合液至少重1200克，含盐至多84克，问掺入浓度3\%
的盐水的重量范围如何？
\end{example}


\begin{solution}
设掺入浓度3\%的盐水$x$克，
由盐水重量关系，得
\begin{equation}
    100+x\ge 1200
\end{equation}
由盐的重量关系，得
\begin{equation}
    100\x8\%+x \x 3\%\le 84
\end{equation}
把(3.19), (3.20)联立起来，由(3.19)得
\[x\ge 1100\]
由(3.20)得
\[0.03x\le 76\quad \Rightarrow\quad 
x\le 2533\frac{1}{3}\]
所以
\[1100\le x\le 2533\frac{1}{3}\]

答：掺入3\%的盐水的重量在1100克到$2533\frac{1}{3}$克的范围
内．
\end{solution}


\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item 某施工队，原规定要在6天内完成300土方的工程，第
    一天完成了60土方，因有其他紧急任务，要求这项工程
    提前2天完成，那么，这个施工队从第二天起平均每天
    至少要完成多少土方？
    \item 旅行者乘摩托艇顺水而下，然后返回原停治处．水流速
    度为2公里／小时，摩托艇在静水中的速度为18公里／小
    时．为了使游览时间不超过3小时，旅行者能走出多少
    路程？
    \item 从A地去相距18km处的B地，先以时速5km,中途改为
    时速4km的速度步行到B地．如果所用的时间不超过4小
    时，问以5km的时速所走的距离不少于多少公里？
    \item 夏令营第一中队野外行军，每小时走3公里，出发后一
    小时，营部有紧急通知，令通讯员骑自行车在40分钟内
    送到，问通讯员骑车的最低速度多大才能在40钟内把
    信送到．
    \item 在比赛时，每名射手各打10枪，每命中一次得5分，每
    脱靶一次扣1分，得到的分数不少于30分的射手算是优
    胜者．射手要成为优胜者至少应该中靶几次？
    \item 
    甲乙两个生产小组分别制定生产计划，甲组计划15天完
    成361个零件，乙组计划10天完成190个零件，头二天，
    甲组每天完成18个，乙组每天完成15个．从第三天起，
    甲乙两组提高了效率，最后都超额完成了生产计划．
    问从第三天起，每天平均至少能完成几个？
    \item 把700个成品装箱，如果每箱平均装15个，则剩余3箱以
上的成品不能装箱，如果每箱装20个，则至少剩下8个
箱子，求箱子的个数．
\item 
含银60\%的合金400g和含银75\%的合金混合，总重量
至少600g, 要制作含银至多420g的合金，问掺入含银
75\%的合金的重量范围如何？
\item 
8点离开家，要在8点30分到8点40分之间到达学校．
从家到学校的路程为2400米，问步行的速度范围如何？
需每分钟不得少于多少米？不得大于多少米？
\end{enumerate}
\end{ex}

\subsection{不等式$(ax+b)(cx+d)>0\; (<0)$,
$\frac{ax+b}{cx+d}>0\; (<0)$的解法举例}
\begin{example}
    解不等式$(0.5x-1)(4-x)>0$．
\end{example}

\begin{solution}
两个因式的积的值为正，当且仅当这两个因式的值
同号，即原不等式成立的充分必要条件是下列不等式组之
一成立：
\[\begin{cases}
    0.5x-1>0\\4-x>0
\end{cases}\quad \text{或}\quad \begin{cases}
    0.5x-1<0\\4-x<0
\end{cases}\]
由此得
\[\begin{cases}
    x>2\\x<4
\end{cases}\quad \text{或}\quad \begin{cases}
    x<2\\x>4
\end{cases}\]

前一个不等式组化为$2<x<4$, 后一个不等式组的解
集合是空集$\emptyset$．

答：原不等式的解集$=\{x|2<x<4\}\cup\emptyset=\{x|2<x<4\}$．
\end{solution}

\begin{example}
    解不等式$\frac{2x-3}{5-4x}<0$．
\end{example}

\begin{solution}
分式的值为负，当且仅当分子和分母的值有不同符
号，即原不等式成立的充分必要条件是下列不等式组之一成
立：
\begin{equation}
    \begin{cases}
        2x-3>0\\5-4x<0
    \end{cases}\Rightarrow\quad \begin{cases}
        x>\frac{3}{2}\\  x>\frac{5}{4}
    \end{cases}
\end{equation}
或
\begin{equation}
    \begin{cases}
        2x-3<0\\5-4x>0
    \end{cases}\Rightarrow\quad \begin{cases}
        x<\frac{3}{2}\\  x<\frac{5}{4}
    \end{cases}
\end{equation}
因为$\frac{3}{2}>\frac{5}{4}$,
不等式组(3.21)的解集$=\left\{x\Big|x>\frac{3}{2}\right\}$, 不
等式组(3.22)的解集$=\left\{x\Big|x<\frac{5}{4}\right\}$．

答：原不等式的解集$=\left\{x\Big|x>\frac{3}{2}\right\}\bigcup\left\{x\Big|x<\frac{5}{4}\right\}$
\end{solution}

\begin{example}
    解不等式$\frac{3x+1}{x-3}<1$．
\end{example}

\begin{solution}
    将这个不等式作同解变形，使不等式的右端为零．

    移项$$\frac{3x+1}{x-3}-1<0$$
化简得$$\frac{2x+4}{x-3}<0$$

同解于：
\begin{equation}
    \begin{cases}
        2x+4>0\\x-3<0
    \end{cases}\Rightarrow\quad \begin{cases}
        x>-2\\  x<3
    \end{cases}
\end{equation}
或
\begin{equation}
    \begin{cases}
        2x+4<0\\x-3>0
    \end{cases}\Rightarrow\quad \begin{cases}
        x<-2\\  x>3
    \end{cases}
\end{equation}
不等式组(3.23)的解集$=\{x|-2<x<3\}$, 不等式组(3.24)的
解集$=\{x|x\le -1\}$．

答：原不等式的解集$=\{x|x>1\}\cup \{x|x\le -1\}$

\end{solution}

\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item 解不等式：
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
    \item $x(10x-3)>0$
    \item $-x(2-5x)\le 0$
    \item $(10x-1)(5x-2)<0$
    \item $(5-\sqrt{2}x)\left(\frac{1}{2}x-\sqrt{3}\right)\ge 0$
\end{enumerate}
    \end{multicols}

    \item 解不等式：
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
    \item $\frac{12}{x-7.2}>0$
    \item $\frac{1.75}{3x-0.75}<0$
    \item $\frac{x^2+1}{-x+3}> 0$
    \item $\frac{x^2}{x-1}\ge 0 $
    \item $\frac{x-1}{x^2}\le 0 $
\end{enumerate}
    \end{multicols}
    \item 解不等式：
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
    \item $\frac{x-17}{9-x}>0 $
    \item $\frac{3x-4}{x}\le 0 $
    \item $\frac{5-x}{3-2x}\le 0$
    \item $\frac{5x-1}{y+2}\ge 1$
    \item $\frac{3y-7}{y+2}\le 2$
    \item $\frac{3}{x-6}>2$
\end{enumerate}
    \end{multicols}

    \item 下列不等式是不是同解不等式：
\begin{enumerate}
    \item $(x-1)(x+2)>0,\qquad \frac{x-1}{x+2}>0$
    \item $(x-3)(x+4)\ge 0,\qquad \frac{x-3}{x+4}\ge 0$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ex}

\subsection{含有绝对值符号的一元一次不等式}

有时我们还会遇到一种含有绝对值符号的不等式．
例如，用车床加工一种底面直径为10cm的圆柱形零件，
如果规定底面直径的绝对误差不超过0.05cm才算合格，那
么合格零件底面直径$x$可以是多少？这就是要解不等式：
\[|x-10|\le 0.05\]

这类不等式称为含有绝对值符号的不等式，或简单地称
为绝对值不等式．

我们先来考虑两个简单的绝对值不等式：
\[|x|<a,\qquad |x|>a\]

我们知道，$|x|$可以看作数轴上表示$x$的点与原点的距
离，由此可知：

如果$a>0$, 那么绝对值不等式$|x|<a$的解就是$-a<x<a$的解(图3.8); $|x|>a$的解就是$x<-a$或$x>a$的解
(图3.9)，也就是：
\[\begin{split}
    \{x|\;|x|<a\}&=\{x|\;-a<x<a\}\\
    \{x|\;|x|\ge a\}&=\{x|\;x<-a\}\cup\{x|\;x>a\}
\end{split}\]

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[->] (-4,0)--(4,0)node[right]{$x$};
\foreach \x/\xtext in {-2/-a,0/0,2/a}
{
    \draw (\x,0)node[below]{$\xtext$}--(\x,.1);
}    
\draw (-2,0)--(-2,.5)--(2,.5)--(2,0);
\fill [pattern=north east lines](-2,.5) rectangle (2,0);
\foreach \x in {-2,2}
{
    \draw (\x,0) [fill=white] circle (2.5pt);
}
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[->] (-4,0)--(4,0)node[right]{$x$};
\foreach \x/\xtext in {-2/-a,0/0,2/a}
{
    \draw (\x,0)node[below]{$\xtext$}--(\x,.1);
}    
\draw (-2,0)--(-2,.5)--(-4,.5);
\fill [pattern=north east lines](-4,.5) rectangle (-2,0);
\draw (2,0)--(2,.5)--(4,.5);
\fill [pattern=north east lines](4,.5) rectangle (2,0);
\foreach \x in {-2,2}
{
    \draw (\x,0) [fill=white] circle (2.5pt);
}
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

现在让我们转到要解的不等式$|x-10|\le 0.05$上来，其
意义就是数轴上表示$x$的点与坐标为10的点的距离不超过
0.05．根据上面的结论，它和下面不等式同解：
\[-0.05\le x-10\le 0.05\]
也就是
\[9.95\le x\le 10.05\]

\begin{example}
    解不等式
$|x+4|>9$．
\end{example}


\begin{solution}
\[\begin{split}
    &\quad \{x|\;|x+4|>9\}\\
    &=\{x|x+4>9\}\cup \{x|x+4<-9\}\\
    &=\{x|x>5\}\cup\{x|x<- 13\}
\end{split}\]
这个绝对值不等式，其意义就是数轴上表示$x$的点与坐标为$-4$的点的距离大于9, 这些解点只能是以5为端点的
右开射线，和以$-13$为端点的左开射线(图3.10)．
\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[->] (-8,0)--(4,0)node[right]{$x$};
\foreach \x/\xtext in {-6.5/-13,-6/-12,-5/-10,-4/-8,-3/-6,-2/-4,-1/-2,0/0,1/2,2/4,2.5/5}
{
    \draw (\x,0)node[below]{$\xtext$}--(\x,.1);
}    
\draw (-6.5,0)--(-6.5,.5)--(-8,.5);
\fill [pattern=north east lines](-8,.5) rectangle (-6.5,0);
\draw (2.5,0)--(2.5,.5)--(4,.5);
\fill [pattern=north east lines](4,.5) rectangle (2.5,0);
\foreach \x in {-6.5,2.5}
{
    \draw (\x,0) [fill=white] circle (2.5pt);
}
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}
\end{solution}

为了与后面的讨论一致起见，我们还可以这样来解这两
个绝对值不等式：

按照绝对值的定义，
\[|x-10|=\begin{cases}
    x-10, & x\ge 10\\
    -(x-10), & x<10
\end{cases}\]

由此可见，$x=10$是个分界点，我们称它为$x-10$的零点，
零点把数轴分成三段即零点的右开射线，零点和零点的左开
射线．在这里我们约定把零点归于右开射线的左端点，于是零
点左侧任意一点和零点的距离：
\[|x-10|=-(x-10),\qquad x<10\]
零点或零点右侧任意一点和零点的距离：
\[|x-10|=x-10,\qquad x\ge 10\]
这样有下图(图3.11)的情况：
\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[->](0,0)--(10,0)node [right]{$x$};
\foreach \x/\xtext in {3/0,6/10}
{
    \draw (\x, 0) [fill=black] circle (1.5pt)node[below]{$\xtext$}; 
}    
\draw (0,1) to [bend left=15] (6,0);
\draw (10,1) to [bend left=-15] (6,0);
\node at (2,.5){$|x-10|=-(x-10)$};
\node at (9,.5){$|x-10|=x-10$};
\node at (2,-.5){$x<10$};
\node at (9,-.5){$x\ge 10$};

\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

从而得到不等式$|x-10|\le 0.05$的解集：
\[\begin{split}
  &\quad   \{x|\; |x-10|\le 0.05\}\\
  &=\left\{x\Big| \begin{cases}
    -(x-10)\le 0.05\\x<10
\end{cases}\right\}\bigcup \left\{x\Big| \begin{cases}
    x-10\le 0.05\\x\ge 10
\end{cases}\right\}\\
&=\Big[\{x|-(x-10)\le 0.05\}\cap\{x|x<10\}\Big]\bigcup\Big[\{x|x-10\le 0.05\}\cap\{x|x\ge 10\}\Big]\\
&=\{x|9.95\le x<10\}\cup\{x|10\le x\le 10.05\}\\
&=\{x|9.95\le x\le 10.05\}
\end{split}
    \]

    同理可解例2.28：$|x+4|>9$，在这里零点是$x=-4$, 它把数轴分成两段：
    \begin{itemize}
        \item  当$x\ge -4$时，$|x+4|=x+4$;
        \item  当$x<-4$时，$|x+4|=-(x+4)$.
    \end{itemize}
    于是不等式的解集为：
\[\begin{split}
    &\quad \{x|\; |x+4|>9\} \\
&= \left\{x\Big|\begin{cases}
    -(x+4)>9\\x<-4
\end{cases}\right\}\bigcup \left\{x\Big|\begin{cases}
    x+4>9\\x\ge -4
\end{cases}\right\}\\
    &=\Big[\{x|-(x+4)>9\}\cap\{x|x<-4\}\Big]\bigcup\Big[\{x|x+4>9\}\cap\{x|x\ge -4\}\Big]\\
    &=\{x|x<-13\}\cup\{x|x>5\}
\end{split}\]

当然这种方法对解含一个绝对值的不等式不如前法方
便、但它具有一般性，且它可推广到解含二个、三个……绝
对值的不等式．

\begin{example}
    解不等式$|x-2|+|x+3|>7$．
\end{example}

\begin{solution}
这里$|x-2|$的零点为2; $|x+3|$的零点为$-3$,
把所有零点在数轴上按由小到大的次序排列，这样把数轴分
为下面的三段，而各段上的点和零点2的距离与该点和零
点$-3$的距离的和在脱去绝对值后的情况如图3.12所示．
\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[->] (-6,0)--(6,0)node[right]{$x$};
\foreach \x in {-3,-2,...,2}
{
    \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1);
}
\draw (-3,0) [fill=black] circle(1.5pt);
\draw (2,0) [fill=black]circle (1.5pt);

\draw (-3,0)--(-3,.5)--(2,.5)--(2,0);
\draw (-6,1)to [bend left=15] (-3,0);
\draw (6,1)to [bend left=-15] (2,0);

\node at (-5,-.75){$x<-3$}; 
\node at (-.5,-.75){$-3\le x<2$};
\node at (4,-.75){$x\ge 2$};

\node at (-5,.5){$-(x-2)+[-(x+3)]$}; 
\node at (-.5,1){$-(x-2)+(x+3)$};
\node at (4,.5){$(x-2)+(x+3)$};
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{figure}

所以原不等式的解就是这三个解集的并集，即
\[\begin{split}
&\quad \left\{x\Big|\begin{cases}
    -(x-2)+[-(x+3)]>7\\
    x<-3
\end{cases}\right\}\bigcup \left\{x\Big|\begin{cases}
    -(x-2)+(x+3)>7\\ -3\le x<2
\end{cases}\right\}\\
&\qquad \bigcup \left\{x\Big|\begin{cases}
    (x-2)+(x+3)>7\\ x\ge 2
\end{cases}\right\}\\
&=\{x|x<-4\}\cup\emptyset \cup\{x|x>3\}\\
&=\{x|x<-4\}\cup \{x|x>3\}
\end{split}\]

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[->](-6,0)--(5.5,0)node[right]{$x$};
\foreach \x in {-4,-3,...,3}
{
    \draw(\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1);
}
\draw (-4,0)--(-4,.5)--(-6,.5);
\draw (3,0)--(3,.5)--(5,.5);
\fill[pattern=north east lines](-6,.5) rectangle (-4,0);
\fill[pattern=north east lines](5,.5) rectangle (3,0);
\draw (-4,0) [fill=white] circle (1.5pt);
\draw (3,0) [fill=white] circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}
\end{solution}
    
\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item 解下列不等式：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $|x-2|<5$
    \item $|2x-3|\ge 1$
    \item $|2-3x|\le 3$
    \item $|4x-5|<15$
    \item $\left|\frac{1}{2}x+1\right|<4$
    \item $|2x+5|<\frac{5}{12}$
    \item $\left|\frac{1}{2}x-4\right|+3>|8-x|$
    \item $|x|>2x-1$
\end{enumerate}    
\end{multicols}

\item 解下列不等式：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $|x+1|+|x-1|>0$
    \item $|x+3|-|x-3|<5$
    \item $|x-5|-|x+3|>3$
    \item $|x-1|-11<2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item 用宽6cm的铁板，截一个面积为48${\rm cm}^2$的长方形零件，
要求面积的绝对误差不超过0.3${\rm cm}^2$, 长度应在什么范围
内？
\item 解下列不等式：
\begin{enumerate}
    \item $3|x-6|+|x+2|-|x-0.5|\le 7$
    \item $|x|+|x-1|+|x-2|\ge 4$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ex}

\subsection{一元二次不等式}
形如
\[ax^2+bx+c>0 \qquad \text{或}\qquad  ax^2+bx+c<0 \]
的不等式称为一元二次不等式．这里$a\ne 0$．

我们首先说明下面的定理：
\begin{blk}{定理1}
    设$b^2-4ac\le 0$, 则
\begin{enumerate}
    \item 当$a>0$时，不论$x$为何值，$ax^2+bx+c\ge 0$
    \item 当$a<0$时，不论$x$为何值，$ax^2+bx+c\le 0$
\end{enumerate} 
上面两个不等式仅在$b^2-4ac=0$, 且
$x=-\frac{b}{2a}$时等式成立．
\end{blk}

这个定理的证明已在本章的例3.12中用配方法证过了．
建议读者再复习一遍它的证明．

这个定理告诉我们；不管$b^2-4ac<0$还是$b^2-4ac=0$,
二次三项式$ax^2+bx+c$的值除可能是0外，符号总是和二次
项的系数$a$的符号一致，不随$x$的改变而改变的．

根据这个结论，我们知道不等式：
\begin{enumerate}
    \item $ax^2+bx+c>0$ $(a>0,\; b^2-4ac<0)$的解集
    是：$\{x|x\in\mathbb{R}\}$．
    \item $ax^2+bx+c>0$ $(a>0,\;b^2-4ac=0)$的解集是：
    $\left\{x\Big|x\in\mathbb{R},\; x\ne -\frac{b}{2a}\right\}$
    \item $ax^2+bx+c<0$ $(a>0,\; b^2-4ac<0)$的解集是
    空集$\emptyset$．
\end{enumerate}

但当$b^2-4ac>0$时，$ax^2+bx+c$的值的情形是怎样的
呢？这时$ax^2+bx+c$的值的符号要因$x$的值不同而改变，现在
我们就来讨论它的值的符号怎样随$x$的取值改变．

当$b^2-4ac>0$. 而$a\ne 0$时，$ax^2+bx+c=0$有两个不同
的实根$x_1$和$x_2$, 并设$x_1<x_2$, 于是根据因式定理有：
\[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\]

在这里，我们只要记住一个最简单的原则，就可以解决
问题，那就是“奇数个负数相乘是负的，偶数个负数相乘是
正的”，例如当$x_1<x<x_2$时，$x-x_1$是正的而$x-x_2$是负的，于是
$(x-x_1)(x-x_2)<0$, 因此在这时$ax^2+bx+c$的值的符号与$a$
相反，从此我们可以把结果列成一个表．
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c}
\hline
      & $x<x_1$ & $ax^2+bx+c>0$\\
 $a>0$   &  $x_1<x<x_2$ & $ax^2+bx+c<0$\\
    &  $x_2<x$ & $ax^2+bx+c>0$\\
\hline
  & $x<x_1$ & $ax^2+bx+c<0$\\
$a<0$&  $x_1<x<x_2$ & $ax^2+bx+c>0$\\
&  $x_2<x$ & $ax^2+bx+c<0$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

我们把上面讨论的结果总结成下面的定理：
\begin{blk}{定理2}
    设$b^2-4ac>0$, 则当$x$的取值在$ax^2+bx+c$的
    二根之间时，$ax^2+bx+c$的值的符号与$a$的符号相反；当$x$的
    取值在二根之间的以外部分时，$ax^2+bx+c$的值的符号与$a$
    的符号相同． 
\end{blk}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.8]
\begin{scope}
\draw[->] (0,0)--(6,0)node[right]{$x$};
\foreach \x/\xtext in {2/x_1,4/x_2}
{
    \draw (\x,0)node[below]{$\xtext$}--(\x,.1);
}
\foreach \x/\xtext in {1/+,3/-,5/+}
{
    \node at (\x,.5){$\xtext$};
}
\node at (3,2){$ax^2+bx+c$};
\node at (3,1.3){$(a>0,\; b^2-4ac>0)$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=8cm]
\draw[->] (0,0)--(6,0)node[right]{$x$};
\foreach \x/\xtext in {2/x_1,4/x_2}
{
    \draw (\x,0)node[below]{$\xtext$}--(\x,.1);
}
\foreach \x/\xtext in {1/-,3/+,5/-}
{
    \node at (\x,.5){$\xtext$};
}
\node at (3,2){$ax^2+bx+c$};
\node at (3,1.3){$(a<0,\; b^2-4ac>0)$};
\end{scope}
\end{tikzpicture} 
\end{center}

再把定理1和定理2的结论综合起来看，我们说：$ax^2+
bx+c\; (a\ne 0)$的值的符号和它的二次项的系数的符号相同，
除非$x$的值是在它的二根之间或等于它的根．



\begin{example}
 解不等式$-x^2+2x-2>0$
\end{example}

\begin{solution}
 由于$a=-1<0$, 且$b^2-4ac=2^2-4(-1)\cdot(-2)=-4<0$, $-x^2+2x-2$的值对于任何$x$都是负的，
故不等式无解．   
\end{solution}

\begin{example}
   解不等式$2x^2-4x+3>0$ 
\end{example}

\begin{solution}
    由于$a=2>0$, 且$b^2-4ac=(-4)2-4\cdot 2\cdot 3=-8<0$, 故不等式的解集是一切实数．
\end{solution}

\begin{example}
 解不等式$2x^2-4x-5\le 0$   
\end{example}

\begin{solution}
    由于$b^2-4ac=(-4)2-4\x2\x(-5)=56>0$，
所以对应的二次方程有两个实根：
\[x_1=\frac{2-\sqrt{14}}{2},\qquad x_2=\frac{2+\sqrt{14}}{2}\]
又$a=2>0$, 所以要使原不等式成立，它的解必须且只须在
二根之间，或等于二根．因此解集为：
\[\left\{x\Big|\frac{2-\sqrt{14}}{2}\le x\le \frac{2+\sqrt{14}}{2} \right\}\]
\end{solution}

\begin{example}
解不等式$4x^2-12x+9\le 0$
\end{example}

\begin{solution}
    由于$b^2-4ac=(-12)^2-4\x4\x9=0$, 故
\[4x^2-12x+9=(2x-3)^2\]
因此解集只能是$\left\{\frac{3}{2}\right\}$．
\end{solution}


\begin{example}
    $p$为何值时，二次三项式
$x^2+(p-2)x+2p+1$
对于任何$x$都取正值．
\end{example}


\begin{solution}
    只有当判别式$\Delta<0$时，$x^2+(p-2)x+2p+1$
的值才能保持正号，因此
$$\Delta=(p-2)2-4(2p+1)<0$$
即$p(p-12)<0$.

解$p(p-12)=0$, 得到二根$p_1=0$, $p_2=12$, 又$p^2$的系数是
$1>0$, 因此上面不等式的解满足$0<p<12$．

答：在$0<p<12$的条件下，$x^2+(p-2)x+2p+1$
对于任何$x$值都取正值．
\end{solution}


\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item 解下列不等式：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $(x-2)^2+1>0$
    \item $(x-2)^2-1>0$
    \item $x^2-x+\frac{1}{4}>0$
    \item $2x^2-3x>2$
    \item $x^2>0$
    \item $x^2-4x+6\le 0$
    \item $49x^2+168x+144\le 0$
    \item $x^2+x+\frac{1}{4}\le 0$
    \item $x^2+x+2>0$
    \item $x^2+x-2<0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
    \item $m$为何值使得下面的二次三项式的值对于任何$x$值都是
    正的或都是负的：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $x^2-8x+m+10$
    \item $-x^2-2x+m-6$
    \item $x^2+(m+2)x+3m+1$
    \item $-3x^2+(2m+6)x-m-3$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}    
\end{ex}

\subsection{一元高次不等式}
如果一元较高次多项式能分解成一次或二次的因式的乘
积，上节所述对一元二次不等式的解法的原则，也可以用来
解较高次不等式．

现在我们把上节对解二次不等式所采用的原则概括成以
下的步骤：
\begin{enumerate}
    \item 把不等式化成标准型：$p(x)>0$或$p(x)<0$. 这里
$p(x)$是个一元多项式．
\item 把$p(x)$因式分解
\item 求出各个因式的零点．
\item 把零点在数轴上由小到大排列起来，并把数轴分为
若干段．
\item 在各段上考察各个因式的符号并决定$p(x)$的符号．
\item 找出不等式的解集．
\end{enumerate}


\begin{example}
    解不等式：$x^3+3x^2>2x+6$
\end{example}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item 把原不等式化为如下的标准型：$x^3+3x^2-2x-6>0$
    \item 把不等式左端因式分解：
    \[\begin{split}
         x^3+3x^2-2(x+3)&=x^2(x+3)-2(x+3)\\
    &=(x+3)(x^2-2)\\
    &=(x+3)\left(x+\sqrt{2}\right)\left(x-\sqrt{2}\right) 
    \end{split}\]
  
    所以解原不等式，就相当于解不等式
   \[(x+3)\left(x+\sqrt{2}\right)\left(x-\sqrt{2}\right) >0\]
    \item 各个因子的零点是$-3,-\sqrt{2},\sqrt{2}$．
    
    4, 5, 6三步可列表进行：
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=2]
\foreach \x in {0,.5,2}
{
    \draw (0,\x)--(10,\x);
}
\foreach \x/\xtext in {5.5/{},6.5/-3,7.5/-\sqrt{2},8.5/\sqrt{2}}
{
    \draw (\x,0)--(\x,2)node[above]{$\xtext$};
}

\node at (2.5,.25){$(x+8)(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$};
\foreach \x/\xtext in {6/-,7/+,8/-,9/+}
{
    \node at (\x,.25) {$\xtext$};
}

\node at (2.5,.75){$x-\sqrt{2}$};
\foreach \x/\xtext in {6/-,7/-,8/-,9/+}
{
    \node at (\x,.75) {$\xtext$};
}

\node at (2.5,1.25){$x+\sqrt{2}$};
\foreach \x/\xtext in {6/-,7/-,8/+,9/+}
{
    \node at (\x,1.25) {$\xtext$};
}

\node at (2.5,1.75){$x+8$};
\foreach \x/\xtext in {6/-,7/+,8/+,9/+}
{
    \node at (\x,1.75) {$\xtext$};
}


\node at (6.5,1.75)[fill=white] {0};
\node at (6.5,.25)[fill=white] {0};
\node at (7.5,.25)[fill=white] {0};
\node at (8.5,.25)[fill=white] {0};
\node at (8.5,.75)[fill=white] {0};
\node at (7.5,1.25)[fill=white] {0};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

所以原不等式的解集为：
\[\{x|-3<x<-\sqrt{2}\}\cup\{x|x>\sqrt{2}\}\]
\end{solution}

\begin{example}
解不等式$(x^2-3)(x^2-5)\le 0$
\end{example}


\begin{solution}
    解原不等式就相当于解不等式
\[(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})\le 0\]
列表解之如下：
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=2, xscale=1.2]
\foreach \x in {0,.5,2.5}
{
    \draw (0,\x)--(10.5,\x);
}
\foreach \x/\xtext in {5.5/{},6.5/-\sqrt{5},7.5/-\sqrt{3},8.5/\sqrt{3},9.5/\sqrt{5}}
{
    \draw (\x,0)--(\x,2.5)node[above]{$\xtext$};
}

\node at (2.5,.25){$(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$};
\foreach \x/\xtext in {6/+,7/-,8/+,9/-,10/+}
{
    \node at (\x,.25) {$\xtext$};
}

\node at (2.5,.75){$x-\sqrt{5}$};
\foreach \x/\xtext in {6/-,7/-,8/-,9/-,10/+}
{
    \node at (\x,.75) {$\xtext$};
}

\node at (2.5,1.25){$x-\sqrt{3}$};
\foreach \x/\xtext in {6/-,7/-,8/-,9/+,10/+}
{
    \node at (\x,1.25) {$\xtext$};
}

\node at (2.5,1.75){$x+\sqrt{3}$};
\foreach \x/\xtext in {6/-,7/-,8/+,9/+,10/+}
{
    \node at (\x,1.75) {$\xtext$};
}

\node at (2.5,2.25){$x+\sqrt{5}$};
\foreach \x/\xtext in {6/-,7/+,8/+,9/+,10/+}
{
    \node at (\x,2.25) {$\xtext$};
}

\foreach \x in {6.5,7.5,8.5,9.5}
{
    \node at (\x,.25)[fill=white] {0};
}
\node at (9.5,.75)[fill=white] {0};
\node at (7.5,1.75)[fill=white] {0};
\node at (6.5,2.25)[fill=white] {0};
\node at (8.5,1.25)[fill=white] {0};
\end{tikzpicture}
\end{center}

所以原不等式的解集为：
\[\{x|-\sqrt{5}\le x\le -\sqrt{3}\}\cup\{x|\sqrt{3}\le x\le \sqrt{5}\}\]
\end{solution}

\begin{example}
    解不等式$(x^3-1)(x^3+2x^2-x-2)>0$
\end{example}

\begin{solution}
    将不等式左侧因式分解后就相当于解不等式：
$$(x-1)^2(x^2+x+1)(x+1)(x+2)>0$$
这里二次三项式$x^2+x+1$的判别式小于零，且首项系数大
于零，故它对一切实数值都大于零，因此在列表时可以把它
略去不计．但因子$(x-1)^2$, 除$x=1$的零点外，$(x-1)^2$恒
大于零，故也可暂不考虑它，不过在最后确定解集时，要把
$x=1$除外的情况考虑进去．这样，就有下表：
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=2, xscale=1.2]
\foreach \x in {0,.5,1.5}
{
    \draw (2,\x)--(8.5,\x);
}
\foreach \x/\xtext in {5.5/{},6.5/-2,7.5/-1}
{
    \draw (\x,0)--(\x,1.5)node[above]{$\xtext$};
}

\node at (3.5,.25){$(x+2)(x+1)$};
\foreach \x/\xtext in {6/+,7/-,8/+}
{
    \node at (\x,.25) {$\xtext$};
}

\node at (3.5,.75){$x+1$};
\foreach \x/\xtext in {6/-,7/-,8/+}
{
    \node at (\x,.75) {$\xtext$};
}

\node at (3.5,1.25){$x+2$};
\foreach \x/\xtext in {6/-,7/+,8/+}
{
    \node at (\x,1.25) {$\xtext$};
}

\node at (6.5,.25)[fill=white] {0};
\node at (7.5,.25)[fill=white] {0};
\node at (7.5,.75)[fill=white] {0};
\node at (6.5,1.25)[fill=white] {0};
\end{tikzpicture}
\end{center}

考虑$(x-1)^2(x^2+x+1)(x+1)(x+2)>0$
的解时，要把$x=1$除外，故解集为：
\[\{x|x<-2\}\cup\{x|x>-1,\; x\ne 1\}\]
或者写成
\[\{x|x<-2\}\cup \{x|-1<x<1\}\cup\{x|x>1\}\]
\end{solution}

\begin{example}
    解不等式$\frac{9-x^2}{x^2-x-2}\ge 0$
\end{example}

\begin{solution}
解法1：用化为不等式组的方法解
\[\begin{split}
&\quad \left\{x\Big| \frac{9-x^2}{x^2-x-2}\ge 0\right\}\\
&=\left\{x\Big|\begin{cases}
    9-x^2\ge 0\\ x^2-x-2>0
\end{cases} \right\}\bigcup \left\{x\Big|\begin{cases}
    9-x^2\le 0\\ x^2-x-2<0
\end{cases} \right\}\\
&=\Big[\{x|-3\le x\le 3\}\cap \{x|x<-1\text{ 或 }x>2\}\Big]\\
&\qquad \bigcup \Big[\{x|x\le-3\text{ 或 }x\ge 3\}\cap \{x|-1<x<2\}\Big]\\
&=\Big[\{x|-3\le x<-1\}\cup\{x|2<x\le 3\} \Big]\cup \big[\emptyset\cup\emptyset\big]\\
&=\{x|-3\le x<-1\}\cup\{x|2<x\le 3\}
\end{split}\]

解法2: 用列表法来解．

事实上，解原不等式就相当于解不等式组
\[\begin{cases}
    (x+3)(x+1)(x-2)(x-3)\le 0\\
    x\ne -1,\quad x\ne 2
\end{cases}\]

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=2, xscale=1.2]
\foreach \x in {0,.5,2.5}
{
    \draw (0,\x)--(10.5,\x);
}
\foreach \x/\xtext in {5.5/{},6.5/-3,7.5/-1,8.5/2,9.5/3}
{
    \draw (\x,0)--(\x,2.5)node[above]{$\xtext$};
}

\node at (2.5,.25){$(x+3)(x+1)(x-2)(x-3)$};
\foreach \x/\xtext in {6/+,7/-,8/+,9/-,10/+}
{
    \node at (\x,.25) {$\xtext$};
}

\node at (2.5,.75){$x-3$};
\foreach \x/\xtext in {6/-,7/-,8/-,9/-,10/+}
{
    \node at (\x,.75) {$\xtext$};
}

\node at (2.5,1.25){$x-2$};
\foreach \x/\xtext in {6/-,7/-,8/-,9/+,10/+}
{
    \node at (\x,1.25) {$\xtext$};
}

\node at (2.5,1.75){$x+1$};
\foreach \x/\xtext in {6/-,7/-,8/+,9/+,10/+}
{
    \node at (\x,1.75) {$\xtext$};
}

\node at (2.5,2.25){$x+3$};
\foreach \x/\xtext in {6/-,7/+,8/+,9/+,10/+}
{
    \node at (\x,2.25) {$\xtext$};
}

\foreach \x in {6.5,7.5,8.5,9.5}
{
    \node at (\x,.25)[fill=white] {0};
}
\node at (9.5,.75)[fill=white] {0};
\node at (7.5,1.75)[fill=white] {0};
\node at (6.5,2.25)[fill=white] {0};
\node at (8.5,1.25)[fill=white] {0};
\end{tikzpicture}
\end{center}

考虑原不等式的解，要把$x=-1$和$x=2$除外，所以原
不等式的解集
\[\{x|-3\le x<-1\}\cup \{2<x\le 3\}\]
\end{solution}



\begin{ex}
 \begin{enumerate}
     \item 解下列不等式：
\begin{enumerate}
    \item $(x-2)(x+3)(x-4)(x+5)>0$
    \item $x^2(x+11)\ge 6(x^2+1)+x-1$
    \item $(x-2)(3x^2+2x-5)<0$
    \item $x^3+7x^2+6x\le 0$
\end{enumerate}
     \item      解下列不等式：
    \begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $\frac{2x-7}{x-5}>0$
    \item $\frac{(3x+2)(2x+3)}{(3x-2)(2x-3)}\ge 0$
    \item $\frac{x^2+2x-3}{x^2-2x-8}\le 0$
    \item $\frac{x+1}{x-1}<\frac{x-9}{x-3}-2$
\end{enumerate}        
    \end{multicols}
 \end{enumerate}   
\end{ex}

\section*{复习题三}
\addcontentsline{toc}{section}{复习题三}
\begin{enumerate}
\item   设$a,b,m$都是正数，如果$a<b$, 则
$\frac{a+m}{b+m}>\frac{a}{b}$；
如果$a>b$，则$\frac{a+m}{b+m}<\frac{a}{b}$
试证之．

\item  已知$a\ne b$, 求证：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $a^2+3b^2>2b(a+b)$
    \item $a^4+6a^2b^2+b^4>4ab(a^2 +b^2)$
    \item $(a-b)(a+b)>-2b^2$
    \item $a^4+b^4>a^3b+ab^3$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item 已知$a$、$b$、$c$是不相等的正数，求证：
\begin{enumerate}
    \item $(a+b)(b+c)(c+a)>8abc$
    \item $\frac{b+c-a}{a}+\frac{c+a-b}{b}+\frac{a+b-c}{c}>3$
    \item $(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c^2)>16abc$
\end{enumerate}

\item 已知$a^2+b^2=1$, $x^2+y^2=1$, 求证：$ax+by\le 1$．
\item 若$x,y,z$是正数，且$x+y+z=1$，求证：
$x^2+y^2+z^2\ge \frac{1}{3}$．
\item \begin{enumerate}
    \item 试证：两正数之和与此两正数的倒数之和的乘积不小于4．
    \item 试证：$\frac{\lg^2x+2}{\sqrt{\lg^2x+1}}\ge 2$．
\end{enumerate}
\item 已知$\triangle ABC$的三边为$a$、$b$、$c$且
\[c=\frac{a^2+3}{4},\qquad b=\frac{a^2-2a-3}{4}\]
求证$c$边最大．
\item 
已知直角三角形斜边为定值，求这个直角三角形面积的
最大值，并指出取得最大值的条件．
\item 
解下列关于$x$的不等式：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $ax+b^2>bx+a^3\quad (a<b)$
    \item $mx-n^3<nx-m^3\quad (m<n)$
    \item $ax+b>cx+d$
    \item $\frac{2x}{2-h}-\frac{h(x+1)}{2-h}<1\quad (h\ne 2)$
    \item $\frac{x-a}{x-b}>0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item 解不等式组：
\begin{enumerate}
    \item $\begin{cases}
        (x-1)^2<(x+1)^3-4\\(x-1)(x-2)<(x+3)(x-4)+20
    \end{cases}$
    \item $\begin{cases}
        (x+2)^3-(x-1)^3<9x^2 \\(x+2)^2-(x-1)^2>9
    \end{cases}$
\end{enumerate}

\item 求下列不等式组的整数解：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $\begin{cases}
        2x-7>0\\3x-5<15
    \end{cases}$
    \item $\begin{cases}
        11x-5<13\\3x+2>-5
    \end{cases}$
    \item $\begin{cases}
       3x+10>0\\ \frac{15}{3}x-10<4x
    \end{cases}$
    \item $\begin{cases}
      \frac{2x-11}{4}+\frac{19-2x}{2}>-2x\\
      \frac{2x+15}{9}>\frac{1}{5}(x-1)+\frac{x}{3}
    \end{cases}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item 解下列不等式，并在数轴上把解集表示出来：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $|x+2|-|x-3|<4$
    \item $|x-5|-|x-4|\ge 3$
    \item $|x-2|\ge 2x-1$
    \item $|2x^2+5x-2|<1$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item 一个两位数，它的个位数字比十位数字大2, 已知这个
两位数小于45而大于24, 求这数．

\item 一个两位数，它大于22而小于36, 并且它的十位数字比
个位数字大3, 求这数．
\item 一个分数的分子、分母都是自然数，分子比分母小1,
如果分子，分母都加上1, 所得就大于$\frac{1}{2}$，如果分子，
分母都减去1所得就小于$\frac{6}{7}$, 求这个分数．
\item 当$m$是什么实数时，方程
$mx^2-(m+1)x+3=0$
有实数根？没有实数根．
\item $a$是什么实数时，方程$5x-2a=ax-4-x$的解在2和
10之间？
\item $t$是什么实数时，方程
$tx^2-(1-t)x+t=0$
没有实数解？
\item 讨论二次三项式$x^2+2x+m+1$的值的符号．
\item 造一个截面为矩形的水管，要求矩形的长比宽多10cm, 
并且面积不小于250${\rm cm}^2$, 矩形的宽至少应当是多少cm？
\item 要使下列各式有意义，$x$的值应有什么限制？
\begin{enumerate}
    \item $\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x^2-3x+2}}$
    \item $\sqrt{|x-2|-3}+\frac{1}{\sqrt[3]{2x+1}}$
\end{enumerate}
\item $m$为何值使得下列不等式对于$x$的一切值都成立：
\begin{enumerate}
    \item $mx^2+12x-5<0$
    \item $(m+3)x^2-5x-4<0$
    \item $(m-2)x^2-2(2m-3)x+5m-6>0$
    \item $(m^2+6m-4)x^2-2(m-1)x+2<0$
    \item $(m^2+4m-5)x^2-2(m+1)x+3>0$
\end{enumerate}

\item 解下列不等式：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $\frac{(x-1)(x-2)}{x-3}\ge 0$
    \item $\frac{x^2-6x+18}{x-4}<0$
    \item $\frac{x^2+2x-3}{x^2-2x+8}>0$
    \item $\frac{x^2+5x+4}{x^2-5x-6}<0$
    \item $2-\frac{x-3}{x-2}>\frac{x-2}{x-1}$
    \item $3-\frac{2x-17}{x-5}>\frac{x-5}{x+2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{enumerate}