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\chapter{Electrostática}
\pagenumbering{arabic}
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\section{Introducción y conceptos fundamentales}

Uno de los conceptos fundamentales para la descripción de los fenómenos electromagnéticos es el de \textit{carga eléctrica}. La carga eléctrica es una propiedad física de los cuerpos, atribuida a ellos precisamente para diferenciar (o, en general, describir) su comportamiento en las interacciones electromagnéticas. La experiencia ha mostrado que es posible describir las propiedades de la interacción electromagnética (por ejemplo, atracción, repulsión, o ausencia de fuerza) si se asume que la magnitud física llamada carga eléctrica puede adoptar valores positivos, negativos (o nulos), y que es una propiedad aditiva (es decir, que la carga eléctrica total de un sistema formado por otras cargas es la suma algebraica de las cargas constituyentes).

En general, la interacción electromagnética entre cargas puede ser bastante complicada. Por ejemplo, la fuerza que una carga ejerce sobre otra depende en general no sólo de la distancia entre ellas, sino también de sus velocidades y aceleraciones relativas, y presenta además efectos ``de retardo'' (esto quiere decir que la fuerza que una carga experimenta debido a la otra no depende de la posición, velocidad y aceleración de la otra en el mismo instante, sino que en tiempos anteriores). Por esto, comenzaremos estudiando el caso más simple en que el sistema de cargas consideradas es \textit{estacionario}. En esta situación los efectos de retardo y la dependencia con las velocidades y aceleraciones desaparecen, de modo que \textbf{las fuerzas electrostáticas dependen sólo de las distancias entre las cargas}.


\subsection{Ley de Coulomb}

En 1785 Coulomb\footnote{Charles Augustin de Coulomb: físico e ingeniero francés (1736-1806). Ver \url{http://es.wikipedia.org/wiki/Charles-Augustin_de_Coulomb}.} \textit{establece experimentalmente} que la fuerza entre dos cargas muy peque\~nas (comparadas con la distancia que las separa, ``puntuales'') es \textit{aproximadamente}  proporcional a la magnitud de las cargas, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas y en la dirección que las
une. Finalmente el sentido de la fuerza es tal que dos cargas de igual signo se repelen y dos de signos opuestos se atraen. Este resultado experimental, y por consiguiente necesariamente aproximado, es la base de la teoría de la interacción electrostática. Esta teoría \textit{asume} entonces que la fuerza entre cargas muy pequeñas (``puntuales'') es \textit{exactamente} inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa y en la dirección de la línea que los une, de modo que
\begin{center}
\begin{figure}[H]
\centerline{\includegraphics[height=4cm]{fig/fig-Coulomb.pdf}}
\caption{Fuerza electrostática entre dos cargas puntuales.}
\label{fig:Coulomb}
\end{figure}
\end{center}
\begin{equation}
F_i\propto \underbrace{\frac{qq'}{\left\vert \vec x-\vec
x'\right\vert^2}}_\text{magnitud}\cdot
\underbrace{\frac{x_i-x_i'}{\left\vert \vec x-\vec x'\right\vert }}_\text{vector unitario}.
\end{equation}
Podemos por tanto escribir
\begin{equation}
F_i=k\frac{qq'}{\left\vert \vec x-\vec x'\right\vert^2}
\cdot\frac{x_i-x_i'}{\left\vert \vec x-\vec x'\right\vert }.
\end{equation}
El valor de la constante $k$ depende del sistema de unidades usado para medir la magnitud de las cargas eléctricas. Aquí utilizaremos el sistema internacional SI (MKSA) donde la constante $k$ es \textit{denotada} como\footnote{En el \textbf{sistema gaussiano de unidades} (cgs) se define $k:=1$ de modo que la unidad de carga no es independiente: $[q]\stackrel{\text{cgs}}{=}cm^{3/2}g^{1/2}s^{-1}$. Esta unidad es llamada una \textit{unidad electrostática} (esu) o un \textit{statCoulomb}.}%
\begin{equation}
k:=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},
\end{equation}
y donde $\varepsilon_0$ se conoce como la \textit{permitividad del vac\'{\i}o}, y entonces
\begin{equation}\marginnote{Ley de Coulomb}
\boxed{F_i=\frac{qq'}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\left(  x_i-x_i^{\prime
}\right)  }{\left\vert \vec x-\vec x'\right\vert ^3}.}\label{leycoulomb}%
\end{equation}
En el sistema SI, la constante
$k$ tiene el valor
\begin{equation}
k=c^2\times 10^{-7}\ Nm^2C^{-2},
\end{equation}
en que $c$ es la \textit{velocidad de la luz en el vac\'{\i}o}. Su valor es $c=2.99792458\times 10^{8}\,ms^{-1}$. Con esto $k\approx 9.0\times
10^{9}\,Nm^2C^{-2}$, $\varepsilon _0\approx 8.854\times 10^{-12}
\,C^2N^{-1}m^{-2}$. Para una discusión de los distintos sistemas de unidades usados en la teoría elecromagnética, ver el apéndice \ref{appuni}.

La expresión \eqref{leycoulomb} es conocida como \textbf{ley de Coulomb}. Adicionalmente, se \textit{asume} que la fuerza que ejerce un conjunto de $N$ cargas puntuales $q^{(\alpha)}$, $\alpha=1,\cdots N$, en posiciones $x^{(\alpha)}_i$ sobre una carga $q$ con posición $x_i$ es
\begin{equation}
F_i   =\sum_{\alpha=1}^{N}\frac{qq^{(\alpha)}}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\left(
x_i-x^{(\alpha)}_i\right)  }{\left\vert  \vec x-\vec x^{(\alpha)}\right\vert^3}
=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{\alpha=1}^{N}q^{(\alpha)}\frac{\left(
x_i-x^{(\alpha)}_i\right) }{\left\vert  \vec x-\vec
x^{(\alpha)}\right\vert^3}.\label{leycoulomb-discre}
\end{equation}

El suponer que esta fuerza sea la suma (vectorial) de las fuerzas individuales que actuaría sobre la carga $q$ debido a cada una de las cargas $q^{(\alpha)}$ es llamado \textbf{principio de superposición}. Note que, como su nombre lo indica, este es un \textit{principio} en el que se basa la teoría electromagnética, ya que no es \textit{necesario a priori} que la interacción electrostática respete esta propiedad. En otras palabras, podría ocurrir (o haber ocurrido) que la fuerza que dos cargas ejercen sobre una tercera no fuese \textit{exactamente} la suma vectorial de las fuerzas que cada una de ellas ejerce individualmente. Por ejemplo, hoy sabemos que esto último es lo que efectivamente ocurre con la interacción gravitacional (!`\textit{no} satisface el principio de superposición!). En la teoría electromagnética se asume que la superposición es satisfecha en forma exacta. Como veremos, una consecuencia de este principio es que las ecuaciones que relacionan los campos eléctricos (y sus respectivas fuerzas) con las distribuciones de carga que las producen están descritas por \textit{ecuaciones} (diferenciales y/o integrales) \textit{lineales}.


Para una \textit{distribución continua de cargas} podemos considerar un elemento de
volumen $dV'$ conteniendo una carga $dq'=\rho(x')dV'$, donde $\rho(x')$ es
la densidad (volumétrica) de carga (carga por unidad de volumen). Usando el
principio de superposición podemos escribir la fuerza total que esta
distribución ejerce sobre una carga (puntual) de prueba $q$ como
\begin{align}
F_i  &= \int_V dF_i \\
& =\int_V\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\left(  x_i-x_i^{\prime
}\right)  }{\left\vert \vec x-\vec x'\right\vert ^3}dq^{\prime},
\end{align}
es decir,
\begin{equation}\marginnote{Fza. sobre carga puntual}
F_i  =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\rho(x')\frac{\left(x_i-x_i'\right)
}{\left\vert \vec x-\vec x'\right\vert
^3}dV' .\label{leycoulomb-conti}
\end{equation}
Análogamente, podemos describir cargas distribuidas en (regiones que puedan
aproximarse por) una superficie y/o curva usando la \textit{densidad superficial de
carga} $\sigma(x')$ (carga por unidad de área) y/o la \textit{densidad lineal de carga} $\lambda(x')$ (carga por unidad de longitud), de modo que $dq'=\sigma(x')dS$
y $dq'=\lambda(x')d\ell$, respectivamente.

\subsection{Campo eléctrico}
El campo eléctrico $E_i(\vec{x})$ en un punto $x_i$ es definido operacionalmente como la fuerza por unidad de carga \textit{sobre una carga muy peque\~na en tama\~no y magnitud} (``carga de prueba puntual'') $q$ situada en la posición $x_i$, es decir,
\begin{equation}
E_i(\vec x):=\lim_{q\rightarrow0}\frac{F_i}{q}.
\end{equation}

Note que el proceso límite ${q\rightarrow0}$ es necesario puesto que el uso de una carga $q$ de forma y magnitud arbitraria en general (mediante la interacción coulombiana) \textit{modificará la distribución de cargas original}. Si la carga $q$ es cada vez más peque\~na en extensión y magnitud, entonces ésta modificará cada vez menos la distribución de carga original. En el límite ${q\rightarrow0}$, que ciertamente es una abstracción ya que en la práctica no existen cargas puntuales, ni tampoco cargas de magnitud arbitrariamente peque\~na, el cuociente $F_i/q$ será independiente de la carga de prueba usada, y describirá por lo tanto una cantidad dependiente sólo de la distribución de cargas considerada como ``fuente". Esto permite entonces considerar al campo eléctrico como el campo \textit{generado por la distribución de cargas}.

Con estas consideraciones, tenemos entonces que el campo eléctrico generado por un una distribución volumétrica de cargas:
\begin{equation}\marginnote{C. eléctrico, distribución}
\boxed{E_i(\vec x)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\rho(x')\frac{\left(
x_i-x_i'\right)  }{\left\vert \vec x-\vec x'\right\vert
^3}dV'.} \label{cerho}
\end{equation}

En el caso idealizado de un conjunto de cargas puntuales $q^{(\alpha)}$, tendremos
\begin{equation}\marginnote{C. eléctrico, cargas puntuales}
E_i(\vec x)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{\alpha=1
}^{N}q^{(\alpha)}\frac{\left(  x_i-x^{(\alpha)}_i\right)  }{\left\vert
\vec x-\vec x^{(\alpha)}\right\vert ^3}.\label{campelectr}
\end{equation}

En general, preferiremos la descripción de la distribución de cargas en términos de la densidad volumétrica $\rho(\vec{x})$, ya que a partir de ella podemos recobrar rápidamente los otros casos de interés. Por ejemplo, podemos recobrar el resultado para el conjunto de cargas puntuales \eqref{campelectr} a partir de 
\eqref{cerho} si consideramos
\begin{equation}
\rho(\vec x)=\sum_{\alpha=1}^{N}q^{(\alpha)}\delta^{(3)}\left(\vec x-\vec
x^{(\alpha)}\right).
\label{conti-discre}
\end{equation}

\subsection{Líneas de campo eléctrico}
En electrodinámica es útil introducir el concepto de \textit{líneas de campo}. En el caso electrostático, asociado a cada configuración de campo eléctrico, descrito por el campo $E_i(\vec{x})$, es posible definir \textbf{líneas de campo eléctrico}. Cada una de estas curvas, puede modelarse usando una parametrización de la forma $x_i=x_i(\lambda)$, donde $\lambda$ es un parámetro real. Las líneas de campo son definidas como aquellas tales que sus vectores tangentes en cada punto son paralelos al vector campo eléctrico. Esto es equivalente a la condición,
\begin{equation}\marginnote{Líneas de campo}
\frac{dx_i}{d\lambda}(\lambda)=E_i(\vec{x}(\lambda)). \label{dlc}
\end{equation}

Note que, en general, es posible considerar un factor adicional al lado derecho de esta expresión (por ejemplo, $\alpha(\lambda)E_i(\vec{x}(\lambda))$ en lugar de $E_i(\vec{x}(\lambda))$), sin embargo la función $\alpha(\lambda)$ puede siempre ser ``normalizada'' al valor $1$ redefiniendo convenientemente el parámetro para describir la curva.

Más explícitamente, la condición (\ref{dlc}) adopta, en coordenadas cartesianas y en tres dimensiones, la forma 
\begin{align}
\frac{dx}{d\lambda}(\lambda) &= {E_x}(x(\lambda),y(\lambda),z(\lambda)), \\
\frac{dy}{d\lambda}(\lambda) &= {E_y}(x(\lambda),y(\lambda),z(\lambda)),\\
\frac{dz}{d\lambda}(\lambda) &= \vec{E_z}(x(\lambda),y(\lambda),z(\lambda)),
\end{align}
de modo que define, dadas las componentes del campo $E_x(x,y,z)$, $E_y(x,y,z)$ y $E_y(x,y,z)$, un sistema de 3 ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas, de primer orden, y en genreal no-lineal, para las incógnitas $x(\lambda),y(\lambda)$ y $z(\lambda)$.

Una línea de campo particular queda determinada por la solución del sistema de ecuaciones que satisface una determinada condición inicial, por ejemplo $\vec{x}(0)=\vec{x}_0$, donde $\vec{x}_0$ es un punto dado del espacio. La correspondiente solución $\vec{x}(\lambda;\vec{x}_0)$ describirá la línea de campo que pasa por el punto $\vec{x}_0$. Para algunos ejemplos, ver la figura\footnote{Figuras generadas usando VectorFieldPlot \cite{VFP}.} \ref{fig-E}.

\begin{center}
\begin{figure}[H]
\centerline{\includegraphics[height=4cm]{fig/fig-E-01.pdf}\hfill 
\includegraphics[height=4cm]{fig/fig-E-02.pdf}\hfill
\includegraphics[height=4cm]{fig/fig-E-03.pdf}}
\caption{Ejemplos simples de líneas de campo eléctrico.}
\label{fig-E}
\end{figure}
\end{center}
\subsection{Potencial eléctrico}
Usando la identidad 
\begin{equation}
\frac{x_i-x_i'}{\left\vert \vec x-\vec x'\right\vert ^3}\equiv
-\partial_i\left( \frac{1}{\left\vert \vec x-\vec x'\right\vert
}\right), \label{id01}
\end{equation}
podemos escribir (\ref{cerho}) como
\begin{align}
E_i  & =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\rho(x')\frac{\left(x_i-x_i'\right)
}{\left\vert \vec x-\vec x'\right\vert^3} dV' \\
&
=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\rho(x')\partial_i\left(\frac{1}{\left\vert
\vec x-\vec x'\right\vert }\right)  dV' \label{ein}\\
& =-\partial_i\left[\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\frac{\rho
(x')}{\left\vert \vec x-\vec x'\right\vert }dV'\right] \\
& =-\partial_i\phi ,
\end{align}
es decir,
\begin{equation}\marginnote{Campo a partir de potencial}
\boxed{\vec{E}(x)=-\vec\nabla\phi (x),} \label{E=nablaphi}
\end{equation}
donde hemos definido el \textbf{potencial eléctrico} $\phi(\vec x)$ por
\begin{equation}\marginnote{Potencial electrostático}
\boxed{\phi(\vec x):=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\frac{\rho(\vec x')}{
\left\vert \vec x-\vec x'\right\vert }dV' +\text{constante}.}\label{perho}
\end{equation}

Note que es posible agregar una constante arbitraria a la definición del potencial. Por otro lado, es directo verificar que, como consecuencia directa de (\ref{E=nablaphi}), todo campo eléctrostático es irrotacional, es decir, su rotor es nulo:
\begin{equation}\marginnote{C. eléctrico irrotacional}
\boxed{\vec\nabla\times\vec{E}=\vec{0}.} \label{rotE0}
\end{equation}

Usando (\ref{E=nablaphi}), podemos expresar el potencial electrostático como una integral de línea del campo eléctrico:
\begin{equation}\marginnote{Potencial a partir de campo}
 \boxed{\phi(\vec{x})=\phi(\vec{x}_0)-\int_{\vec{x}_0}^{\vec{x}} \vec{E}\cdot
d\vec{x}.} \label{phiintE}
\end{equation}

Debido a (\ref{rotE0}) la integral (\ref{phiintE}) es independiente de la trayectoria que une los puntos $\vec{x}_0$ y $\vec{x}$, o equivalentemente,
\begin{equation}\marginnote{C. eléctrico sin circulación}
 \boxed{\oint_{\cal C}\vec{E}\cdot d\vec{x}=0,} \label{ointE0}
\end{equation}
para toda curva cerrada $\cal C$. Note además que de esta propiedad se desprende que las líneas de campo electrostático no pueden ser cerradas. En efecto, si existiese una línea de campo eléctrico cerrada ${\cal C}$, entonces podemos evaluar $\oint_{\cal C}\vec{E}\cdot d\vec{x}$ (la ``circulación del campo $\vec{E}$") sobre esta curva. Pero sobre una línea de campo se satisface (\ref{dlc}), de modo que
\begin{align}
\oint_{\cal C}\vec{E}\cdot d\vec{x} &= \oint_{\cal C}\frac{d\vec{x}}{d\lambda}\cdot d\vec{x} \\
&= \oint_{\cal C}\frac{d\vec{x}}{d\lambda}\cdot \frac{d\vec{x}}{d\lambda}\,d\lambda \\
&= \oint_{\cal C}\left|\frac{d\vec{x}}{d\lambda}\right|^2 d\lambda \\
&>0 ,
\end{align}
en contradicción con (\ref{ointE0}).

Note que como consecuencia de (\ref{E=nablaphi}) o, equivalentemente, de (\ref{phiintE}) el vector campo eléctrico es siempre \textit{normal a las superficies equipotenciales} (definidas como aquellos puntos que satisfacen $\phi(\vec{x})=\text{cte.}$) y su \textit{sentido es siempre hacia regiones de menor potencial}.

\section{Ley de Gauss}
Usando (\ref{ein}) podemos calcular la divergencia del campo eléctrico:
\begin{eqnarray}
\partial_iE_i &=&-\partial_i\left[
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\rho(x')\partial_i\left(\frac{1}{\left\vert
\vec x-\vec x'\right\vert }\right)  dV'\right] \\
&=&-
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\rho(x')\partial_i\partial_i\left(\frac{1}{
\left\vert \vec x-\vec x'\right\vert }\right)  dV' \\
&=&-
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\rho(x')\nabla^2\left(\frac{1}{\left\vert
\vec x-\vec x'\right\vert }\right)  dV' \\
&=&-
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\rho(x')\left[-4\pi\delta^{(3)}(x_i-x_i')\right]
dV' \\
&=& \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho(x')\delta^{(3)}(x_i-x_i')\, dV' \\
&=& \frac{1}{\varepsilon_0}\rho(x).
\end{eqnarray}
Obtenemos así la \textbf{forma diferencial de la ley de Gauss}\footnote{Carl Friedrich Gauss, (1777-1855): matemático, astrónomo y físico alemán, ver \url{http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss}.}:
\begin{equation}\marginnote{Ley de Gauss diferencial}
\boxed{\partial_iE_i =\frac{1}{\varepsilon_0}\rho(x).} \label{leygauss-dif}
\end{equation}
Usando el teorema de la divergencia (de Gauss!) para un volumen $V$ arbitrario
con borde $S=\partial V$, obtenemos
\begin{eqnarray}
\int_V\partial_iE_i\,dV  &=&\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho(x)dV ,\\
\oint_S E_idS_i &=&\frac{1}{\varepsilon_0}q_V,
\end{eqnarray}
donde $q_V$ es la carga neta en el volumen $V$. En notación vectorial:
\begin{equation}\marginnote{Ley de Gauss integral}
\boxed{\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} =\frac{1}{\varepsilon_0}q_V .}
\end{equation}

Esta es la \textbf{forma integral de la ley de Gauss}. Es importante recordar que la ley de Gauss en su forma integral es válida \textit{para todo volumen} $V$ y su correspondiente superficie ``gaussiana"\, $\partial V$. Debido a esta propiedad, la forma integral de la ley de Gauss resulta particularmente eficiente para determinar campos eléctricos en situaciones altamente simétricas, donde es posible elegir el volumen de modo que $\vec{E}$ sea \textit{constante} sobre $\partial V$ (o al menos, sobre partes de $\partial V$).

\subsection{Ejemplo: Plano infinito de densidad de carga constante}
\begin{equation}
\vec{E}(x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\hat{x},& x>0 \\
-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\hat{x},& x<0 \end{array}\right. .
\end{equation}

\subsection{Ejemplo: Cascarón esférico}
Consideremos primero el caso en el que una carga total $Q$ está distribuida uniformemente ($\rho=\rho_{\rm i}=\text{ cte.}$) en el interior de un cascarón esférico, de radios interior $a$ y exterior $b$.
La densidad interior $\rho_{\rm i}$ es dada por
\begin{equation}
\rho_{\rm i} = \frac{3Q}{4\pi(b^3-a^3)},
\end{equation}
por lo que la densidad, como función dependiente de la posición (o, en este caso el radio), es de la forma
\begin{equation}
\rho(r)=\left\{\begin{array}{cl}
0, & r<a\\
\rho_{\rm i}, & a\le r\le b,\\
0, & r>b
\end{array}\right.
\end{equation}
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=6cm]{fig/fig-esfera-hueca-densidad.pdf}}
\caption{Densidad volumétrica como función del radio.}
\label{fig_ehd}
\end{figure}
El campo eléctrico puede calcularse fácilmente usando la ley de Gauss, obteniendo
\begin{equation}
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\times\left\{\begin{array}{cl}
0, & r<a\\
\frac{(r^3-a^3)}{r^2(b^3-a^3)}, & a\le r\le b,\\
\frac{1}{r^2}, & r>b
\end{array}\right.
\end{equation}
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=6cm]{fig/fig-esfera-hueca-campo.pdf}}
\caption{Magnitud del campo eléctrico como función del radio.}
\label{fig_ehc}
\end{figure}

El potencial, luego de imponer las condiciones de continuidad en $r=a$ y $r=b$ y elegir $\phi(r\to\infty)=0$ es dado por
\begin{equation}
\phi(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\times\left\{\begin{array}{cl}
\frac{3(b^2-a^2)}{2(b^3-a^3)}, & r<a\\
-\frac{(2a^3+r^3)}{2r(b^3-a^3)}+\frac{3b^2}{2(b^3-a^3)}, & a\le r\le b,\\
\frac{1}{r}, & r>b
\end{array}\right.
\end{equation}
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=6cm]{fig/fig-esfera-hueca-potencial.pdf}}
\caption{Potencial eléctrico como función del radio.}
\label{fig_ehp}
\end{figure}

Estos gráficos fueron creados con el código contenido en \href{https://github.com/gfrubi/electrodinamica/blob/master/notebooks/esfera-cargada.ipynb}{este notebook}, en el que además puede variar los valores de $a$ y $b$.

\subsection{Ecuación de Poisson y Laplace}
Usando (\ref{E=nablaphi}) y (\ref{leygauss-dif}) obtenemos
\begin{equation}
\partial_iE_i  =-\partial_i\partial_i\phi=\frac{\rho}{\varepsilon_0},
\end{equation}
es decir, el potencial eléctrico satisface la \textbf{ecuación de
Poisson}\footnote{Siméon Denis Poisson (1781-1840): matemático francés, ver \url{http://es.wikipedia.org/wiki/Sim\%C3\%A9on_Denis_Poisson}.}:
\begin{equation}\marginnote{Ec. de Poisson}
\boxed{\nabla^2\phi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}.}\label{poisson}
\end{equation}

Como consecuencia, el potencial electrostático en una región libre de cargas
satisface la \textbf{ecuación de Laplace}\footnote{Pierre Simon Laplace (1749-1827): matemático, físico y astrónomo francés, \url{http://es.wikipedia.org/wiki/Laplace} .}:
\begin{equation}\marginnote{Ec. de Laplace}
\boxed{\nabla^2\phi=0.}\label{ecLap}
\end{equation}



\section{Condiciones de frontera para el campo eléctrico en una
interfase}\label{secCBE}

La figura \ref{DSCE1} muestra la interfase entre dos regiones separadas por una
superficie $S$ que posee una densidad superficial de carga $\sigma(x)$.
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=6cm]{fig/fig-superficie-frontera.pdf}}
\caption{Condiciones de frontera para el campo eléctrico.}
\label{DSCE1}
\end{figure}
Para estudiar las condiciones que el campo eléctrico satisface en esta
interfase, aplicamos primero la ley de Gauss, a la superficie gaussiana de la
figura \ref{DSCE2}:
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=5cm]{fig/fig-condicion-borde-electrico-01.pdf}}
\caption{Condición de frontera para la componente normal del campo eléctrico.}
\label{DSCE2}
\end{figure}
\begin{eqnarray}
\oint_{S} \vec{E}\cdot d\vec{S}&=&\int_{S_1}
\vec{E}_1\cdot d\vec{S}+\int_{S_2} \vec{E}_2 \cdot d\vec{S}+\int_{S_3}
\vec{E}\cdot d\vec{S}\\
&=& -(\vec{E}_1\cdot\hat{n})\Delta S+(\vec{E}_2\cdot\hat{n})\Delta S+0\\
&=& \frac{\sigma S}{\varepsilon_0},
\end{eqnarray}
donde $\Delta S$ es una superficie, cuyo \textit{vector unitario $\hat{n}$ está dirigido
desde la cara $1$ hacia la cara $2$}, que contiene una densidad de carga
$\sigma(\vec{x})$ $\left[ C/m^2\right]  $, y los campos eléctricos a
cada lado de la superficie son como se indica en la figura.

Por tanto, obtenemos
\begin{equation}\marginnote{Discontinuidad comp. normal}
\boxed{\vec{E}_2\cdot\hat{n}-\vec{E}_1\cdot\hat{n}=\frac{\sigma}
{\varepsilon_0}.}\label{saltoEn}
\end{equation}

Por otro lado, aplicando (\ref{ointE0}) a la curva de la figura \ref{DSCE3} obtenemos:
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=5cm]{fig/fig-condicion-borde-electrico-02.pdf}}
\caption{Condición de frontera para la componente tangencial del campo eléctrico.}
\label{DSCE3}
\end{figure}
\begin{eqnarray}
 \oint_{\cal C} \vec{E}\cdot d\vec{x}&=&\int_{{\cal C}_1} \vec{E}\cdot
d\vec{x}+\int_{{\cal C}_2} \vec{E}\cdot d\vec{x}+\int_{{\cal C}_3}
\vec{E}\cdot d\vec{x}+\int_{{\cal C}_4} \vec{E}\cdot d\vec{x} \\
&=& -(\vec{E}_1\cdot\hat{t})\ell +(\vec{E}_2\cdot\hat{t})\ell +0+0 \\
&=& 0.
\end{eqnarray}
De aquí encontramos que
\begin{equation}\marginnote{Continuidad comp. tangencial}
 \boxed{\vec{E}_2\cdot\hat{t}=\vec{E}_1\cdot\hat{t}.} \label{Etconst}
\end{equation}
Ya que la dirección del vector $\hat{t}$ es arbitraria (pero siempre
tangencial a la superficie $S$), la condición (\ref{Etconst}) implica que
 \textit{las componentes tangenciales (2 componentes linealmente idependientes) del campo eléctrico permanecen inalteradas
al cruzar la superficie} $S$.

\subsection{Conductores}

Los \textbf{conductores} son materiales que, aunque estén
eléctricamente neutros a nivel macros\-có\-pi\-co, poseen
una enorme cantidad de electrones ``libres'' (es decir,  no ligados a
los átomos, y que pueden moverse a través del conductor tan pronto como
exista un campo eléctrico que induzca su movimiento)
aptos para conducir la electricidad. La carga de estos electrones es
neutralizada (a escala macroscópica) por la de los protones que están en los n\'{u}cleos, que pueden considerarse fijos. Como ejemplo de conductores podemos mencionar a los metales y a los electrolitos (cambién conocidos como \textbf{soluciones iónicas}).

Si un conductor es cargado, o está en presencia de cargas externas, los electrones rápidamente\footnote{Como veremos más adelante el \textit{tiempo de relajación} es del orden de $\tau=\varepsilon/\sigma$ donde $\varepsilon$ es la \textit{constante dieléctrica} del material y $\sigma$ su \textit{conductividad}. Por ejemplo, para el cobre $\tau\approx 10^{-19}$s.} se desplazan hasta una situación de \textit{equilibrio}, es decir, un \textit{estado estacionario}. En este
estado el campo eléctrico (macroscópico) en el interior del conductor debe anularse ya que de otro modo la fuerza sobre ellos sería no nula, induciendo
movimiento. Por tanto, en situación estacionaria $\vec{E}=\vec{0}$ en el
\textit{interior} de los conductores. Como consecuencia de la ley de Gauss, la
densidad de carga en el interior del conductor se anula cuando éste
alcanza su estado estacionario. En otras palabras, \textit{un conductor en estado estacionario distribuye su carga neta sobre su superficie}.

Aplicando las condiciones de borde (\ref{saltoEn}) y (\ref{Etconst}) a la
interfase del conductor, y tomando en cuenta que en este caso
$\vec{E}_1=\vec{0}$, encontramos que \textit{en cada punto de la superficie (exterior) del conductor}
\begin{equation}\marginnote{Campo fuera de conductor}
 \vec{E}_2(x)=\frac{\sigma(x)}{\varepsilon_0}\hat{n}(x), \label{Econd}
\end{equation}
es decir, que el campo eléctrico es normal a la superficie, y proporcional a la densidad de carga en cada punto de ésta. El potencial eléctrico, por otro lado, es necesariamente constante tanto dentro del conductor como sobre su superficie.

\subsection{Sobre (dis)continuidad de los campos}
 Idealmente, al menos clásica y macroscópicamente, la distribución de carga descrita por la densidad volumétrica $\rho(\vec{x})$ debiese ser una función \textit{finita y continua} en todo punto. Como consecuencia, el campo eléctrico y el potencial serían, de acuerdo a (\ref{cerho}) y (\ref{perho}), también funciones finitas y contínuas. Sin embargo, comúnmente es \textit{conveniente} idealizar la distribución de cargas, considerando que ésta está limitada a una superficie bidimensional (es decir, de sección transversal despreciable). Este caso corresponde a considerar una densidad volumétrica $\rho$ singular (discontinua y divergente)\footnote{Por ejemplo, la densidad volumétrica correspondiente a una carga distribuida en todo el plano $xy$, con densidad superficial de carga $\sigma(x,y)$ puede escribirse como $\rho(x,y,z)=\sigma(x,y)\delta(z)$.}. En este caso, el campo eléctrico poseerá, en general, \textit{discontinuidades} en la superficie donde $\rho$ es singular, tal como analizamos en la sección \ref{secCBE}, pero será \textit{finito en todo punto}. El potencial, por otro lado, será una \textit{función continua y diferenciable por tramos}. En resumen, para distribuciones de carga singulares que incluyan distribuciones superficiales de carga, el potencial puede siempre considerarse como una función continua, el campo eléctrico (proporcional a las derivadas del potencial) puede tener discontinuidades, mientras que las segundas derivadas del potencial (proporcionales a las primeras derivadas del campo eléctrico y, a través de la ecuación de Poisson (\ref{poisson}), ligadas a la densidad volumétrica de carga) pueden poseer regiones (superficies) singulares. En el caso de que la distribución de carga se modele incluyendo cargas puntuales o líneas de carga, el potencial ya no será finito en todo punto.


\section{Solución de la ecuación de Laplace}
\subsection{Coordenadas Esféricas}
Una solución general (finita sobre el eje $z$) de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas puede escribirse como:
\begin{equation}
  \boxed{\phi(r,\theta,\varphi) = \sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l\left[
  A_{lm}  r^l + B_{lm}  r^{-(l+1)}\right]  Y_{lm}(\theta,\varphi),}
  \label{est31b}
\end{equation}
donde $A_{lm}$ y $B_{lm}$ son coeficientes constantes. Note que estos
coeficientes son en general complejos.

Si, como caso particular, el potencial tiene simetría axial, es decir no
depende de la coordenada $\varphi$, entonces la expansión se reduce a
\begin{eqnarray}
  \phi(r,\theta) &=& \sum_{l=0}^\infty\left[
  A_{l0}  r^l + B_{l0}  r^{-(l+1)}\right]  Y_{l0}(\theta,\varphi) \\
&=&\sum_{l=0}^\infty\left[  A_{l0}  r^l + B_{l0}
r^{-(l+1)}\right]\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}\,P_l(\cos\theta) ,
\end{eqnarray}
o, equivalentemente,
\begin{equation}\label{phiaxial}
\boxed{\phi(r,\theta)=\sum_{l=0}^\infty\left[  a_l\,  r^l +
\frac{b_l}{r^{l+1}}\right]\,P_l(\cos\theta),}
\end{equation}
donde $a_l$ y $b_l$ son nuevos coeficientes reales constantes.

\subsubsection{Ejemplo: Esfera conductora en un campo eléctrico externo homogéneo}\label{sec:esfcond}

Consideramos una esfera conductora de radio $R$ ubicada en un campo externo inicial homogéneo $\vec{E}_0$. Elegimos los ejes coordenados de modo que el origen coincida con el centro de la esfera y el eje $z$ con la dirección del campo externo, es decir, $\vec{E}_0=E_0\hat{z}$.

Luego de ubicar la esfera en el campo externo, las cargas libres en ella se reacomodan rápidamente. En la situación estacionaria final el campo eléctrico en el interior de la esfera es nulo, es decir, $\vec{E}=0$ para $r<R$. Como consecuencia directa $\phi=\text{cte.}$ para $r<R$. Podemos elegir esta constante igual a cero, de modo que
\begin{equation}
\phi(r,\theta)\stackrel{!}{=}0, \qquad r<R.
\end{equation}

Por otro lado, de acuerdo a (\ref{Econd}) el campo eléctrico en la superficie externa del conductor es radial, y proporcional a la densidad de carga $\sigma$. Debido que el sistema es simétrico bajo rotaciones en torno a la dirección de $\vec{E}$, tendremos que $\phi=\phi(r,\theta)$ y $\sigma=\sigma(\theta)$. Finalmente, fuera de la esfera el potencial satisface la ec. de Laplace, por lo que éste debe tener la forma general (\ref{phiaxial}). Por lo tanto, para determinar el potencial en todo punto basta determinar los coeficientes (constantes) $a_l$ y $b_l$.

Una condición necesaria es que asimptóticamente, es decir, para $r\to\infty$, el campo debe tender al campo externo inicial ya que los efectos de las cargas inducidas en la esfera serán cada vez menores en puntos cada vez más alejados, es decir, $\vec{E}\to\vec{E}_0 $. Esta condición es equivalente a 
\begin{equation}
\phi\to -E_0z+\alpha=-E_0r\cos\theta+\alpha,
\end{equation}
donde $\alpha$ es una constante a determinar. Aplicando esta condición a la expansión (\ref{phiaxial}) encontramos que necesariamente
\begin{equation}
a_0=\alpha, \qquad a_1=-E_0, \qquad a_2=a_3=\cdots =0,
\end{equation}
por lo que el potencial en todo punto  fuera de la esfera se reduce a 
\begin{equation}
\phi(r,\theta)=\alpha -E_0 r\cos\theta +
\sum_{l=0}^\infty\frac{b_l}{r^{l+1}}P_l(\cos\theta), \qquad r\ge R.
\end{equation}

Como el potencial es una función contínua, debemos tener que
\begin{equation}
\phi(R,\theta)=\alpha -E_0 R\cos\theta +
\sum_{l=0}^\infty\frac{b_l}{R^{l+1}}P_l(\cos\theta)=0, \qquad \forall \theta.
\end{equation}

De aquí, y ya que los polinomios de Legendre son funciones linealmente independientes, encontramos que necesariamente
\begin{equation}
\alpha+\frac{b_0}{R}=0, \qquad -E_0R+\frac{b_1}{R^2}=0, \qquad b_2=b_3=\cdots =0.
\end{equation}

Con esto, el potencial se reduce a
\begin{equation}\label{phialpha}
\phi(r,\theta)=\alpha -E_0 r\cos\theta -\alpha\frac{R}{r}+E_0 \frac{R^3}{r^2}\cos\theta. 
\end{equation}

Finalmente, debemos determinar la constante $\alpha$, que es proporcional a la carga neta de la esfera. En efecto, usando (\ref{Econd}) podemos calcular la densidad superficial de carga en la esfera:
\begin{align}
\sigma(\theta) &= \varepsilon_0\, \vec{E}(R,\theta)\cdot\hat{r} \\
&= -\varepsilon_0 \frac{\partial\phi}{\partial r}(R,\theta) \\
&= -\varepsilon_0\left[-E_0\cos\theta+\frac{\alpha}{R}-2E_0\cos\theta\right]\\
&= \varepsilon_0\left[3E_0\cos\theta-\frac{\alpha}{R}\right].
\end{align}

La carga neta de la esfera es entonces
\begin{align}
Q &= \oint_S\sigma(\theta)\,dS \\
&= 2\pi R^2 \int_0^\pi \sigma(\theta)\sin\theta\,d\theta \\
&= 2\pi \varepsilon_0R^2 \int_0^\pi \left[3E_0\cos\theta-\frac{\alpha}{R}\right] \sin\theta\,d\theta \\
&= 2\pi \varepsilon_0R^2 \left[ 0-\frac{2\alpha}{R}\right] \\
&= -4\pi \varepsilon_0R \alpha .
\end{align}

En otras palabras, 
\begin{equation}
\alpha=-\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0}\frac{1}{R}.
\end{equation}
Con este resultado, el potencial (\ref{phialpha}) puede escribirse como 
\begin{equation}
\phi(r,\theta)=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}+\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r} -E_0 \left(1-\frac{R^3}{r^3}\right)r\cos\theta.
\end{equation}

Como vemos, los primeros dos términos son independientes del campo externo y representan el potencial de la carga neta de la esfera (que hemos supuesto aislada). El tercer término es el campo externo inicial y por lo tanto el último término describe el campo eléctrico inducido producto de la polarización de la esfera conductora.
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=5.5cm]{fig/fig-esfera-conductora-campo-externo.pdf}
\hspace{1cm}
\includegraphics[height=5.5cm]{fig/fig-esfera-conductora-campo-externo-2.pdf}}
\caption{Campo eléctrico de una esfera conductora neutra en un campo eléctrico externo. El gráfico de la izquierda (normalizado) fue creado usando \href{https://github.com/gfrubi/electrodinamica/blob/master/figuras-editables/fig-esfera-conductora-campo-externo-raw.py}{este script} Python. La figura de la derecha fue generada usando \href{http://commons.wikimedia.org/wiki/User:Geek3/VectorFieldPlot}{VectorFieldPlot}, a partir de \href{http://commons.wikimedia.org/wiki/File:VFPt_superconductor_ball_E-field.svg}{este} archivo original.}
\label{fig:ecce}
\end{figure}

El campo eléctrico es entonces dado por
\begin{equation}
\vec{E}(r,\theta) = E_r\hat{r}+E_\theta\hat{\theta},
\end{equation}
con 
\begin{equation}
E_r = -\frac{\partial\phi}{\partial r} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^2}+E_0 \left(1+2\frac{R^3}{r^3}\right)\cos\theta, \quad E_\theta = -\frac{1}{r}\frac{\partial\phi}{\partial\theta} =-E_0 \left(1-\frac{R^3}{r^3}\right)\sin\theta .
\end{equation}
En la figura \ref{fig:ecce} se muestra la forma de este campo, en el caso en que $Q=0$.


%\subsection{Coordenadas Cilíndricas}

%\subsection{Coordenadas Cartesianas}

 \section{Solución de la ecuación de Poisson} 
 \subsection{Solución en términos de Funciones de Green*}\label{Green}
 La ecuación de Poisson \eqref{poisson} para el potencial es una \textit{EDP lineal elíptica inhomogénea}. Una forma de encontrar soluciones de este tipo de ecuaciones es usando el método de las \textbf{funciones de Green}. En nuestro caso, se dice que $G(\vec{x},\vec{x}')$ es una función de Green del operador Laplaciano si satisface
\begin{equation}\label{EDPG}
\nabla^2G(\vec{x}',\vec{x})=\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}').
\end{equation} 

Si se conoce una función de Green entonces la solución de la ecuación de Poisson para el potencial en una región $V$ puede expresarse de la forma siguiente:
\begin{align}
\phi(\vec{x}) &= -\frac{1}{\varepsilon_0}\int_VG(\vec{x},\vec{x}')\rho(\vec{x}')dV'+\oint_{\partial V}\left[\phi(\vec{x}')\vec\nabla' G(\vec{x},\vec{x}')-G(\vec{x},\vec{x}')\vec\nabla'\phi(\vec{x}')\right]\cdot d\vec{S}' \\
&=  -\frac{1}{\varepsilon_0}\int_VG(\vec{x},\vec{x}') \rho(\vec{x}')dV'+\oint_{\partial V}\left[\phi(\vec{x}')\frac{\partial G}{\partial n'}(\vec{x},\vec{x}')-G(\vec{x},\vec{x}')\frac{\partial\phi}{\partial n'}(\vec{x}')\right]dS'
\end{align}

Introduciendo el campo eléctrico en el segundo término del lado derecho podemos escribir
\begin{equation}\label{solPoisson}
\phi(\vec{x})= -\frac{1}{\varepsilon_0}\int_VG(\vec{x},\vec{x}') \rho(\vec{x}')dV'+\oint_{\partial V}\left[\phi(\vec{x}')\frac{\partial G}{\partial n'}(\vec{x},\vec{x}')+G(\vec{x},\vec{x}')E_n(\vec{x}')\right]dS',
\end{equation}
donde $E_n:=\vec{E}\cdot\hat{n}$ es la componente del campo eléctrico normal a la superficie $\partial V$ (con $\hat{n}$ orientado hacia el exterior del volumen $V$).

Por otro lado, la función de Green no es única. Si $G_1(\vec{x},\vec{x}')$ es una función de Green entonces $G_2(\vec{x},\vec{x}')=G_1(\vec{x},\vec{x}')+H(\vec{x},\vec{x}')$ también lo será si $H$ es una solución del problema homogéneo: en nuestro caso de la ecuación de Laplace, $\nabla^2H(\vec{x},\vec{x}')=0$. Esta arbitrariedad en la definición de la función de Green es de hecho una ventaja, puesto que en general no se tiene información \textit{simultánea} del potencial y la componente normal del campo en la frontera $\partial V$. Por esto, es conveniente elegir una función de Green de modo que los términos del lado derecho de \eqref{solPoisson} puedan efectivamente ser evaluados. Por ejemplo, si se conoce el potencial\footnote{condición de borde tipo Dirichlet.} en $\partial V$ (típicamente, en situaciones donde $\partial V$ coincide con la superfice de conductores conectados a baterías suministrando una diferencia de potencial conocida) entonces es conveniente usar una \textit{función de Green que se anule en la frontera}, $G(\vec{x},\vec{x}')=0$, $\forall$ $\vec{x}'\in\partial V$. En este caso, la solución se reduce a
\begin{equation}\label{solPoissonDirichlet}
\phi(\vec{x})= -\frac{1}{\varepsilon_0}\int_VG(\vec{x},\vec{x}') \rho(\vec{x}')dV'+\oint_{\partial V}\phi(\vec{x}')\frac{\partial G}{\partial n'}(\vec{x},\vec{x}')dS',
\end{equation}

 Por otro lado, si se conoce la componente normal del campo en la frontera\footnote{condición de borde tipo Neumann.} (por ejemplo, en situaciones donde se dispone de información sobre la densidad de carga superficial en $\partial V$) entonces parece conveniente usar una función de Green tal que su derivada normal sobre la frontera sea nula. Lamentablemente, esta condición \textit{no es posible de implementar} ya que necesariamente\footnote{Use el teorema de Gauss sobre la integral de volumen de \eqref{EDPG} para verificar esto!.} debe cumplirse que
\begin{equation}\label{intGn}
\oint_{\partial V}\frac{\partial G}{\partial n'}dS'=1.
\end{equation}

Una condición un poco menos restrictiva, y factible de implementar consistentemente, es imponer que la derivada normal de la función de Green sea \textit{constante en la frontera}. Entonces, \eqref{intGn} requiere que
\begin{equation}
\frac{\partial G}{\partial n'}(\vec{x},\vec{x}')=\frac{1}{S}, \qquad \vec{x}'\in\partial V,
\end{equation}
donde $S$ es el área total de la frontera, $S:=\oint_{\partial V} dS$. En este caso, la solución para el potencial adopta la forma
\begin{equation}
\phi(\vec{x})= \left\langle\phi\right\rangle_S-\frac{1}{\varepsilon_0}\int_VG(\vec{x},\vec{x}') \rho(\vec{x}')dV'+\oint_{\partial V}G(\vec{x},\vec{x}')E_n(\vec{x}')dS',
\end{equation}
donde
\begin{equation}
\left\langle\phi\right\rangle_S:=\frac{1}{S}\oint_{\partial V}\phi(\vec{x}')\,dS'
\end{equation}
es el \textit{valor promedio del potencial sobre} $\partial V$.

Finalmente, la función de Green más conocida del operador Laplaciano es dada por
\begin{equation}
G(\vec{x}-\vec{x}')=-\frac{1}{4\pi}\frac{1}{|\vec{x}-\vec{x}'|}.
\end{equation}
Esta función de Green particular posee las propiedades adicionales de ser \textit{simétrica bajo rotaciones respecto al punto $\vec{x}'$}, \textit{depender sólo de la diferencia $\vec{x}-\vec{x}'$} y de \textit{anularse en el infinito} (para todo valor finito de $\vec{x}'$). Debido a estas propiedades esta función de Green está directamente relacionada con la solución de la ecuación de Poisson en el caso en que la región $V$ cubre todo el espacio y se asume que el campo eléctrico se anula en el infinito\footnote{más rápido que $1/r$, es decir, tal que $\lim_{|x|\to\infty}|\vec{E}|r=0$.}, de modo que el potencial se reduce a
\begin{equation}
\phi(\vec{x})= \left\langle\phi\right\rangle_\infty+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\frac{\rho(\vec{x}')}{|\vec{x}-\vec{x}'|}dV'.
\end{equation}

\subsection{Unicidad de la solución}\label{sec:uniP}
A continuación probaremos que \textit{la solución de la ecuación de Poisson es única} (salvo una constante aditiva), en una región $V$, para valores dados del potencial \textit{o de la componente normal del campo} en la frontera\footnote{Condiciones de borde tipo Dirichlet o tipo Neumann, respectivamente.} $\partial V$. Para esto, suponemos que existen dos soluciones distintas de \eqref{poisson} en $V$, $\phi_1(\vec{x})$ y $\phi_1(\vec{x})$, que \textit{satisfacen las mismas condiciones de borde}, es decir, su valor es conocido en $\partial V$, o bien su derivada normal es conocida en esta frontera.

Definimos la diferencia $U(\vec{x}):=\phi_1(\vec{x})-\phi_2(\vec{x})$ que será entonces una solución de la ecuación de Laplace, $\nabla^2U=0$. En la frontera $\partial V$ esta función satisface $U=0$ o bien ${\partial U}/{\partial n}=0$, ya que asumimos que $\phi_1$ y $\phi_2$ satisfacen las mismas condiciones de borde (tipo Dirichlet, o bien tipo Neumann). Usamos ahora la identidad\footnote{Esta identidad es un caso particular de la así llamada \textit{primera identidad de Green}.}
\begin{equation}
 \int_V\left[\left|\vec\nabla U\right|^2+U\nabla^2U\right]  \,dV
 \equiv\oint_SU\frac{\partial U}{\partial n}\,dS,
 \end{equation}
que puede ser verificada fácilmente usando el teorema de Gauss. En nuestro caso, dada la EDP y las condiciones de borde que $U$ satisface, la identidad implica que
\begin{equation}
 \int_V\left|\vec\nabla U\right|^2dV=0.
\end{equation}

Como consecuencia, la función $U$ debe ser \textit{constante}\footnote{En principio, esto sería válido excepto (a lo sumo) en un conjunto de medida cero. Sin embargo, esta posibilidad queda descartada si el potencial es una función continua.}, por lo que las dos soluciones $\phi_1$ y $\phi_2$ sólo pueden diferir por una constante, representando la misma solución física\footnote{Más aún, para condiciones de borde tipo Dirichlet, esta constante es necesariamente nula.}.

Es importante notar que este resultado implica que, en general, es inconsistente intentar encontrar una solución de la ecuación de Poisson \textit{imponiendo simultáneamente el valor del potencial y de su derivada normal en la frontera}.

Note que los teoremas anteriores implican que el campo eléctrostático en una región $V$ queda totalmente determinado por la densidad de carga en el interior del volumen $V$, y por las condiciones de borde en la frontera $\partial V$. Una de las múltiples consecuencias de este hecho es que el campo al interior de un volumen de forma arbitraria, cuya frontera es mantenida a un potencial fijo (por ejemplo, por medio de un conductor puesto ``a tierra'') es \textit{independiente de la distribución de cargas en el exterior}. De esta forma, es posible aislar una región de las influencias eléctricas externas (``\href{https://es.wikipedia.org/wiki/Jaula_de_Faraday}{jaula de Faraday}'').


\section{Método de las imágenes}
Como vimos la sección \ref{sec:uniP}, la solución de la ecuación de Poisson, que determina el potencial electrostático y por lo tanto también el campo eléctrico, es única dadas las condiciones de borde apropiadas. Debido a esto, si
obtenemos, \textit{por cualquier método}, una solución que respete las condiciones de
borde dadas, ésta es \textit{la} solución del problema en ese volumen. El \textit{método de
las imágenes} suministra un procedimiento para encontrar una solución en
casos donde el sistema contiene conductores (perfectos) a potencial constante
(típicamente, ``puestos a tierra'') y la geometría de los conductores y las
cargas es simple. Para ello, se introducen \textit{cargas ficticias} en
posiciones apropiadas \textit{fuera de nuestro volumen $V$ de interés} tales que el campo creado por el sistema de cargas reales
+ ficticias satisface las condiciones de borde.

En otras palabras, el método de las imágenes se basa en el hecho que la
solución para el campo eléctrico en una región finita $V$ con una
distribución de carga conocida y potenciales dados en su superficie
$\partial V$ pueden ser los mismos (\underline{en $V$}) que los campos generados por la
misma distribución de carga en $V$ \textit{y por otra distribución de carga
diferente fuera de $V$}. Por esto, para solucionar el problema ``real'', en el
que la distribución de carga en $V$ y los potenciales en $\partial V$ son conocidos, se
puede considerar el problema ``ficticio'' de encontrar las cargas ``imagenes''
fuera de $V$ tales que la distribución de cargas total (reales e imágenes)
satisfaga las condiciones de contorno en $\partial V$. Los campos así encontrados son
solución del problema original, dentro (pero \underline{no} fuera) de $V$. Como veremos, el método de las imágenes básicamente provee un método heurístico para encontrar la función de Green apropiada a las condiciones de borde de un cierto problema físico.



\subsection{Conductor plano y carga puntual}
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=6cm]{fig/fig-carga-imagen-01.pdf}}
\caption{Conductor plano, carga real $q$ e imagen $q'$.}
\label{ci01}
\end{figure}
Consideremos la situación donde una carga puntual $q$ se encuentra a una distancia $d$ de un plano conductor (infinito) ``puesto a tierra'' (de modo que su potencial es igual al potencial en el infinito, elegido como $\phi_\infty=0$). Eligiendo los ejes coordenados como lo indica la figura \ref{ci01}, tendremos que en la situación estacionaria $\phi(x)=0$ para $x\le 0$. 

El potencial no es simplemente el de la carga puntual $\phi_{\rm puntual} = {q}/{4\pi\epsilon_0 r}$, puesto que la presencia de la carga $q$ induce una cierta distribución de carga en la superficie del conductor. Luego, el potencial total es debido en parte a $q$ y en otra parte a la distribución de carga inducida. Pero, ¿cómo calculamos el potencial si no conocemos cuánta carga es inducida y cómo esta se distribuye? 

Desde un punto de vista matemático, nuestro problema es resolver la ecuación de Poisson en la región $x>0$, con una carga puntual $q$ situada en $\vec{x}_q=d\hat{x}$ sujeta a las condiciones de contorno: a) $\phi = 0 $ en $x=0$ (pues el conductor está puesto a tierra), y b) $\phi\rightarrow 0$ lejos de la carga (cuando $x^2 + y^2 + z^2 \gg d^2$). Usando el método de las imágenes resolvemos el problema equivalente obtenido al reemplazar el plano conductor por una carga ficticia (imagen) $q'$ ubicada en la posición $x=-d'<0$. El potencial de la configuración de carga real más carga imagen es entonces
\begin{equation}
 \phi(x)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{q}{\sqrt{(x-d)^2+y^2+z^2}}+\frac
{q'}{\sqrt{(x+d')^2+y^2+z^2}}\right].
\end{equation}
La condición que $\phi=0$ sobre el plano, es decir, para todo punto con $x=0$,
se satisface sólo si
\begin{equation}
 d'=d, \qquad q'=-q.
\end{equation}
Por lo tanto, la solución para el potencial en todo punto con $x\ge 0$ es dada por
\begin{equation}\label{phicpplano}
 \phi(x)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{1}{\sqrt{(x-d)^2+y^2+z^2}}-\frac
{1}{\sqrt{(x+d)^2+y^2+z^2}}\right], \qquad x\ge 0.
\end{equation}
Note que esta solución define un potencial no nulo para la región $x < 0$. Sin embargo, esto no afecta la solución del problema original, pues nuestra región de interés es la región $x \ge 0$.
\begin{center}
\begin{figure}[H]
\centerline{\includegraphics[height=4.5cm]{fig/fig-metodo-imagen-plano-01.pdf}
\hspace{2cm}
\includegraphics[height=4.5cm]{fig/fig-metodo-imagen-plano-02.pdf}}
\caption{Campo eléctrico de plano conductor (puesto a Tierra) y carga puntual. 
Figuras adaptadas de  \href{http://commons.wikimedia.org/wiki/File:VFPt_image_charge_plane_horizontal.svg}{este} y \href{http://commons.wikimedia.org/wiki/File:VFPt_image_charge_plane.svg}{este} archivo original.}
\label{fig:pyc}
\end{figure}
\end{center}
La densidad de carga inducida en el conductor puede calcularse usando
\begin{equation}
 \sigma(y,z)=\varepsilon_0
\vec{E}\cdot\hat{n}=-\varepsilon_0\left.(\partial_x\phi)\right|_{x=0}
\end{equation}
que, luego de algo de álgebra, resulta ser
\begin{equation}
 \sigma(y,z)=-\frac{q}{2\pi}\frac{d}{(d^2+y^2+z^2)^{3/2}}.
\end{equation}
Con esto, podemos calcular la carga total inducida sobre el conductor,
\begin{equation}
Q_{\rm ind} = \int \sigma(y,z) dS.
\end{equation}
La integral resulta más simple de calcular en coordenadas polares, ya que
\begin{equation}
Q_{\rm ind} = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty \dfrac{-qd}{2\pi (r^2 + d^2)^{3/2}} \ r  dr  d\varphi = \left. \dfrac{qd}{\sqrt{r^2 + d^2}} \right|_{0}^{\infty} = -q,
\end{equation}
lo que es consistente con nuestra elección inicial para el valor de la carga imagen $q'$.

Por otro lado, la fuerza que ejerce el plano sobre la carga puede ser calculada usando
\begin{equation}
\vec{F}_q=q\vec{E}',
\end{equation}
donde $\vec{E}'$ es el campo \textit{externo} que actúa sobre $q$, es decir, el campo
determinado por el potencial
\begin{equation}
 \phi'(x)=-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{\sqrt{(x+d)^2+y^2+z^2}},
\qquad x>0,
\end{equation}
evaluado en la posición en que se ubica la carga $q$, es decir,
\begin{eqnarray}
 \vec{F}_q&=&-q(\vec{\nabla}\phi')|_{\vec{x}_q} \\
&=&-\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0d^2}\,\hat{x}.
\end{eqnarray}
Note que esta fuerza es la misma que ejerce(ría) la carga imagen sobre la carga real.

\subsubsection{Función de Green asociada}
En la sección anterior hemos situado el sistema coordenado de modo que la carga tenía posicion $d\hat{x}$. Podemos reescribir el resultado para una carga puntual ubicada en una posición arbitraria $\vec{x}'$ en $V$. Manteniendo el origen del sistema de coordenadas en algún punto del plano, podemos entonces escribir la posición \textit{de la carga imágen} como
\begin{equation}
\vec{x}'_{\rm i} = \vec{x}'-2(\vec{x}'\cdot\hat{n})\hat{n},
\end{equation}
donde $\hat{n}$ es el vector unitario perpendicular a la superficie del conductor. Con esto, potencial \eqref{phicpplano} puede ser escrito en la forma siguiente:
\begin{align}
\phi(\vec{x}) &= \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{1}{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|}-\frac{1}{\left|\vec{x}-\vec{x}'_{\rm i}\right|}\right] \\
&= \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{1}{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|}-\frac{1}{\left|\vec{x}-\vec{x}'+2(\vec{x}'\cdot\hat{n})\hat{n}\right|}\right]
\end{align}

Si ahora definimos
\begin{align}
G(\vec{x},\vec{x}') &:= -\frac{\varepsilon_0}{q}\phi(\vec{x}) \\
&= -\frac{1}{4\pi}\left[\frac{1}{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|}-\frac{1}{\left|\vec{x}-\vec{x}'+2(\vec{x}'\cdot\hat{n})\hat{n}\right|}\right], \label{Greenplano}
\end{align}
entonces esta función satisface todas las propiedades de una función de Green en el dominio $V$, con condiciones de borde tipo Dirichlet nulas en su frontera::
\begin{itemize}
\item $\nabla^2G(\vec{x},\vec{x}')=\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}')$, $\forall \vec{x}\in V$.
\item $G(\vec{x},\vec{x}')=0$, $\forall \vec{x}\in \partial V$.
\item $G(\vec{x},\vec{x}')=G(\vec{x}',\vec{x})$.
\end{itemize}

Como consecuencia, podemos usar esta función para encontrar una forma analítica para el potencial \textit{en una situación física más general}: el campo fuera de un conductor plano muy grande puesto a tierra, con una districión de carga arbitraria de densidad $\rho(\vec{x})$, en el mismo dominio $V$ (es decir, fuera del conductor). La solución en este caso, ver la expresión \ref{solPoissonDirichlet} en la sección \ref{Green}, es de la forma
\begin{equation}
\phi(\vec{x}) = -\frac{1}{\varepsilon_0}\int_VG(\vec{x},\vec{x}') \rho(\vec{x}')dV',
\end{equation}
con la función de Green dada en \ref{Greenplano}.
\subsection{Conductor esférico}
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=6cm]{fig/fig-carga-imagen-02.pdf}}
\caption{Conductor esférico, carga real $q$ e imagen $q'$.}
\label{ci02}
\end{figure}
En este caso, consideramos el sistema formado por un conductor esférico, de radio $a$, ``puesto a tierra", de modo que su potencial $\phi=\phi_\infty\stackrel{!}{=}0$, y una carga puntual $q$ ubicada a una distancia $d$ del centro del conductor. El campo eléctrico fuera del conductor es equivalente al campo producido por la carga real $q$ y una carga imagen de magnitud $q'$ ubicada dentro de la esfera, a una distancia $d'$ de su centro. 

En efecto, el potencial de la carga real y la carga imagen, de acuerdo a las posiciones indicadas en la figura \ref{ci02}, es dado por
\begin{equation}
 \phi(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{q}{\sqrt{
r^2+d^2-2dr\cos\theta } } +\frac{q'}{\sqrt{r^2+d'^2-2d'r\cos\theta}}\right]
\end{equation}
Puede verificarse rápidamente que la condición que $\phi=0$ sobre la esfera, para todo punto con $r=a$, se satisface sólo si
\begin{equation}
 d'=\frac{a^2}{d}, \qquad q'=-q\frac{a}{d}.
\end{equation}
Por lo tanto, la solución para el potencial en todo punto exterior a la
esfera conductora es dada por
\begin{equation}\label{phice}
 \phi(r,\theta)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{1}{\sqrt{
r^2+d^2-2dr\cos\theta}}
-\frac{a}{\sqrt{a^4+r^2d^2-2a^2dr\cos\theta}}\right], \qquad r\ge a .
\end{equation}
\begin{center}
\begin{figure}[H]
\centerline{\includegraphics[height=5cm]{fig/fig-metodo-imagen-esfera-01.pdf}
\hspace{2cm}\includegraphics[height=5cm]{fig/fig-metodo-imagen-esfera-02.pdf}}
\caption{Campo eléctrico de esfera conductora (puesta a Tierra) y carga puntual. 
Figuras adaptadas a partir de  \href{http://commons.wikimedia.org/wiki/File:VFPt_metal_ball_grounded.svg}{este} y \href{http://commons.wikimedia.org/wiki/File:VFPt_metal_ball_grounded_transparent.svg}{este} archivo original.}
\label{fig:eyc}
\end{figure}
\end{center}
La densidad de carga inducida en la esfera conductora puede calcularse usando
\begin{equation}\label{sce}
 \sigma(\theta)=\varepsilon_0\vec{E}\cdot\hat{n}
=-\varepsilon_0\left.(\partial_r\phi)\right|_{r=a}.
\end{equation}
Reemplazando (\ref{phice}) en (\ref{sce}) encontramos que
\begin{equation}
 \sigma(\theta)=-\frac{q}{4\pi}\frac{1}{ad}\frac{1-\frac{a^2}{d^2
}}{\left[1+\left(\frac{a}{d}\right)^2-2\left(\frac{a}{d}\right)\cos\theta\right]
^{3/2}}.
\end{equation}
La carga total inducida en la esfera es entonces
\begin{equation}
 Q_{\rm ind}=\oint\sigma\,dS=2\pi
a^2\int_0^\pi\sigma(\theta)\sin\theta\,d\theta=-q\frac{a}{d}.
\end{equation}
Note que necesariamente la esfera debe tener una carga neta (igual a la carga imagen) para que $\phi=0$ en su superficie.

Finalmente, la fuerza que la esfera ejerce sobre la carga es dada por
\begin{equation}
\vec{F}_q=-\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{a}{d}\frac{1}{(d'-d)^2}\,
\hat{z}=-\frac { q^2 }{4\pi\varepsilon_0}\frac{ad}{(a^2-d^2)^2}\,\hat{z}.
\end{equation}

\subsection{Conductor Cilíndrico}
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=6cm]{fig/fig-metodo-imagenes-cilindros-01.pdf}}
\caption{Conductor cilíndrico, líneas de densidad $\lambda$ y $-\lambda$.}
\label{ci03}
\end{figure}
Consideremos ahora el campo generado por dos líneas (infinitas) de carga, con
densidades lineales de carga $\lambda$ y $-\lambda$, situadas en $x=+d$ y
$x=-d$, respectivamente. Ver figura \ref{ci03}.

El potencial en un punto cualquiera fuera de las líneas de carga es dado por
\begin{equation}
 \phi(x,y)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\left(\frac{r_1}{r_2}
\right)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\left(\frac{r_1^2}{r_2^2}
\right)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\left(\frac{(x+d)^2+y^2}{
(x-d)^2+y^2}\right).
\end{equation}

Estudiemos la ubicación de las superficies equipotenciales de esta
configuración de cargas. Por simplicidad (de cálculo), consideraremos las superficies con $\phi=\phi_0=\text{cte.}$, con
\begin{equation}
 \phi_0:=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln M, \label{phi0M}
\end{equation}
donde $M>0$ es una constante adimensional.  Con esto, las superficies $\phi=\phi_0$
corresponden a los puntos que satisfacen
\begin{equation}
 \frac{(x+d)^2+y^2}{(x-d)^2+y^2}=M^2. \label{equip1}
\end{equation}
Luego de un poco de álgebra encontramos que, si $M\neq 1$, (\ref{equip1}) es
equivalente a
\begin{equation}
 \left[x-\frac{d(1+M^2)}{M^2-1}\right]^2+y^2=\frac{4M^2d^2}{(1-M^2)^2},
\end{equation}
que es la ecuación de un cilindro (una circunsferencia en el plano $xy$),
centrado en las coordenadas $(x_{\rm c},y_c)$ y con radio $R$, dados por
\begin{equation}
 x_{\rm c}=\frac{d(1+M^2)}{M^2-1}, \qquad y_c=0, \qquad R=\frac{2Md}{|1-M^2|}.
\label{cilim}
\end{equation}
Vemos de aquí que (asumiendo $\lambda>0$) $x_{\rm c}<-d$ y $\phi_0<0$ si $M<1$,
mientras que $x_{\rm c}>d$ y $\phi_0>0$ si $M>1$.

Por otro lado, si $M=1$, entonces la superficie equipotencial es el plano
definido por $x=0$, es decir, el plano $yz$.

De estos resultados, vemos que las superficies equipotenciales del sistema de
cargas analizado son cilíndros centrados sobre el eje $x$ (a ambos lados del
plano $yz$ eje) y un plano a potencial nulo en $x=0$. Ver figura \ref{ci04}.
%
%Usando el método de las imágenes podemos usar este resultado para encontrar el campo en el exterior de un cilindro conductor, en el caso en que fuera de éste se ubica una  línea de carga paralela a su eje. Si 

Esta información puede ser usada, por ejemplo, para encontrar el campo
electrostático entre un plano y un cilindro, a una diferencia de potencial
dada $V$. Si el plano se encuentra en $x=0$, a potencial nulo y el cilindro, de
radio $R$, se ubicado en $x_{\rm c}>R$, entonces el campo puede ser determinado
considerando \textit{ambas líneas de carga como ficticias}. De las relaciones
(\ref{phi0M}), con $\phi_0=V$, y (\ref{cilim}) podemos entonces encontrar la
constante $M$, así como la posición, $d$, y magnitud $\lambda$ de las líneas
de cargas ficticias del problema equivalente, en función de los datos $V$,
$x_0$ y $R$. Considerando que $V>0$, es decir, el potencial sobre el cilindro es mayor que sobre el plano y, de acuerdo a la figura \ref{ci04} el cilíndro está a la derecha del plano\footnote{Si $V<0$ la situación es similar, luego de una reflexión respecto al plano $x=0$.} ($x_{\rm x}>0$). Luego de algo de álgebra, obtenemos
\begin{equation}
 M=\frac{x_{\rm c}}{R}+\sqrt{\left(\frac{x_{\rm c}}{R}\right)^2-1}, \qquad
d=\frac{R(M^2-1)}{2M}, \qquad \lambda=\frac{2\pi\varepsilon_0V}{\ln M}.
\end{equation}
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=6cm]{fig/fig-metodo-imagenes-cilindros-02.pdf}
\hspace{1cm}
\includegraphics[height=6cm]{fig/fig-metodo-imagenes-cilindros-03.pdf}}
\caption{Superficies equipotenciales y líneas de campo. Código Python de la figura de la derecha disponible \href{https://github.com/gfrubi/electrodinamica/blob/master/figuras-editables/fig-metodo-imagenes-cilindros-03.py}{aquí}.}
\label{ci04}
\end{figure}

\section{Energía potencial eléctrica de cargas en un campo externo}
Como consecuencia de (\ref{E=nablaphi}), la fuerza electrostática es
\textit{conservativa}, pues puede derivarse de una energía potencial (o,
equivalentemente, el trabajo es independiente de la trayectoria, ya que el campo
eléctrico es irrotacional):
\begin{equation}
\boxed{F_i=qE_i=-q\partial_i\phi .}
\end{equation}
Definimos la \textbf{energ\'{\i}a potencial eléctrica} de una carga $q$ ubicada en un punto $x$ con campo eléctrico (externo) descrito por el potencial $\phi(x)$ por
\begin{equation}
\boxed{U(x):=q\phi(x),} \label{Uqphi}
\end{equation}
de modo
que
\begin{equation}
\boxed{F_i(x)=-(\partial_iU)(x) .}
\end{equation}
Como toda energía potencial, la energía potencial eléctrica es una
cantidad bien definida salvo una constante aditiva arbitraria. Como
consecuencia, \textit{sólo las diferencias de energía potencial tienen
significado físico inambiguo} (pueden en principio ser medidas). Esta característica se
ilustra más claramente si consideramos el trabajo realizado por un campo
eléctrico sobre una carga $q$ al desplazarse ésta desde el punto $A$ hasta el
punto $B$:
\begin{equation}\label{WABDU}
W_{A\rightarrow B}=\int_A^B F_i\, dx_i=-\int_A^B
\partial_iU\,dx_i=-\left.U\right|_A^B=-\Delta U=-q\Delta\phi=-q(\phi_B-\phi_A).
\end{equation}

Como consecuencia, una partícula cargada de masa $m$ y carga $q$ moviéndose en el campo eléctrico externo descrito por el potencial $\phi$ tendrá una energía mecánica $E=K+U=m\vec{v}^2/2+q\phi$, que será constante si no existen otras fuerzas actuando, es decir,
\begin{equation}
E=\frac{1}{2}m\vec{v}^2+q\phi(x)=\text{cte.}
\end{equation}

Podemos generalizar la expresión \eqref{Uqphi} para el caso de una distribución contínua de cargas \textit{de prueba}, en un campo \textit{externo}. En otras palabras, \textit{despreciamos el campo que las mismas cargas producen}. Por simple superposición encontramos que la energía potencial de una distribución de cargas descritas por la densidad $\rho(\vec{x})$ en un campo \textit{externo} $\phi(\vec{x})$ es dado por
\begin{equation} \label{Urhophiext}
U=\int \rho(\vec{x})\,\phi(\vec{x})\,dV.
\end{equation}

%\subsection{Ejemplo}
\section{Energía potencial de un sistema de cargas}  \label{ed3_1}

\subsection{Energía potencial de un conjunto de cargas puntuales}
\label{ed3_1_1}

Consideremos ahora el problema de determinar la \textit{energía potencial total de un
conjunto de $N$ cargas puntuales}, pero \textit{ahora tomando en cuenta el campo que ellas mismas generan}. Cada carga $q^{(\alpha)}$ posee una energía
potencial $U^{(\alpha\beta)}$ asociada al campo eléctrico producido por cada una de las \textit{otras cargas}  $q^{(\beta)}$, con $\beta\ne \alpha$. Aquí $\alpha,\beta=1,\cdots, N$.

Además, el potencial eléctrico en el punto $\vec{x}$, generado por la carga $q^{(\beta)}$
ubicada en el punto $\vec{x}^{(\beta)}$, es dado por
\begin{equation}
\phi^{(\beta)}(\vec{x})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^{(\beta)}}{|\vec{x}
-\vec{x}^{(\beta)}|} ,
\end{equation}
de modo que
\begin{equation} \label{eq3.1.3}
U^{(\alpha\beta)}=q^{(\alpha)}\,\phi^{(\beta)}(\vec{x}^{(\beta)})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^{(\alpha)}\,q^{(\beta)}}{|\vec{x}^{(\alpha)}-\vec{x}^{(\beta)}|}.
\end{equation}
Vemos de (\ref{eq3.1.3}) que $U^{(\alpha\beta)}=U^{(\beta\alpha)}$, es decir, la energía potencial de la carga $\alpha$-ésima debido al campo producido por la carga
$\beta$-ésima es igual a la energía potencial de la $\beta$-ésima debido al campo
de la $\alpha$-ésima.

Además,  $U^{(\alpha\beta)}\to 0$, cuando  $|\vec{x}^{(\alpha)}|\to\infty$
ó $|\vec{x}^{(\beta)}|\to\infty$. Entonces, de acuerdo a \eqref{WABDU}, \textit{podemos interpretar $U^{(\alpha\beta)}$ como la energía (trabajo) que se necesita para traer la carga
$q^{(\alpha)}$ desde el infinito hasta la posición $\vec{x}^{(\alpha)}$, en el campo
eléctrico producido por la carga $q^{(\beta)}$, fija en $\vec{x}^{(\beta)}$}, o
vicecersa.

Para calcular la energía potencial eléctrica total de un sistema de muchas cargas
puntuales, ``construimos'' el sistema, carga por carga, trayéndolas desde el
infinito (donde la interacción mutua es despreciable): Primero consideramos que la carga $q^{(1)}$ es transportada desde
el infinito hasta su posición final $\vec{x}^{(1)}$. Para esto no se requiere
trabajo alguno ya que no existe campo eléctrico preexistente que actúe sobre
esta carga. Como segundo paso, traemos la carga $q^{(2)}$ desde el infinito
hasta su posición final $\vec{x}^{(2)}$. Este proceso requiere una energía
dada por $U^{(21)}$. En el siguiente paso, traemos $q^{(3)}$ desde el
infinito hasta $\vec{x}^{(3)}$, manteniendo fijas las cargas $q^{(1)}$ y
$q^{(2)}$. La energía requerida para este paso es $U^{(31)}+U^{(32)}$. Hasta
el momento la energía total requerida para formar el sistema de 3 cargas es
$U^{(21)}+U^{(31)}+U^{(32)}=U^{(12)}+U^{(13)}+U^{(23)}$. Continuando
este proceso encontramos que \textit{la energía potencial eléctrica total de un
sistema de $N$ cargas} $q^{(\alpha)}$, con posiciones $\vec{x}^{(\alpha)}$ es dado por
\begin{equation} \label{eq3.1.4}
U=\sum_{\alpha,\beta\,(\alpha>\beta)}^N U^{(\alpha\beta)}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,
\sum_{\alpha,\beta\,(\alpha>\beta)}^N \frac{q^{(\alpha)}\,q^{(\beta)}}{|\vec{x}^{(\alpha)}-\vec{x}^{(\beta)}|}.
\end{equation}
Alternativamente, ya que $U^{(\alpha\beta)}=U^{(\beta\alpha)}$, podemos escribir
$U=({1}/{2})\sum_{\alpha,\beta\,(\alpha\ne \beta)}^N U^{(\alpha\beta)}$, de modo que
\begin{equation} \label{eq3.1.5}\marginnote{Energía sist. cargas puntuales}
\boxed{U=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\,
\sum_{\alpha,\beta\,(\alpha\ne \beta)}^N \frac{q^{(\alpha)}\,q^{(\beta)}}{|\vec{x}^{(\alpha)}-\vec{x}^{(\beta)}|}.}
\end{equation}
En términos del \textit{potencial eléctrostático total en el punto $\vec{x}^{(\alpha)}$
debido a todas las otras cargas} $q^{(\beta)}$ ($\beta\ne \alpha$),
\begin{equation}
\phi'(\vec{x}^{(\alpha)})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,
\sum_{\beta\,(\beta\ne \alpha)}^N \frac{q^{(\beta)}}{|\vec{x}^{(\alpha)}-\vec{x}^{(\beta)}|},
\end{equation}
tenemos que
\begin{equation}\label{Wqphi}
\boxed{U= \frac{1}{2}\,\sum_{\alpha=1}^N q^{(\alpha)}\,\phi'(\vec{x}^{(\alpha)}).}
\end{equation}

\subsection{Energía potencial de una distribución continua de cargas} \label{ed3_1_2}
En el caso de una \textit{distribución continua} de carga descrita por una densidad de carga $\rho(\vec{x})$, requerimos una expresión similar a la encontrada en la sección anterior para cargas puntuales. En el límite continuo, esperamos poder reemplazar $q^{(\alpha)}\to dq=\rho(\vec{x})\,dV$. Por otro lado, podríamos esperar que el potencial $\phi'(x^{(\alpha)})$ tienda simplemente al potencial de la distribución continua de carga, evaluado en el punto $\vec{x}$, es decir, $\phi'(x^{(\alpha)})\to\phi(\vec{x})$, ya que no tiene sentido hacer distinción, en el caso de una distribución continua, entre el campo $\phi'$ (es decir, el potencial producido por las cargas del sistema localizadas en puntos $\vec{x}'\neq\vec{x}$) y el simplemente el potencial $\phi(\vec{x})$. 

De este modo, obtenemos
\begin{equation}\marginnote{Energía de dist. continua}
\boxed{U= \frac{1}{2}\,\int\rho(\vec{x})\,\phi(\vec{x})\,dV.} \label{Urhophi}
\end{equation}

Es importante entender la diferencia entre \eqref{Urhophiext} y \eqref{Urhophi}. La primera expresión representa la energía potencial de una distribución de cargas \textit{en un campo externo}, \textit{despreciando el campo que ellas mismas producen} (cargas ``de prueba"), mientras que la segunda representa \textit{la energía potencial total contenida en un sistema de cargas debido su propio campo}. En otras palabras, los potenciales involucrados en \eqref{Urhophiext} y \eqref{Urhophi} son de naturaleza distinta: en la primera expresión representa el potencial externo, y en la segunda el potencial generado por las propias cargas. \textit{Sólo en el segundo caso el potencial está relacionado con la densidad por medio de la ecuación de Poisson}.

Además, si bien al aplicar la integral \eqref{Urhophi} al caso de distribuciones continuas y finitas de carga se obtienen resultados finitos, al intentar aplicarla al caso de una carga \textit{puntual} (o conjuntos de cargas puntuales) se encuentra un resultado \textit{divergente}. Esto, sin embargo, es usualmente interpretado asumiendo que  una carga puntual es una \textit{idealización}: el límite en que el tama\~no de la carga es nulo.
En la práctica, consideraremos a \eqref{Urhophi} como la expresión general para la energía de una distribución general de cargas, mientras que para un conjunto de cargas puntuales usaremos (\ref{eq3.1.5}) o, alternativamente, (\ref{Wqphi}).

\subsubsection{Derivación alternativa}
Podemos derivar la expresión \eqref{Urhophi} considerando el proceso de ``construcción'' del sistema en que la densidad es aumentada paulatinamente desde 0 hasta $\rho(\vec{x})$. Si en un instante dado la densidad es, en cada punto, una fracción $\lambda$ ($0\le\lambda\le 1$) de la densidad total, es decir, si la densidad es $\lambda\rho(\vec{x})$, entonces el potencial generado por esta densidad es $\phi_\lambda(\vec{x})=\lambda\phi(\vec{x})$, ya que las la ecuación que determina el potencial a partir de la densidad de carga (la ec. de Poisson (\ref{poisson})) es lineal. Entonces el trabajo necesario para aumentar la fracción de carga desde $\lambda$ hasta $\lambda+d\lambda$ es el trabajo necesario para transportar las cargas $dq=d\lambda\,\rho(\vec{x})dV$ desde el infinito hasta sus posiciones finales, en el campo $\phi_\lambda(\vec{x})$. Por lo tanto, el trabajo total requerido para aumentar la densidad de carga en una fracción $d\lambda$ es dado por:
\begin{align}
dW &= \int_V dq\,\phi_\lambda(\vec{x}) \\
&= \int_V \left[d\lambda\,\rho(\vec{x})\,dV\right]\left[\lambda\phi(\vec{x})\right] \\
&= \lambda d\lambda\,\int_V \rho(\vec{x})\phi(\vec{x}) \,dV . \label{dWlambda}
\end{align}
La energía requerida en el proceso completo de ``construcción'' del sistema de cargas es entonces la suma de los trabajos de la forma (\ref{dWlambda}) desde $\lambda=0$ hasta $\lambda=1$, es decir,
\begin{equation}
U=\int_0^1dW,
\end{equation}
que lleva nuevamente a la expresión \eqref{Urhophi}.

\subsubsection{Energía de un sistema de cargas formado por dos subsistemas}
Si tenemos un sistema de cargas que pueda ser separado en dos subsistemas, el primero con densidad de carga $\rho_1(x)$ que genera un potencial $\phi_1(x)$, y el segundo con densidad $\rho_2(x)$ y potencial $\phi_1(x)$, entonces 
\begin{equation}
\rho(x)=\rho_1(x)+\rho_2(x),
\end{equation}
ya suponemos que las regiones donde $\rho_2(x)$ y $\rho_2(x)$ son no nulas son disjuntas. Además, en un punto cualquiera el potencial es dado por
\begin{equation}
\phi(x)=\phi_1(x)+\phi_2(x).
\end{equation}
Reemplazando estas expresiones en nuestro resultado general \eqref{Urhophi} encontramos que  la energía del sistema completo puede ser escrita como
\begin{equation}
U=U_1+U_2+U_{\rm int}
\end{equation}
\begin{equation}
U_1= \frac{1}{2}\,\int\rho_1(\vec{x})\,\phi_1(\vec{x})\,dV ,\qquad U_2= \frac{1}{2}\,\int\rho_2(\vec{x})\,\phi_2(\vec{x})\,dV,
\end{equation}
\begin{align}
U_{\rm int} =& \int \rho_1(x)\phi_2(x)\,dV = \int \rho_2(x)\phi_1(x)\,dV.
\end{align}
La energía $U_{\rm int}$ puede ser interpretada, de acuerdo a nuestro resultado \eqref{Urhophiext}, como la \textbf{energía potencial de las cargas en el subsistema 1 debido al campo (externo) generado por el subsistema 2}, o bien como la \textbf{energía potencial de las cargas en el subsistema 2 debido al campo (externo) generado por el subsistema 1}, o simplemente como la \textbf{energía de interacción}.


\subsubsection{Energía en función del campo eléctrico}

Podemos expresar la energía \eqref{Urhophi} en términos del campo eléctrico,
usando la ley de Gauss (\ref{leygauss-dif}):
\begin{eqnarray}
U&=&\frac{1}{2}\,\int\rho(\vec{x})\,\phi(\vec{x})\,dV \\
&=&\frac{\varepsilon_0}{2}\,\int(\partial_i E_i)\,\phi\,dV\\
&=&\frac{\varepsilon_0}{2}\,\int\left[
\partial_i(E_i\phi)-E_i\partial_i\phi\right] dV\\
&=&\frac{\varepsilon_0}{2}\left[\oint
E_i\phi\,dS_i-\int E_i\partial_i\phi\, dV\right]\\
&=&\frac{\varepsilon_0}{2}\left[0+\int E_iE_i\, dV\right]\\
&=&\frac{\varepsilon_0}{2}\int \vec{E}^2\, dV.
\end{eqnarray}
En este cálculo, hemos considerado que la integral de volumen se extiende sobre
todo el espacio, y que el campo eléctrico se anula suficientemente rápido en
el infinito, de forma tal que la integral de superficie es nula\footnote{La integral tiende a cero si $\phi$ decae más rápido que $1/\sqrt{r}$ para $r\to\infty$. Esta condición es siempre satisfecha para distribuciones compactas de carga, donde se tiene de hecho que $\phi$ decae al menos como $1/r$.}. Con esto,
obtenemos
\begin{equation} \label{UuE}
\boxed{U=\int u_E(\vec{x})\,dV, \qquad u_E(\vec{x}):=\frac{\varepsilon_0}{2}\,
\vec{E}^2(\vec{x}) .}
\end{equation}
De esta forma, podemos calcular la energía (potencial) electrostática de una
distribución de carga como la integral de una \textit{densidad de energía}
$u_E(\vec{x})$. Comparando (\ref{UuE}) con (\ref{eq3.1.5}) vemos que la
energía potencial de un sistema de cargas puede interpretarse alternativamente
como la \textit{energía almacenada en el campo eléctrico} del sistema de
cargas, a través de la densidad de energía $u_E(\vec{x})$.

\subsubsection{Ejemplo}
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=4cm]{fig/fig-condensador-01.pdf}}
\caption{Energía almacenada en un condensador de placas paralelas.}
\label{fig:cpp}
\end{figure}
Considere un condensador de placas paralelas, como se muestra en la figura \ref{fig:cpp}. Despreciando efectos de borde, es decir, considerando que dentro de la región limitada por las placas en campo eléctrico es homogéneo y fuera de ella es nulo, y además despreciando el espesor de las placas, podemos modelar la densidad de carga como
\begin{equation}
\rho(\vec{x})=\sigma\delta(x)-\sigma\delta(x-d), 
\end{equation}
para todo $(y,z)$ en la región delimitada por las placas. 

El campo eléctrico entre las placas (que puede obtenerse fácilmente usando la ley de Gauss) es dado por
\begin{equation}
\vec{E}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\hat{x}=E\hat{x}, \qquad 0<x<d,
\end{equation}
donde $\sigma$ es la densidad total de carga por unidad de superficie (en cada placa ubicada en $x=0$). Con esto, podemos evaluar la energía \eqref{UuE} (el campo eléctrico sólo es no nulo entre las placas, que encierrar un volumen $V=Ad$):
\begin{equation} 
U=\int u_E(\vec{x})\,dV=\frac{\varepsilon_0}{2}\,
\vec{E}^2 V=\frac{\varepsilon_0}{2}\,
\vec{E}^2 Ad=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}Ad=\frac{Q^2}{2\varepsilon_0}\frac{d}{A} .
\end{equation}

Por otro lado, usando \eqref{phiintE} encontramos que el potencial entre las placas es de la forma
\begin{equation}
\phi(\vec{x})=\phi(0)-Ex=\phi(0)-\frac{\sigma}{\varepsilon_0}x, \qquad 0<x<d,
\end{equation}
con lo que podemos evaluar \eqref{Urhophi} (la densidad de carga sólo es no nula sobre las placas), obteniendo
\begin{equation}
U=\frac{1}{2}\int\rho(x)\phi(x)\,dV=\frac{1}{2}\left[\sigma A\phi(0)-\sigma A\phi(d)\right]=\frac{\sigma^2 Ad}{2\varepsilon_0}=\frac{Q^2}{2\varepsilon_0}\frac{d}{A}.
\end{equation}
En términos de la \textit{capacidad del condensador}, $C:=Q/\Delta V=\varepsilon_0 A/d$, tenemos
\begin{equation}
U=\frac{C(\Delta V)^2}{2}=\frac{Q^2}{2C}.
\end{equation}





\section{Expansión multipolar cartesiana}
\subsection{Expansión Multipolar}
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=4cm]{fig/fig-expansion-multipolar-electrica-01.pdf}}
\caption{Esquema de la expansión multipolar eléctrica.}
\label{fig:emc}
\end{figure}
El método de {\em expansión multipolar} permite calcular los campos (potencial y campo eléctrico) de una
\textit{distribución compacta, pero arbitraria}, de carga en forma relativamente sencilla y general. Consideramos entonces una distribución compacta de carga, situaremos (sin pérdida de generalidad) el origen del sistema coordenado en un punto representativo de la distribución (no necesariamente el centro de masa o el centro de carga), y consideraremos el problema de describir el
campo generado por esta distribución en puntos muy alejados de ella, de modo
que $|\vec{x}|\gg|\vec{x}'|$, ver figura \ref{fig:emc}. Esto permite
reescribir la expresión general (\ref{perho}) para el potencial
eléctrico, en forma de una expansión en serie, ya
que el término $1/\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|$ puede ser expandido\footnote{Para esto usamos la expresión general para una expansión en serie de Taylor de una función de varias variables: $f(x_i+x'_i)=f(x_i)+x'_i\left.(\partial_if)\right|_x+(1/2!)\,x'_ix'_j\left.(\partial_i\partial_jf)\right|_x +(1/3!)\,x'_ix'_jx'_k\left.(\partial_i\partial_j\partial_kf)\right|_x+\dots$.}
en potencias de las componentes del vector $\vec{x}'$:
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|}
%&=&\frac{1}{\left|\vec{x}\right|}
%+x'_i\partial'_i\left(\frac{1}{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|} \right)
%_{x'_i=0}+\frac{1}{2!}x'_ix'_j\,\partial'_i\partial'_j\left(\frac{1}{\left|\vec{
%x } -\vec{x}'\right|} \right) _{x'_i=0}+\dots \\
&=&\frac{1}{\left|\vec{x}\right|}
-x'_i\partial_i\left(\frac{1}{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|} \right)
_{x'_i=0}+\dots+(-1)^2\frac{1}{2!}x'_ix'_j\,
\partial_i\partial_j\left(\frac{1} { \left|\vec{x}-\vec{x}
'\right|} \right) _{x'_i=0}+\dots \\
&=&\frac{1}{\left|\vec{x}\right|}-x'_i\partial_i\frac{1}{\left|\vec{x}\right|}
 +\frac{(-1)^2}{2!}x'_ix'_j\,\partial_i\partial_j\frac{1}{\left|\vec{x}\right|}
+\dots \\
&=&\frac{1}{r}-x'_i\partial_i\frac{1}{r}+\frac{(-1)^2}{2!}x'_ix'_j\,
\partial_i\partial_j\frac{1}{r} +\dots \\
&=&\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}x'_{i_1}\dots x'_{i_n}\partial_{i_1}\dots
\partial_{i_n}\frac{1}{r} .\label{exp1or}
\end{eqnarray}
Note que los términos con derivadas de la forma $\partial_{i_1}\cdots
\partial_{i_n}r^{-1}$ son funciones (relativamente) simples y \textit{conocidas}.
Por ejemplo:
\begin{eqnarray}
\partial_i\frac{1}{r}&=&-\frac{x_i}{r^3}, \\
\partial_i\partial_j\frac{1}{r}
&=& \frac{3x_ix_j}{r^5}-\frac{\delta_{ij}}{r^3} \\
\partial_i\partial_j\partial_k\frac{1}{r}
&=& \frac{3\left(x_i\delta_{jk}+x_j\delta_{ki}+x_k\delta_{ij}\right)}{r^5}
-\frac{15x_ix_jx_k}{r^7},
\end{eqnarray}
etc. Con esto, podemos escribir
\begin{equation} \label{eq3.2.3}
\frac{1}{|\vec{x}-\vec{x}'|}=\frac{1}{r}+\frac{x_ix'_i}{r^3}
+\frac{1}{2}\,x'_ix'_j\,\left(\frac{3x_ix_j}{r^5}-\frac{\delta_{ij}}{
r^3}\right)+O\left(x_i'^3\right).
\end{equation}
En general, el término de orden $n$, $\partial_{i_1}\cdots
\partial_{i_n}r^{-1}$, decrecerá con la distancia como $r^{-(n+1)}$.

Con la expansión (\ref{exp1or}) podemos reescribir la expresión
(\ref{perho}) para un potencial electrostático general (imponiendo $\phi=0$ en el infinito) como
\begin{eqnarray}
\phi(\vec x)&=&\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\frac{\rho(\vec x')}{
\left\vert \vec x-\vec x'\right\vert }dV'\\
&=&\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V \rho(\vec
x')\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}x'_{i_1}\dots x'_{i_n}\partial_{i_1}\cdots
\partial_{i_n}\frac{1}{r}dV'\\
&=&\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\left[\int_V
\rho(\vec x')\,x'_{i_1}\dots x'_{i_n}\,dV'\right]\partial_{i_1}\cdots
\partial_{i_n}\frac{1}{r}. \label{phimult}
\end{eqnarray}
Definiendo el momento multipolar de orden $n$ como el tensor de rango $n$ dado
por
\begin{equation}
\boxed{Q_{i_1\cdots i_n}:=\int_V \rho(\vec x)\,x_{i_1}\dots x_{i_n}\,dV,}
\end{equation}
podemos expresar un campo eléctrostático general por medio de la
\textit{expansión multipolar}
\begin{equation}
 \boxed{\phi(\vec
x)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\,Q_{ i_1\cdots
i_n}\,\partial_{i_1}\cdots\partial_{i_n}\frac{1}{r}.} \label{phimult2}
\end{equation}
En otras palabras, podemos descomponer el potencial electrostático en una suma
de términos de distinto orden en la expansión multipolar
\begin{equation}
 \boxed{\phi(\vec{x})=\sum_{n=0}^\infty\phi^{(n)}(\vec{x}),}
\end{equation}
donde $\phi^{(n)}(\vec{x})$ es la contribución multipolar de orden $n$,
definida por
\begin{equation}
\boxed{\phi^{(n)}(\vec{x}):=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(-1)^n}{n!}\,Q_{
i_1\cdots i_n}\,\partial_{i_1}\cdots\partial_{i_n}\frac{1}{r}.}
\end{equation}
Los primeros términos de esta expansión general son de la forma:
\begin{equation} \label{eq3.2.4}
\phi(\vec{x})=\phi^0(\vec{x})+\phi^{(1)}(\vec{x})+\phi^{(2)}(\vec{x})+
\ldots.
\end{equation}
El término {\em monopolar} es
\begin{equation} \label{eq3.2.5}
\phi^0(\vec{x})=\frac{1}{4\,\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r},
\end{equation}
donde $Q$, el \textit{momento monopolar}, es simplemente la carga total del sistema:
\begin{equation} \label{eq3.2.6}
Q=\int \rho(\vec{x})\,dV.
\end{equation}
El segundo término, el término {\em dipolar} es dado por
\begin{equation}
\phi^{(1)}(\vec{x}) =\frac{1}{4\,\pi\varepsilon_0}\,\frac{x_i\,p_i}{r^3},
\end{equation}
donde $p_i:=Q_i$ es el \textit{momento dipolar} del sistema:
\begin{equation} \label{eq3.2.8}
p_i:=\int x_i\,\rho(\vec{x})\,dV.
\end{equation}
La tercera contribución viene dada por el término {\em cuadrupolar}:
\begin{equation} \label{eq3.2.9}
\phi^{(2)}(\vec{x})=\frac{1}{4\,\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{2}\,Q_{ij}
\left(\frac{3\,x_i\,x_j}{r^5}-\frac{\delta_{ij}}{r^3}\right).
\end{equation}
El \textit{momento cuadrupolar} $Q_{ij}$ es dado por
\begin{equation}
Q_{ij}:=\int x_ix_j\,\rho(\vec{x})\,dV. \label{mom4}
\end{equation}
Con esto, la expansión multipolar del potencial es de la forma:
\begin{equation} \label{eq3.2.12}
\boxed{\phi(\vec{x})=\frac{1}{4\,\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r}+
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\vec{p}\cdot\vec{x}}{r^3}+
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{2}\,Q_{ij}\left(\frac{3\,x_i\,x_j}{
r^5}-\frac{\delta_{ij}}{r^3}\right)+O(r^{-4})}
\end{equation}
Podemos también encontrar una expansión multipolar para el campo eléctrico
simplemente derivando el potencial. Con esto, obtenemos
\begin{align} \label{eq3.2.12.1}
E_i(\vec{x}) =& \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{x_i}{r^3}+\frac{1}{
4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(3\,p_j\,x_j\,x_i-r^2\,p_i)}{r^5} \nonumber\\
& - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{2}Q_{jk}\left[
\frac{3\left(x_i\delta_{jk}+x_j\delta_{ki}+x_k\delta_{ij}\right)}{r^5}
-\frac{15x_ix_jx_k}{r^7}\right]
+O(r^{-5}) .
\end{align}

Observaciones:

\begin{itemize} 
\item El momento multipolar de orden $n$, $Q_{i_1\dots i_n}$ es un tensor simétrico de rango $n$ respecto a transformaciones ortogonales de coordenadas. Por eso, $Q_{i_1\dots i_n}$ tiene $(n+1)(n+2)/2$ componentes linealmente independientes.

\item Los momentos multipolares son cantidades \textit{aditivas} (o extensivas). Esto quiere decir que si se divide un sistema en dos partes (el volumen donde están contenidas las cargas, en dos volumenes más peque\~nos o, equivalentemente, la densidad de carga en la suma de dos densidades) entonces cada momento multipolar (de un orden dado) es la suma de los momentos multipolares de cada subsistema.

\item Note que los momentos multipolares \textbf{dependen en general de la
elección del origen}. Si se desplaza el origen del sistema coordenado de modo que el origen $O$ original tenga coordenadas $\vec{d}$ respecto al nuevo origen $O'$ entonces
$\vec{x}'=\vec{x}+\vec{d}$ y los nuevos momentos multipolares respecto al origen $O'$ están dados por:
\begin{eqnarray}
 Q'&=&Q,\\
Q'_i&=&Q_i+Qd_i,\\
Q'_{ij}&=&Q_{ij}+Q_id_j+Q_jd_i+Qd_id_j,
\end{eqnarray}
etc.
\end{itemize}

\subsubsection{Momento cuadrupolar sin traza}\label{MCSM}
El momento cuadrupolar (\ref{mom4}) es un tensor \textit{simétrico}, por lo
que tiene ${3\cdot (3+1)}/{2}=6$ componentes linealmente independientes (que
hay que calcular!). Sin embargo, debido a que este tensor siempre está
multiplicado en la expansión multipolar del potencial por
$\left({3\,x_i\,x_j}/{r^5}-{\delta_{ij}}/{r^3}\right)$, puede
verificarse que no todas las componentes de $Q_{ij}$ contribuyen a la
expansión multipolar. En efecto, debido a que la contracción
$\delta_{ij}\left({3\,x_i\,x_j}/{r^5}-{\delta_{ij}}/{r^3}\right)$ se
anula \textit{idénticamente}, es posible sumar un término proporcional a
$\delta_{ij}$ al momento cuadrupolar, sin por ello alterar la expansión
multipolar. En otras palabras, existe una libertad para redefinir el momento
cuadrupolar ya que $\tilde{Q}_{ij}:=Q_{ij}+\lambda\delta_{ij}$ puede ser
considerado como un momento cuadrupolar útil y legítimo. 

Una posibilidad sería elegir $\lambda\stackrel{!}{=}-Q_{ii}$, en cuyo caso obtendríamos
\begin{equation}
 \boxed{Q'_{ij}=\int
(x_ix_j-x_kx_k\delta_{ij})\,\rho(\vec{x})\,dV,}
\end{equation}
que, salvo un signo global, tiene la misma forma que el conocido tensor momento de inercia asociado a un cuerpo en rotación. En este sentido, el momento cuadrupolar eléctrico es el análogo al tensor momento de inercia en mecánica.

Sin embargo, es más común explotar la libertad para elegir $\lambda$ para definir el  \textit{momento cuadrupolar libre de traza}, definido tal que $\tilde{Q}_{ii}\equiv 0$. Esto equivale a considerar $\lambda\stackrel{!}{=}-Q_{ii}/3$, es decir, $\tilde{Q}_{ij}=Q_{ij}-Q_{kk}\,\delta_{ij}/3$ o,
más explícitamente:
\begin{equation}
 \boxed{\tilde{Q}_{ij}=\int
(x_ix_j-\frac{1}{3}x_kx_k\delta_{ij})\,\rho(\vec{x})\,dV.} \label{mom4st}
\end{equation}
La ventaja de usar este tensor es que, por ser libre de traza, sólo tiene 5
componentes linealmente independientes (que calcular, por ejemplo:
$\tilde{Q}_{11}$, $\tilde{Q}_{12}$, $\tilde{Q}_{13}$, $\tilde{Q}_{22}$,
$\tilde{Q}_{23}$, ya que $\tilde{Q}_{21}=\tilde{Q}_{12}$,
$\tilde{Q}_{31}=\tilde{Q}_{13}$, $\tilde{Q}_{32}=\tilde{Q}_{23}$ y
$\tilde{Q}_{33}=-\tilde{Q}_{11}-\tilde{Q}_{22}$) (pero, por otro lado, la integral que se necesita calcular es algo más complicada).

Además, el momento cuadrupolar (con o sin traza), por ser un tensor \textit{simétrico} de segundo rango, puede ser diagonalizado, es decir, es posible encontrar sus vectores (y valores) propios, que definen direcciones ``principales'', ortogonales entre si. En el sistema coordenado definido por estas tres direcciones principales el momento cuadrupolar adopta una forma diagonal.


\subsubsection{Monopolo ideal}
Una carga puntual es un ``monopolo ideal"\,, ya que (eligiendo el origen en la posición de la carga) el único momento distinto de cero es el momento monopolar. 

\subsubsection{Dipolo ideal}
Un ``dipolo ideal"\,(también llamado ``dipolo puntual'') es un sistema idealizado cuyo único momento multipolar eléctrico no nulo es el momento dipolar.

El sistema formado por una carga $q^{(1)}=-q$ y otra $q^{(2)}=+q$, separados una distancia $d$ tiene momento monopolar nulo, mientras que 
\begin{equation}
p_i=(-q)x^{(1)}_i+(+q)x^{(2)}_i=q(x^{(2)}_i-x^{(1)}_i)=qd_i,
\end{equation}
\begin{equation}
Q_{ij}=(-q)x^{(1)}_i x^{(1)}_j +(q)x^{(2)}_i x^{(2)}_j,
\end{equation}
\begin{equation}
Q_{ijk}=(-q)x^{(1)}_i x^{(1)}_jx^{(1)}_k +(q)x^{(2)}_i x^{(2)}_jx^{(2)}_k,
\end{equation}
etc. En el límite $\vec{d}\to\vec{0}$, pero tal que $\vec{p}$ sea finito (esto, por supuesto, requiere $q\to\infty$), tendremos que $Q_{ij}\to 0$, $Q_{ijk}\to 0$, y lo mismo ocurrirá para todo momento multipolar de orden superior  (las componentes del momento multipolar de orden $n$ son en este caso proporcionales a $qd^n=pd^{n-1}$).

\begin{equation}\label{phip}
\phi_{\vec{p}}(\vec{x})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{(x_j-x_j')p_j}
{|\vec{x}-\vec{x}'|^3},
\end{equation}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[height=4cm]{fig/fig-E-02.pdf}\hspace{1cm}\includegraphics[height=4cm]{fig/fig-campo-dipolo-electrico.pdf} 
\caption{Dipolo (dos cargas opuestas) versus dipolo ideal. Figuras creadas usando VectorFieldPlot \cite{VFP}.}
\label{fig-dipolos}
\end{center}
\end{figure}
\subsubsection{Cuadrupolo ideal}
$Q=0$ $p_i=0$, $Q_{ij}\neq 0$, $Q_{ijk}=0$, etc.

\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[height=4cm]{fig/fig-E-03.pdf}\hspace{1cm}\includegraphics[height=4cm]{fig/fig-campo-cuadrupolo-electrico-ideal.pdf} 
\caption{Cuadrupolo versus cuadrupolo ideal. Figuras creadas usando VectorFieldPlot \cite{VFP}.}
\label{fig-dipolos2}
\end{center}
\end{figure}
\newpage


\subsection{Distribuciones de carga en campos externos} \label{ed3_3}

En las secciones anteriores hemos considerado la expansión multipolar
\textit{generada} por una distribución compacta de carga
$\rho(\vec{x})$. Ahora discutiremos una situación distinta: consideraremos
una (peque\~na) distribución de cargas en un campo eléctrico
\textit{externo} (es decir, generado por alguna \textit{otra} distribución de
carga). En particular, calcularemos la energía potencial de la
distribución de carga en el campo externo dado, así como la fuerza y el
torque que el campo externo ejerce.

\subsubsection{Energía Potencial} \label{ed3_3_1}


Para evaluar esta integral, consideramos un \textit{punto representativo $P$ de la
distribución} con coordenadas $\vec{x}$ y un punto $P'$ cualquiera de la
distribución  (con coordenadas $\vec{x}+\vec{x}'$ respecto
al origen, ver figura) determinado por el vector $\vec{x}'$ respecto al punto
representativo $P$ de la distribución, y expandiremos los valores $\phi(P')$ en
una serie de Taylor en torno a $P$:
\begin{align} \label{eq3.3.3}
\phi(P') = &\ \phi(\vec{x}+\vec{x}')\\
= & \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}x'_{i_1}\cdots
x'_{i_n}\left.(\partial_{i_1}\cdots\partial_{i_n}\phi)\right|_{\vec{x}'=\vec{0}} \\
= &\ \left.\phi\right|_{\vec{x}'=\vec{0}}+x'_i\left.(\partial_i\phi)\right|_{\vec{
x}'=\vec{0}}+\frac{1}{2}x'_ix'_j\left.(\partial_i\partial_j\phi)\right|_{\vec{x}
'=\vec{0}}+\cdots \nonumber\\
& +\frac{1}{n!}x'_{i_1}\cdots
x'_{i_n}\left.(\partial_{i_1}\cdots\partial_{i_n}\phi)\right|_{\vec{x}'=\vec{0}}
+\cdots\\
= &\ \phi(\vec{x})-x'_iE_i(\vec{x})-\frac{1}{2}x'_ix'_j(\partial_iE_j)(\vec{x}
) \nonumber \\
& -\cdots-\frac{1}{n!}x'_{i_1}\cdots
x'_{i_n}(\partial_{i_1}\cdots\partial_{i_{n-1}}E_{i_n})(\vec{x})+\cdots .
\end{align}

Con esto, podemos escribir (\ref{Urhophiext}) como
\begin{eqnarray}
 U&=&\int\rho(P')\,\phi(P')\,dV'\\
&=&\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\left[\int\rho(P')x'_{i_1}\cdots
x'_{i_n}\,dV'\right]\left.(\partial_{i_1}\cdots\partial_{i_n}\phi)\right|_{\vec{x}'=\vec{0}}\\
%&=&\left[\int\rho(\vec{x}')
%\phi(\vec{x})-\left[\int\rho(\vec{x}')\,
%x'_i\,dV'\right] E_i(\vec{x})-\frac{1}{2}\left[ \int\rho(\vec{x}')\,
%x'_ix'_j\,dV'\right](\partial_iE_j)(\vec{x})
%\nonumber\\
%&&-\cdots-\frac{1}{n!}\left[ \int\rho(\vec{x }')\, x'_{i_1}\cdots
%x'_{i_n}\,dV'\right] (\partial_{i_1}
%\cdots\partial_{i_{n-1}}E_{i_n})(\vec{x})+\cdots \\
&=&\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}Q_{i_1\cdots i_n}(\partial_{i_1}\cdots\partial_{i_n}\phi)(\vec{x})\\
&=&Q\phi(\vec{x})-Q_iE_i(\vec{x})-\frac{1}{2}
Q_{ij}(\partial_iE_j)(\vec{x}) \nonumber \\
&& -\cdots-\frac{1}{n!}Q_{i_1\cdots i_n}(\partial_{i_1}
\cdots\partial_{i_{n-1}}E_{i_n})(\vec{x})+\cdots .
\end{eqnarray}
Por lo tanto, obtenemos que la energía potencial de una distribución de
carga, caracterizada por sus momentos multipolares, en un \textit{campo externo}
es dado por
\begin{equation} \label{eq3.3.4}
\boxed{U=Q\,\phi(\vec{x})-\vec{p}\cdot\vec{E}(\vec{x})-\frac{1}{2}\,Q_{ij}
\,\partial_iE_j(\vec{x})+\cdots .}
\end{equation}

El primer término de esta expansión, la contribución monopolar, es
equivalente a la de una carga \textit{puntual} en un potencial externo. El
término siguiente (dipolar) representa la energía potencial de un dipolo
ideal en un campo eléctrico externo. Note que este término es mínimo cuando
el momento dipolar es paralelo al campo eléctrico externo (y es, en general,
proporcional al coseno del ángulo entre $\vec{p}$ y $\vec{E}$). El término
cuadrupolar es distinto de cero sólo cuando el campo es inhomogéneo. Note que
en esta expresión también es posible usar un momento cuadrupolar redefinido
como se discutió en la sección (\ref{MCSM}). En particular puede usarse el
momento cuadrupolar sin traza. La energía potencial calculada usando distintos
momentos cuadrupolares equivalentes es la misma puesto que un término
proporcional a $\delta_{ij}$ contribuira con un término proporcional a
$\delta_{ij}(\partial_iE_j)=\partial_iE_i$, que es cero en virtud de la ley de
Gauss y el hecho que $\vec{E}$ describe un \textit{campo eléctrico externo},
es decir, un campo generados por fuentes fuera de la región bajo
consideración.


\subsubsection{Fuerza}  \label{ed3_3_2}

Una carga puntual $q$ experimenta una fuerza
$\vec{F}(\vec{x})=q\,\vec{E}(\vec{x})$ cuando está situada en
un punto donde existe un campo externo $\vec{E}(\vec{x})$. Como consecuencia,
la fuerza total sobre una distribución con densidad $\rho$ en un campo
\textit{externo} puede escribirse como
\begin{equation} \label{eq3.3.7}
F_i=\int \rho(P')\,E_i(P')\,dV'.
\end{equation}
Expandimos $E_i(P')$ en serie de Taylor, de forma similar a como lo
hicimos en la sección anterior con el potencial
\begin{equation} \label{eq3.3.7.1}
E_i(P')=E_i(\vec{x})+x'_j(\partial_jE_i)(\vec{x})+\frac{1}{
2}x'_jx'_k(\partial_j\partial_kE_i)(\vec{x})
+\cdots+\frac{1}{n!}x'_{i_1}\cdots
x'_{i_n}(\partial_{i_1}\cdots\partial_{i_n}E_i)(\vec {x})+\cdots .
\end{equation}
Con esto, podemos reescribir (\ref{eq3.3.7}) como
\begin{eqnarray}
F_i&=& \int
\rho(P')\,\left[E_i(\vec{x})+x'_j(\partial_jE_i)(\vec{x})+\frac{1}{
2}x'_jx'_k(\partial_j\partial_kE_i)(\vec{x}) \right.\nonumber\\
&& \quad\qquad\qquad \left. +\cdots+\frac{1}{n!}x'_{i_1}\cdots
x'_{i_n}(\partial_{i_1}\cdots\partial_{i_n}E_i)(\vec {x})+\cdots\right] dV' \\
&=&
Q\,E_i(\vec{x})+p_j(\partial_jE_i)(\vec{x})+\cdots+\frac{1}{n!}Q_{i_1\cdots i_n}
(\partial_{i_1}\cdots\partial_{i_n}E_i)(\vec {x})+\cdots .\label{eq3.3.8}
\end{eqnarray}
El primer término, $Q\vec{E}(\vec{x})$, es nuevamente la contribución monopolar correspondiente a la fuerza sobre una carga puntual. La contribución
dipolar es ahora proporcional al gradiente del campo eléctrico. Usando el hecho que el campo electrostático satisface
$\partial_iE_j=\partial_jE_i$ podemos expresar el término dipolar como $\partial_i(p_jE_j)$,
es decir.
\begin{equation} \label{eq3.3.12}
\boxed{\vec{F}(\vec{x}) =
Q\vec{E}(\vec{x})-\vec{\nabla}\left(-\vec{p}\cdot\vec{E}(\vec{x})\right)+\cdots.
}
\end{equation}
Note que el segundo término es el gradiente de la contribución dipolar a la
energía potencial de la distribución.

\subsubsection{Torque}  \label{ed3_3_3}

Análogamente al caso de la fuerza total, podemos calcular el \textit{torque
neto} ejercido por el campo externo sobre la distribución, respecto del punto
representativo que hemos considerado:
\begin{equation}
\vec{\tau} = \int \rho(P')\,\vec{x}'\times\vec{E}(P')\,dV' .
\end{equation}
En componentes, y usando la expansión (\ref{eq3.3.7.1}) obtenemos
\begin{eqnarray}
\tau_i &=& \varepsilon_{ijk}\int\rho(P')x'_jE_k(P')\,dV' \\
&=&\varepsilon_{ijk}\int\rho(P')x'_j\left[
E_k(\vec{x})+x'_l(\partial_lE_k)(\vec{x})+\frac{1}{2}
x'_lx'_m(\partial_l\partial_mE_k)(\vec{x}) \right.\nonumber\\
&&\quad\qquad\qquad\qquad\left.+\cdots+\frac{1}{n!}x'_{i_1}\cdots
x'_{i_n}(\partial_{i_1}\cdots\partial_{i_n}E_k)(\vec
{x})+\cdots\right] \,dV' \\
&=&\varepsilon_{ijk}\left[p_j
E_k(\vec{x})+Q_{jl}(\partial_lE_k)(\vec{x})+\frac{1}{2}
Q_{jlm}(\partial_l\partial_mE_k)(\vec{x})\right.\nonumber\\
&&\quad\qquad\qquad\qquad\left.+\cdots+\frac{1}{n!}Q_{ji_1\cdots i_n}(\partial_{i_1}\cdots\partial_{i_n}
E_k)(\vec
{x})+\cdots\right] .
\end{eqnarray}
Por lo tanto,
\begin{equation}
\label{eq3.3.14}
\boxed{\vec{\tau}=\vec{p}\times\vec{E}(\vec{x})+\cdots. }
\end{equation}
Es posible expresar la primera contribución (dipolar) al torque como un
``gradiente'' del término dipolar de la energía potencial
$U_{\vec{p}}=-\vec{p}\cdot\vec{E}$, esta vez, sin embargo, no respecto a
variaciones de la posición $\vec{x}$ de la distribución, sino con respecto a
cambios en la orientación del momento dipolar respecto al campo
externo. La magnitud del torque es dada por
\begin{eqnarray}
\tau &=& pE\sin\theta \nonumber \\
&=& -\frac{d}{d\theta}\,\left(pE\cos\theta\right)\\
&=&\frac{dU_{\vec{p}}}{d\theta}.  \label{eq3.3.15}
\end{eqnarray}

\newpage


\newpage

\section{Electrostática macroscópica}
Hasta ahora hemos estudiado las propiedades de los campos
electrostáticos \textit{en el vacío} y en el interior de \textit{condutores ideales}.
Estamos ahora interesados en las propiedades el campo eléctrico \textit{macroscópico} en el interior de un material \textit{aislante}. El término macroscópico se refiere al campo promedio en una peque\~na región que, sin embargo, es grande comparada con el tama\~no de las moléculas que constituyen el material.

Consideraremos entonces materiales aislantes, también llamados \textit{dieléctricos}, en los que las cargas internas no tienen la
libertad de desplazarse distancias macroscópicas (conducir) en presencia de un
campo eléctrico aplicado, sino que están confinadas por la estructura
atómica/molecular del material. La mayoría de los materiales son, en buena
aproximación, dieléctricos.

En presencia de un campo eléctrico los dieléctricos \textit{redistribuyen sus cargas} constituyentes. éstas no pueden desplazarse distancias macroscópicas,
como ocurre en los conductores, sino sólo distancias del orden de magnitud determinado por su estructura molecular.
Estos peque\~nos desplazamientos de carga tienen, sin embargo, consecuencias
que se acumulan hasta ser perceptibles a escalas macroscópicas.
Concretamente, en presencia de un campo eléctrico, el material
se \textit{polariza}.
El campo eléctrico que causa (el cambio en) la polarización puede ser un campo ``externo'' (producido por ``cargas externas''\footnote{También llamadas ``cargas libres'' o ``cargas no ligadas''.}, que no forman parte
de la estructura atómica/molecular característica del medio).
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=4cm]{fig/fig-dielectrico-01.pdf}}
\caption{Un material dieléctrico se polariza en presencia de un campo externo.}
\label{diel01}
\end{figure}

El campo eléctrico total (``EL''\, campo eléctrico) es influenciado por
la polarización del medio. Modelaremos este campo eléctrico
(macroscópico) $\vec{E}$ como la suma del campo
producido por las cargas externas y el campo producido por la distribución
de \textit{cargas de polarización} (descrita por el vector de polarización $\vec{P}$) del medio.

\subsection{Vector y cargas de Polarización}

Se define el \textit{vector de polarización} como la \textit{densidad de
momento dipolar} (momento dipolar por unidad de volumen),
\begin{equation}\label{defP}
\vec{P}(x):= ``\lim_{\Delta V\to 0}" \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta V},
\end{equation}
donde $\Delta\vec{p}$ es el \textit{momento dipolar total de las cargas del material contenidas en el volumen} $\Delta V$. La región con volumen $\Delta V$ se considera centrada en el punto $\vec{x}$, suficientemente peque\~na desde el punto de vista macroscópico, pero grande comparada con la escala  determinada por la estructura atómica/molecular del material. Equivalentemente, el vector de polarización es definido tal que el momento dipolar $d\vec{p}$ en un elemento de volumen (macroscópico) $dV$ es dado por $d\vec{p}=\vec{P}(\vec{x})dV$.

Como consecuencia de la definición anterior, el momento dipolar
total de las cargas contenidas en un volumen finito $V$ es dado por
\begin{equation}\label{pintPdV}
 \vec{p}_V=\int_V \vec{P}(x)\,dV.
\end{equation}
Por otro lado, sabemos que el potencial generado por un dipolo ideal de momento dipolar $\vec{p}$ ubicado en un punto con coordenadas $\vec{x}'$ es de la forma \eqref{phip}. Luego, el potencial generado por una peque\~na región de un medio polarizado con elemento de volumen $dV'$ y polarización $\vec{P}$ es dada por
\begin{equation}
d\phi(x)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{(x_j-x_j')P_j(x')\,dV'}{|\vec{x}-\vec{
x}'|^3}.
\end{equation}
De esta forma, si el sistema contiene además cargas libres en $dV'$ entonces
\begin{equation}
d\phi(x)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\rho_{\rm
ext}(x')}{|\vec{x}-\vec{x}'|}dV'+\frac {1}{
4\pi\varepsilon_0}\frac{P_i(x')(x_i-x_i')}{|\vec{x}-\vec{x}'|^3}dV'.
\end{equation}
Por lo tanto, el potencial (macroscópico, total), de acuerdo a nuestro modelo, es dado por
\begin{equation}
\boxed{\phi(x)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\left[\frac{\rho_{\rm
ext}(x')}{|\vec{x}-\vec{x}'|}+\frac{P_i(x')(x_i-x_i')}{|\vec{x}-\vec{x}'|^3}\right]dV'.}
\end{equation}
Usando la identidad (\ref{id01}) podemos escribir
\begin{align}
\frac{P_i(x')(x_i-x_i')}{|\vec{x}-\vec{x}'|^3}  &
=P_i(x')\partial_i'\left(  \frac{1}{|\vec{x}-\vec{x}'|}\right)\\
&=\partial_i'\left(\frac{P_i(x')}{|\vec{x}-\vec{x}'|}\right)-\frac{
(\partial_i'P'_i)(x')} {|\vec{x}-\vec{ x}'|}.
\end{align}
De esta forma, considerando que la integral sobre los términos que dependen de la polarización están confinados al volumen $V$ del material (lo que no necesariamente es así para el término conteniendo las cargas libres), podemos escribir
\begin{align}
\phi(x)& =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho_{\rm ext}(x')}{|x_i-x_i'|}dV'-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\frac{1}
{|\vec{x}-\vec{x}'|}\partial_i'P_idV'+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{
\partial V}\frac{P_i(x')}{|\vec{x}-\vec{x}'|}\,dS'_i \\
& =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho_{\rm ext}(x')}{|x_i-x_i'|}dV'+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\frac{\rho_P(x')}{|x_i-x_i'|}dV'+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{
\partial V}\frac{\sigma_P(x')}{|\vec{x}-\vec{x}'|}\,dS' .
\end{align}
La expresión anterior muestra que el campo (macroscópico) total es
\textit{equivalente} al campo producido por una densidad volumétrica de carga total,
\begin{equation}
\rho_{\rm T}:=\rho_{\rm ext}+\rho_P, \label{rhotot}
\end{equation}
donde
\begin{equation}
\boxed{\rho_P:=-\vec{\nabla}\cdot\vec{P},}
\end{equation}
es la \textit{densidad (volumétrica) de carga de polarización}, (definida en cada punto del material), más una
\textit{densidad de carga de polarización de superficie},
\begin{equation}
\boxed{\sigma_P:=\vec{P}\cdot\hat{n},}
\end{equation}
distribuida en la superficie $S=\partial V$ del dieléctrico.

Note que la carga total de polarización, tal como se espera, es nula:
\begin{equation}
 Q_P=\int_V\rho_P\,dV+\oint_{\partial V} \sigma_P\,dS\equiv 0,
\end{equation}
en virtud del teorema de Gauss.

\subsection{Desplazamiento eléctrico}
Usando (\ref{rhotot}) en la ley de Gauss, podemos escribir
\begin{align*}
\vec\nabla\cdot\vec{E} &=\frac{1}{\varepsilon_0}\rho_T \\
&=\frac{1}{\varepsilon_0}\left( \rho_{\rm ext}-\vec\nabla\cdot\vec{P}\right).
\end{align*}
Luego,
\begin{equation}
 \vec\nabla\cdot\left(\vec{E}+\frac{1}{\varepsilon_0}\vec{P}\right)=\frac{\rho_{
\rm ext}(x)}{\varepsilon_0}.
\end{equation}
Definimos el \textit{vector de desplazamiento eléctrico} (también llamado
\textit{excitación eléctrica} o \textit{inducción eléctrica}) como
\begin{equation}\marginnote{Vector Desplazamiento}
 \boxed{\vec{D}(\vec{x}):=\varepsilon_0\vec{E}(\vec{x})+\vec{P}(\vec{x}),} \label{defD}
\end{equation}
de modo que
\begin{equation}
\boxed{\vec{\nabla}\cdot\vec{D}=\rho_{\rm ext}.} \label{divD}
\end{equation}
Las unidades del vector desplazamiento son de carga por unidad de área: 
$[\vec{D}]=[\vec{P}]=[\sigma]\stackrel{\text{
S.I.}}{=}{C}/{m^2}$.

La utilidad de usar $\vec{D}$ en lugar de $\vec{E}$ en esta ``ley de Gauss"
\,\eqref{divD} es que esta relación \textit{sólo involucra explícitamente a las cargas externas} (que son usualmente conocidas y/o controlables). Por ejemplo, como consecuencia de (\ref{divD}) tenemos que
\begin{equation}
 \boxed{\oint_S \vec{D}\cdot d\vec{S}=q_{\rm ext}.} \label{GaussD}
\end{equation}

\subsubsection{Ejemplo: Esfera dieléctrica isótropa y carga central}
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=4cm]{fig/fig-dielectrico-y-carga-01.pdf}}
\caption{Un material dieléctrico isótropo con una carga central.}
\label{diel02}
\end{figure}
Consideremos una carga (externa) $Q$ situada en el centro de una
esfera dieléctrica \textit{isótropa}, ver figura \ref{diel02}, podemos encontrar el vector de desplazamiento aplicando (\ref{GaussD}). Debido a la simetría del sistema (ya que asumimos que el dieléctrico es \textit{isótropo}, ver secciones \ref{sec:aniso} y \ref{sec:iso}), tendremos que $\vec{D}(\vec{x})=D(r)\hat{r}$. Eligiendo una superficie Gaussiana esférica de radio $r$ centrada en la carga $Q$, encontramos entonces que
\begin{equation}
 D(r)\oint_S dS=D(r)4\pi r^2=Q,
\end{equation}
y por lo tanto
\begin{equation}
 \vec{D}(\vec{x})=\frac{Q}{4\pi}\frac{1}{r^2}\,\hat{r}.
\end{equation}


\subsection{Relación Constitutiva, susceptibilidad, permeabilidad}

Cada medio se caracteriza por la polarización $\vec{P}(\vec{x})$ que presenta,
dados los campos/cargas externas. Esta polarización $\vec{P}(\vec{x})$ depende
entonces de los campos/cargas externas y de la constitución atómica/molecular
del material (y en principio de otras propiedades, como la temperatura,
presión, etc). 
%Equivalentemente, esta información acerca de las propiedades
%del material puede expresarse en la relación entre el campo eléctrico
%$\vec{E}(\vec{x})$ y el vector desplazamiento eléctrico $\vec{D}(\vec{x})$.

En un elemento de volumen dado del medio éste modificará su distribución microscópica de cargas como respuesta al campo eléctrico ``total"\,que actúa sobre este elemento, hasta finalmente adoptar un cierta polarización. Podemos, por tanto, considerar que $\vec{P}=\vec{P}(\vec{E})$ o, equivalentemente
$\vec{D}=\vec{D}(\vec{E})$. Esta última relación es llamada
\textit{relación constitutiva} del medio. El problema es que el campo
$\vec{E}(\vec{x})$ en un punto dado (con vector de polarización $\vec{P}(\vec{x})$ y
por tanto desplazamiento $\vec{D}(\vec{x})$) depende también de cómo se
polariza el medio \textit{en otras regiones}, e.d., $\vec{E}(\vec{x})$ depende
en general de\footnote{Matemáticamente, esto significa que, en
general, $\vec{E}$ es un \textit{funcional}, una ``función de funciones''\, o
una ``función no-local''\, de $\vec{P}$.} $\vec{P}(\vec{x}')$.
En otras palabras, en general la polarización que se presentará en un medio es fruto de la  \textit{respuesta colectiva} del material a los campos externos.

 Vemos entonces que calcular $\vec{P}(\vec{x})$ desde ``primeros principios'' es en gerenal difícil y requiere conocer los detalles de la estructura del material en estudio.

Existe una gran variedad de medios materiales con propiedades eléctricas
diferentes e interesantes. Existen por ejemplo medios que tienen \textit{polarización
no nula aún en ausencia de campos/cargas externas}. Estos medios son conocidos
como \textit{electretos} (análogos eléctricos de los imánes permanentes), y 
\textit{ferroeléctricos} (que presentan polarización no nula bajo una cierta
temperatura crítica, de Curie, análogamente a los ferromagnetos). Un ejemplo
de material ferroeléctrico es el $BaTiO_3$ (\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Barium_titanate}{titanato de bario}), que exhibe un momento dipolar eléctrico no nulo a temperaturas bajo $120^{\rm o}\,C$. Un ejemplo de electreto es el cuarzo ($SiO_2$, \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Silicon_dioxide}{dióxido de Silicio}), que presenta \href{https://es.wikipedia.org/wiki/Piezoelectricidad}{\textit{propiedades piezoeléctricas}}.

Es útil además distinguir entre distintos tipos de polarización, dependiendo del mecanismo que gobierne dicha propiedad: \textit{polarización electrónica}, p.ej. cuando un átomo se ``deforma"\,en presencia de un campo externo; \textit{polarización iónica}, causada por arreglo de iones (p.ej. $NaCl$); \textit{polarización polar} que se manifiesta en los gases (cuando la
temperatura aumenta, disminuye la polarización porque las moléculas se
``desordenan").

Más aún, en algunos materiales (``no-lineales''\,) la respuesta
(polarización) del material puede depender no-linealmente del campo eléctrico.

Sin embargo, existe una gran variedad de materiales que, desde el punto de
vista macroscópico, pueden ser modelados adecuadamente (es decir, con \textit{precisión suficiente} en la mayoría de las situaciones) por una relación lineal entre $\vec{D}$ y $\vec{E}$. Un \textit{material lineal}, pero en general \textit{no-local}, puede describirse a
través de una relación de la forma
\begin{equation}
D_i[\vec{E}](\vec{x},t)=\int
f_{ij}(\vec{x},\vec{x}',t,t')\,{E}_j(\vec{x}',t')\,dV' dt',
\end{equation}
donde $f_{ij}(\vec{x},\vec{x}',t,t')$ es un cierto tensor que describe las
propiedades del medio. Como la polarización y por tanto el vector
desplazamiento en un punto $\vec{x}$ del medio están influenciadas en forma
más determinante por lo que le ocurre al material en la inmediata vecindad de
$\vec{x}$ es de esperar que la función $f_{ij}(\vec{x},\vec{x}',t,t')$ sea
concentrada en torno a $\vec{x}$, es decir, que decaiga rápidamente para
$|\vec{x}'-\vec{x}|\gg d$ donde $d$ es la escala característica de la
estructura microscópica del medio.

Por otro lado, existen muchos casos en que es \textit{suficiente} considerar una
\textit{relación constitutiva local} en la que el vector desplazamiento en un
punto dado puede modelarse como dependiendo exclusivamente del valor del campo
eléctrico \textit{en el mismo punto} (macroscópico), es decir
$\vec{D}(\vec{x})=\vec{D}(\vec{E}(\vec{x}))$ o, equivalentemente
$\vec{P}(\vec{x})=\vec{P}(\vec{E}(\vec{x}))$.

En un material descrito por una relación constitutiva local podemos considerar
la dependencia de $\vec{P}$ con $\vec{E}$ a través de una expansión en serie
de la forma:
\begin{equation}\label{expP}
P_i(x)=P_i(E_j(x))=(P_i)_{\vec{E}=\vec{0}}
+E_j(\partial_jP_i)_{\vec{E}=\vec{0}}+\frac{1}{2}
E_jE_k(\partial_j\partial_k P_i)_{\vec{E}=\vec{0}}+\cdots,
\end{equation}
que esperamos sea útil para campos eléctricos suficientemente débiles (en el
presente contexto sólo podemos saber \textit{a posteriori} qué tan débil
requiere ser el campo). Note que en el lado derecho de (\ref{expP}) las derivadas $\partial_i$ denotan derivadas respecto a la componente $i$-ésima del campo eléctrico, es decir $\partial_iP_j={\partial P_j}/{\partial E_i}$, etc.. Las cantidades $(P_i)_{\vec{E}=\vec{0}}$,
$(\partial_jP_i)_{\vec{E}=\vec{0}}$,
$(\partial_j\partial_k P_i)_{\vec{E}=\vec{0}}$, etc. son
tensores (cartesianos) que asumen diferentes valores para cada material y pueden ser
considerados como parámetros (a determinar). Con esto, podemos escribir
\begin{equation}
\boxed{P_i(x)={\cal A}_i+{\cal A}_{ij}E_j+{\cal A}_{ijk}
E_jE_k+\cdots.}
\end{equation}
En general, si el material es \textit{inhomogéneo} (por ejempo, si está formado por
capas de distintos materiales), los tensores ${\cal A}_i$, ${\cal A}_{ij}$, ${\cal A}_{ijk}$, etc. dependerán de la posición. Para materiales no-ferroeléctricos (la gran mayoría) tenemos que ${\cal A}_i=0$.



\subsection{Medios lineales anisótropos}\label{sec:aniso}

Adicionalmente, si la polarización de un material es descrita apropiadamente
por una relación lineal, como ocurre en el caso de campos eléctricos
suficientemente débiles, tendremos
\begin{equation}
\boxed{P_i(x)=\varepsilon_0\chi_{ij}(x)E_j(x),} \label{rcml}
\end{equation}
entonces decimos que el medio es \textit{lineal}. El tensor $\chi_{ij}$ es
llamado \textit{tensor de susceptibilidad eléctrica} del medio.  El factor $\varepsilon_0$ es incluido de modo que $\chi_{ij}$ es un tensor adimensional. En este caso,
usando (\ref{defD}) y (\ref{rcml}), tenemos que
\begin{equation}\label{rclai}
\boxed{D_i(x)=\varepsilon_{ij}(x)E_j(x)=\varepsilon_0\,\kappa_{ij}(x)E_j(x),}
\end{equation}
donde hemos definido el \textit{tensor de permitividad} del medio
$\varepsilon_{ij}$, por
\begin{equation}
\varepsilon_{ij}:=\varepsilon_0(\delta_{ij}+\chi_{ij})
\end{equation}
y, alternativamente,  el \textit{tensor dieléctrico},
\begin{equation}
\kappa_{ij}:=\frac{1}{\varepsilon_0}\varepsilon_{ij}=\delta_{ij}+\chi_{ij},
\end{equation}
que tiene la ventaja de ser una cantidad adimensional.

Es posible probar por
argumentos energéticos que si el medio no es disipativo (no existen mecanismos
de transferencia de energía del campo eléctrico a otras formas de energía)
entonces necesariamente $\chi_{ij}$ (y por tanto $\varepsilon_{ij}$ y
$\kappa_{ij}$) es un tensor \textit{simétrico} y que posee, por lo
tanto, 6 componentes independientes. La descripción de las
propiedades de un medio lineal a través de un tensor de susceptibilidad
eléctrica incluye el caso en que el medio sea \textit{anisótropo}, es decir,
que sus propiedades no sean invariantes bajo rotaciones o, en otras palabras,
que posea ciertas \textit{direcciones preferentes}. En un medio anisótropo, la
polarización no será en general paralela al campo eléctrico (excepto para las
direcciones preferentes dadas por las direcciones principales. Ver sección
\ref{secDP}.), esto como
resultado de la estructura microscópica del material (típicamente, cristales),
que tienen como consecuencia que el material se polarize en algunas direcciones
más fácilmente que en otras.


Note que en el caso más general en que se consideran campos eléctricos dependientes del tiempo (esto es necesario, por ejemplo, en el caso de propagación de ondas electromagnéticas), aún cuando un medio pueda considerarse lineal y local respecto a su dependencia con la posición, la relación constitutiva es de la forma
\begin{equation}
D_i(x,t)=\int f_{ij}(t,t')E_j(x,t')\,dt'.
\end{equation}
En estos casos es conveniente considerar las \textit{transformadas de Fourier temporal} de los campos, es decir $\tilde{D}_i(x,\omega)$, $\tilde{E}_i(x,\omega)$, etc., ya que permiten escribir la relación constitutiva como
\begin{equation}\label{RELtilde}
\tilde{D}_i(x,\omega)=\tilde{\varepsilon}_{ij}(x,\omega)\tilde{E}_j(x,\omega). 
\end{equation}
Comparando \eqref{RELtilde} con \eqref{rclai} vemos que en el caso más general, el tensor $\tilde{\varepsilon}_{ij}(x,\omega)$ juega un rol análogo a $\varepsilon_{ij}$ en \eqref{rclai} y también es llamado, por esta razón, el tensor dieléctrico del medio. Note, sin embargo, que este tensor \textit{asume valores complejos y depende en general de la frecuencia} $\omega$.


\subsection{Medios lineales isótropos}\label{sec:iso}
Si el material es isótropo, es decir, si éste no posee ninguna dirección
preferente, la polarización debe necesariamente ser paralela al campo
eléctrico, independientemente de la dirección de este último. Esta condición requiere que el tensor de susceptibilidad sea proporcional al tensor identidad,
\begin{equation}
\chi_{ij}=\chi\,\delta_{ij},
\end{equation}
de modo que
\begin{equation}
\vec{P}=\varepsilon_0\chi\vec{E}.
\end{equation}
Muchos materiales presentan propiedades de polarización independientes de
la dirección del campo eléctrico, es decir, son isótropos. Por ejemplo, los
gases, líquidos (excepto los, así llamados, \textit{cristales liquidos}), sólidos amorfos (plásticos, vidrio).
Los medios no-lineales, pero isótropos, pueden ser descritos usando
$\vec{P}=\varepsilon_0\chi(|\vec{E}|)\vec{E}$.

En este curso, a menos que se explicite lo contrario, consideramos siempre
materiales lineales, isótropos y homogéneos. En este caso, es suficiente
introducir la (``constante de''\,) permitividad y/o la constante dieléctrica
por
\begin{equation}
\varepsilon:=\varepsilon_0(1+\chi), \qquad
\kappa:=\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}=1+\chi.
\end{equation}
Note que en un medio polarizable es de esperar que $\chi>0$, de modo que
$\varepsilon>\varepsilon_0$ o, equivalentemente, $\kappa>1$. El vacío puede ser
considerado como un ``medio isótropo''\, con $\chi=0$ y $\kappa=1$, es decir, no polarizable.
Recuerde también que el índice de refracción de la mayoría de los medios
(``no-magnéticos''\,) es dado por $n\approx\sqrt{\kappa}$.
\begin{table}[!h]
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c}
Material &   $\kappa$ \\ \hline\hline
Vacío & 1 \\
Aire (seco, $0^{\rm o}$C, 1 bar)  & 1,00059 \\
Agua ($110^{\rm o}$C, 1 bar)  & 1,0126 \\
Agua ($20^{\rm o}$C) &  80,0 \\
Hielo ($-30^{\rm o}$C) &  99 \\
$SrTiO_3$ (cristal, $10$K)  & 12.000 \\
\end{tabular}
\caption{Algunos materiales isótropos y sus constantes dieléctricas.}
\end{center}
\end{table}

\subsection{Ecuación de Poisson y su generalización}

Usando (\ref{divD}) y (\ref{E=nablaphi}) encontramos la generalización de la
ecuación de Poisson para el potencial en un dieléctrico lineal y local:
\begin{equation}
 \boxed{\partial_i\left(\kappa_{ij}\,\partial_j \phi\right)
=-\frac{1}{\varepsilon_0}\rho_{\rm ext}.}
\end{equation}
Para un material homogéneo e isótropo, esta ecuación se reduce a
\begin{equation}\label{Poissond}
 \boxed{\nabla^2\phi=-\frac{1}{\varepsilon}\rho_{\rm ext},}
\end{equation}
que tiene la misma forma (matemáticamente, es la \textit{misma} ecuación) que
en caso del campo en el vacío ($\varepsilon=\varepsilon_0$). Finalmente, en
regiones fuera de cargas externas (!`\,pero \textit{no} de cargas de
polarización!), el potencial satisface la ecuación de Laplace. Como
consecuencia, es posible usar las técnicas conocidas para solucionar esta ecuación, por ejemplo, expansión en funciones especiales, o funciones de Green, en el caso de los dieléctricos.
Como veremos a continuación, una diferencia importante respecto al caso en el
vacío será la implementación de las condiciones de borde o frontera.


\subsection{Direcciones principales de un medio anisótropo}\label{secDP}

Como vimos, en un medio anisótropo, el campo eléctrico no tiene en general
la misma dirección que el vector desplazamiento.
Existen, sin embargo, direcciones ``especiales''\, a lo largo de las cuales el
campo eléctrico sí tiene la misma dirección que la polarización. Esto significa
que, si $\hat{n}$ es una de estas direcciones, conocidas como \textit{direcciones
principales} del material, entonces $\vec{E}=E\hat{n}$ y $\vec{D}=D\hat{n}$.
Insertando estas condiciones en (\ref{rclai}) obtenemos que
\begin{equation}
\kappa_{ij}\,\hat{n}_j= \lambda\,\hat{n}_i, \qquad D=\varepsilon_0\lambda E.
\end{equation}
Vemos de aquí que las direcciones principales corresponden a los vectores
propios de la matriz  $\kappa_{ij}$, mientras que el valor propio $\lambda$ es
el valor de la constante dieléctrica del material a lo largo de aquella
dirección principal. Como la matriz $\kappa_{ij}$ es real y simétrica, es
posible encontrar tres vectores propios ortonormales, es decir, una base
ortonormal formada por las direcciones principales del material. Existen
distintos casos particulares e interesantes de materiales anisótropos
correspondiendo a si los valores propios son todos diferentes o iguales. Si
todos los valores propios son iguales, el material es isótropo, puesto que en
ese caso $\kappa_{ij}=\lambda\,\delta_{ij}$. Si dos valores propios son iguales
y uno diferente, se dice que el material es \textit{uniaxial} (puesto que
tienen una dirección distintiva, aquella descrita por el vector propio del
valor propio distinto a los otros dos. Esta dirección es llamada \textit{eje
óptico}). Un ejemplo de material uniaxial natural es la Calcita ($CaCO_3$). En
materiales uniaxiales la propagación de la luz presenta el fenómeno llamado
\textit{birefringencia}, en los que la luz en su interior se propaga, en
general, por dos trayectorias diferentes (rayo ``ordinario''\, y
``extraordinario'') correspondientes a dos índices de refracción diferentes.
Además, es posible inducir anisotropía (y por tanto, en general,
birefringencia), comprimiendo un material en una dirección dada, o
con un campo eléctrico intenso externo (\textit{efecto Kerr}). Finalmente, si
los tres valores propios del tensor dieléctrico son diferentes, entonces el
material (típicamente un cristal) es llamado \textit{biaxial}.

\begin{table}[!h]
\begin{center}
\begin{tabular}{l c |c| c}
Mineral 		& 	Fórmula química 	&	$n_{\rm o}=\sqrt{\kappa_\perp}$	& 	$n_{\rm e}=\sqrt{\kappa_\parallel}$
%& 	 $\Delta n=n_e-n_o$
\\
\hline\hline
Berilo 			& Be$_3$Al$_2$(Si6O18)	&	1.602	& 	1.557	
%&	-0.045	
\\
Calcita 		&	CaCO$_3$  	&	1.658	& 	1.486	
%& 	-0.172	
\\
%Calomelano 		&	Hg$_2$Cl$_2$	& 	1.973	& 	2.656	
%& 	+0.683	
%\\
%cinnabar 		&	HgS    		&	2.905	& 	3.256	
%& 	+0.351	
%\\
Hematita 		&	Fe$_2$O$_3$	&	2.940	& 	3.220	
%& 	+0.287	
\\
Hielo 			&	H$_2$O 		&	1.309	&	1.313	
%& 	+0.014	
\\
Niobiato de litio 	&	LiNbO$_3$	&	2.272	& 	2.187	
%& 	-0.085	
\\
Fluoruro de magnesio 	&	MgF$_2$		&	1.380	& 	1.385	
%& 	+0.006	
\\
Quarzo 			&	SiO$_2$		&	1.544	& 	1.553	
%& 	+0.009	
\\
Rubí 			& Al$_2$O$_3$:Cr	&	1.770 	&	1.762	
%& 	-0.008	
\\
%Rutilo 			&	TiO$_2$ 		&	2.616	& 	2.903	
%& 	+0.287	
%\\
%Peridot 		&	  		&	1.690	& 	1.654	
%& 	-0.036	
%\\
Zafiro	 		&	Al$_2$O$_3$	&	1.768	& 	1.760	
%& 	-0.008	
\\
Nitrato de sodio	&	NaNO$_3$	&	1.587	& 	1.336	
%& 	-0.251	
%\\
%Turmalina 		&	  		&	1.669	& 	1.638	
%& 	-0.031	
\\
Circón, high 		&	ZrSiO$_4$	&	1.920 -1.960	&  1.967-2.015	
%& +0.047; +0.055	
\end{tabular}
\caption{Algunos cristales uniaxiales y sus índices de refracción. Datos tabulados para $\lambda\sim 590\,{\rm [nm]}$ \cite{hyper}.}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!h]
\begin{center}
\begin{tabular}{l c |c|c|c}
Mineral			& Fórmula química		& $\sqrt{\kappa_x}$	&	$\sqrt{\kappa_y}$	&  $\sqrt{\kappa_z}$	\\
\hline\hline
Bórax 	 		&Na$_2$B$_4$O$_7$·10H$_2$O& 	1.447	& 	1.469	& 	1.472	\\
Sulfato de magnesio		&  MgSO$_4$·7(H$_2$O)	& 	1.433	& 	1.455	& 	1.461	\\
%Biotita		&			&  	1.595	& 	1.640	& 	1.640	\\
%Moscovita		&			&  	1.563	& 	1.596	& 	1.601	\\
Olivina			& 	(Mg,Fe)2SiO	& 	1.640	& 	1.660	& 	1.680	\\
Perovskita		& 	CaTiO$_3$	& 	2.300	& 	2.340	& 	2.380	%\\
%Topacio			&			&  	1.618	& 	1.620	& 	1.627	\\
%Ulexita			&			&  	1.490	& 	1.510	& 	1.520	
\end{tabular}
\caption{Algunos cristales biaxiales. Datos tabulados para $\lambda\sim 590\,{\rm [nm]}$ \cite{hyper}.}
\end{center}
\end{table}
\subsection{Condiciones de frontera para $\vec{D}$}

El vector desplazamiento eléctrico satisface la ecuación (\ref{divD}), que es
de la misma forma que la ley de Gauss (\ref{leygauss-dif}), con la diferencia
que en (\ref{divD}) el factor $\varepsilon_0$ está ausente y que la densidad de carga en el lado derecho es sólo la densidad de cargas externas (\underline{no} las de polarización). Como consecuencia, podemos aplicar el mismo procedimiento discutido en la sección \ref{secCBE} para derivar las condiciones que el vector desplazamiento debe satisfacer en la frontera de dos materiales. Consideramos una superficie que divide dos dieléctricos de propiedades diferentes, en la que, eventualmente, existe una densidad de carga externa $\sigma_{\rm ext}$. Si $\hat{n}$ es el vector unitario normal a la superficie en un punto dado, que apunta desde el material 1 hasta el 2, entonces
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=5cm]{fig/fig-dielectrico-condicion-borde-01.pdf}}
\caption{La componente normal del vector desplazamiento puede ser discontinua
si existen cargas externas en el la interfase entre dos dieléctrico.}
\label{CF1}
\end{figure}
\begin{equation}\label{saltoDn}
\boxed{\vec{D_2}\cdot\hat{n}-\vec{D_1}\cdot\hat{n}=\sigma_{\rm
ext}.}
\end{equation}

Por otro lado, el campo eléctrico $\vec{E}$ sigue satisfaciendo (\ref{rotE0}),
de modo que, como consecuencia, su componente tangencial es continua a través
de la superficie, tal como lo expresa la condición (\ref{Etconst}). Recuerde
finalmente que el potencial eléctrico siempre es una función continua, de
modo que el campo eléctrico, aunque eventualmente discontinuo, es finito en
todo punto.
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=5cm]{fig/fig-dielectrico-condicion-borde-02.pdf}}
\caption{La componente tangencial del campo eléctrico es siempre continua
en una interfase.}
\label{CF2}
\end{figure}

\subsection{Caso de un medio lineal e isótropo}

Consideramos aquí el caso particular de medios lineales e isótropos caracterizados por las constantes dieléctricas $\kappa_1$ y $\kappa_2$ respectivamente. Consideramos además el ángulo entre los vectores campo eléctrico a cada lado de la superficie y el vector normal. Ver figura \ref{CF3}. 
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=5cm]{fig/fig-dielectrico-condicion-borde-03.pdf}}
\caption{Refracción de las líneas de campo.}
\label{CF3}
\end{figure}
Aquí tendremos que, en ausencia de cargas externas, la componente normal del vector desplazamiento es continua a través de la superficie,  $\vec{D}_1\cdot\hat{n}=\vec{D}_2\cdot\hat{n}$, que puede escribirse más explícitamente como:
\begin{equation}\label{Enid}
\kappa_1 E_1\cos\alpha_1=\kappa_2E_2\cos\alpha_2.
\end{equation}
Por otro lado, la condición sobre la componente tangencial a la superficie implica que
\begin{equation} \label{Etid}
 E_1\sin\alpha_1=E_2\sin\alpha_2.
\end{equation}
Dividiendo (\ref{Etid}) por (\ref{Enid}) (asumiendo naturalmente que $E_1$ y $E_2$ son no nulos), obtenemos una simple relación entre los ángulos $\alpha_1$ y $\alpha_2$:
\begin{equation}
 \frac{\tan\alpha_1}{\kappa_1}=\frac{\tan\alpha_2}{\kappa_2}.
\end{equation}

\subsubsection{Ejemplo: Esféra dieléctrica en un campo eléctrico externo uniforme}
Aquí consideraremos el ejemplo de una esfera dieléctrica (lineal e isótropa) de radio $R$ y constante dieléctrica $\kappa_1$ sumergida en un medio de constante dieléctrica $\kappa_2$ y en presencia de un campo externo constante $\vec{E}_0$.

En este caso no existen cargas externas en el dominio considerado (las únicas cargas externas del problema serían aquellas que generan el campo externo, que consideraremos están ubicadas muy lejos de la esfera). Entonces el potencial eléctrico, de acuerdo a (\ref{Poissond}), satisface la ecuación de Laplace tando dentro ($r\le R$) como fuera ($r\ge R$) de la esfera. Resolveremos el problema en coordenadas esféricas orientando el eje $z$ en la dirección de $\vec{E}_0$. Entonces, debido a la simetría del problema (recuerde que los medios son isótropos) los campos tendrán simetría axial. En particular $\phi=\phi(r,\theta)$. Por esto, la forma general del campo en cada región es
 \begin{equation}
 \phi(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}\left[  A_lr^{l}+B_lr^{-(l+1)}\right]
 P_l(\cos\theta).
 \end{equation}
En el interior de la esfera el potencial debe ser finito en todo punto y, en particular, en el origen $r=0$. Esta condición, junto con la elección $\phi (r=0,\theta)\stackrel{!}{=}0$, reduce la forma posible del potencial a 
 \begin{equation}\label{phiint}
 \phi(r,\theta)=\sum_{l=1}^{\infty}A_l^{(1)}r^{l}P_l(\cos\theta), \qquad r\le R.
 \end{equation}
Por otro lado, lejos de la esfera ($r\gg R$) el campo eléctrico debe tender al campo eléctrico externo $\vec{E}_0=E_0\hat{z}$. Esto es equivalente a que el potencial satisfaga
\begin{equation}
 \phi(r,\theta)\to -E_0z+\alpha = -E_0\,r\cos\theta+\alpha, \qquad r\gg R,
\end{equation}
donde $\alpha$ es una constante. Con esta condición, el potencial fuera de la esfera sólo puede adoptar la forma
\begin{equation}\label{phiext}
\phi(r,\theta)=\alpha-E_0\,r\cos\theta+\sum_{l=0}^{\infty}B_l^{(2)}
 r^{-(l+1)}P_l(\cos\theta), \qquad r>R.
\end{equation}
El potencial es una función continua. Por lo tanto, en $r=R$ las soluciones internas y externas deben adoptar el mismo valor. Usando (\ref{phiint}) y (\ref{phiext}) encontramos así la condición
 \begin{equation}
 \sum_{l=1}^{\infty}A_l^{(1)}R^{l}P_l(\cos\theta)  
 =\alpha-E_0\,R\cos\theta+\sum_{l=0}^{\infty}B_l^{(2)}R^{-(l+1)} P_l(\cos\theta)
 \end{equation}
 que implica, para $l=0$, que
\begin{equation}\label{ecl0a}
\alpha-B_0^{(2)}R^{-1}=0.
\end{equation}
Además, para $l=1$, obtenemos
\begin{equation}\label{ecl1a}
 A_1^{(1)}R =-E_0R+B_1^{(2)}R^{-2}.
\end{equation}
Finalmente, para $l\geq2$, encontramos
\begin{equation}\label{eclla}
 A_l^{(1)}R^{l} =B_l^{(2)}R^{-(l+1)}.
\end{equation}
Por otro lado, la condición (\ref{saltoDn}) se reduce, ya que $\sigma_{\rm ext}=0$, a $\vec{D}_1\cdot\hat{n}=\vec{D}_2\cdot\hat{n}$. Además en este caso $\hat{n}=\hat{r}$, por lo que la condición es equivalente a
\begin{equation}
\kappa_1\left.\frac{\partial\phi}{\partial r}\right|_{r=R^-}
=\kappa_2\left.\frac{\partial\phi}{\partial r}\right|_{r=R^+}.
\end{equation}
Reemplazano nuevamente (\ref{phiint}) y (\ref{phiext}) en esta condición obtenemos
\begin{equation}\label{condD}
 k\sum_{l=1}^{\infty}A_l^{(1)}lR^{l-1}P_l(\cos\theta) =-E_0P_1(\cos\theta)  -\sum_{l=0}^{\infty}(l+1)B_l^{(2)}R^{-(l+2)}P_l(\cos\theta),
\end{equation}
donde hemos definido $k:=\kappa_1/\kappa_2$. Para $l=0$ esta condición implica que
\begin{equation}\label{ecl0b}
B_0^{(2)}=0.
\end{equation}
Para el caso $l=1$, obtenemos
\begin{equation}\label{ecl1b}
kA_1^{(1)}  =-E_0-2B_1^{(2)}R^{-3}.
\end{equation}
Finalmente, para $l\geq2$, encontramos la condición
\begin{equation}\label{ecllb}
klA_l^{(1)} =-(l+1)B_l^{(2)}R^{-(2l+1)}.
\end{equation}
Al reemplazar el resultado (\ref{ecl0b}) en (\ref{ecl0a}) obtenemos $\alpha=0$. Similarmente, las ecuaciones (\ref{ecl1a}) y (\ref{ecl1b}) permiten encontrar las constantes $A_1^{(1)}$ y $B_1^{(2)}$. Simple álgebra muestra que la solución en este caso es dada por
\begin{equation}
 A_1^{(1)}=\frac{-3}{k+2}E_0, \qquad, B_1^{(2)}=\frac{k-1}{k+2}R^3E_0.
 \end{equation}
Finalmente, las ecuaciones (\ref{eclla}) y (\ref{ecllb}) determinan $A_l^{(1)}$ y $B_l^{(2)}$ para $l\ge 2$. En este caso, sin embargo, la única solución posible es la nula, es decir,
\begin{equation}
A_l^{(1)}=0, \qquad B_l^{(2)}=0, \qquad l\ge 2.
\end{equation}
Con esto, la solución para el potencial queda totalmente determinado tanto dentro como fuera de la esfera:
\begin{equation}
\phi(r,\theta)=\frac{-3\kappa_2}{\kappa_1+2\kappa_2}E_0\,r\cos\theta, \qquad r\le R
\end{equation}
y
\begin{equation}
\phi(r,\theta)=-E_0\,r\cos\theta +\frac{\kappa_1-\kappa_2}{\kappa_1+2\kappa_2}R^3E_0 \frac{\cos\theta}{r^2}, \qquad r\ge R.
\end{equation}
 
 Ahora estudiaremos algunas características de la solución obtenida, en el caso particular en que fuera de la esfera hay sólo vacío, es decir, $\kappa_2=1$. Primero, el potencial en el interior de la esfera puede escribirse, en coordenadas cartesianas como
 \begin{equation}
\phi(r,\theta)=\frac{-3}{\kappa_1+2}E_0\,z, \qquad r\le R,
\end{equation}
lo que implica que el campo eléctrico en el interior de la esfera es homogéneo y dado por
\begin{equation}
\vec{E}=\frac{3}{\kappa_1+2}\,\vec{E}_0, \qquad r\le R.
\end{equation}
% Además,%
% \begin{equation}
% E_{r}^{(2)}=-\frac{\partial\phi^{(2)}}{\partial r}=E^0r\cos\theta
% +2\frac{k_1-k_2}{k_1+2k_2}a^3E^0r^{-2}\cos\theta
% \end{equation}%
% \begin{equation}
% E_{\theta}^{(2)}=-\frac{1}{r}\frac{\partial\phi^{(2)}}{\partial\theta
% }=-E^0r\sin\theta+\frac{k_1-k_2}{k_1+2k_2}a^3E^0r^{-2}%
% \sin\theta
% \end{equation}%
% \begin{equation}
% E_{\varphi}^{(2)}=0
% \end{equation}

Por otro lado, fuera de la esfera, el potencial consta de dos términos: uno que corresponde al campo homogéneo externo y otro con la forma (es decir, dependencia espacial) de un \textit{campo dipolar}. En efecto, el campo de un dipolo eléctrico con momento dipolar $\vec{p}=p\hat{z}$ orientado a lo largo del eje $z$ es
 \begin{equation}
 \phi_{\rm dip}=\frac{p}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\cos\theta}{r^2}.
 \end{equation}
Por lo tanto, el campo en el exterior de la esfera dieléctrica es dado por la suma del campo externo$\vec{E}_0$ y el campo de un dipolo con momento dipolar
 \begin{equation}
\vec{p}=4\pi\varepsilon_0\frac{\kappa_1-1}{\kappa_1+2}R^3\,\vec{E}_0.
 \end{equation}
Puede verficarse que esta identificación es correcta recordando que el vector de polarización es definido como la densidad de momento dipolar del medio. Como consecuencia, la relación (\ref{pintPdV}) permite calcular el momento dipolar total de la esfera como una integral de volumen de su vector de polarización. En el caso estudiado, el vector de polarización es proporcional al campo eléctrico y por lo tanto también homogéneo al interior de la esfera:
\begin{align}
\vec{P} &= \varepsilon_0(\kappa_1-1)\vec{E} \\
&= \frac{3\varepsilon_0(\kappa_1-1)}{\kappa_1+2}\,\vec{E}_0.
\end{align}
Con esto, el momento dipolar de la esfera puede ser calculado fácilmente:
\begin{align}
\vec{p} &= \int_V \vec{P}\,dV \\
&= \vec{P}\,V \\
&= \frac{3\varepsilon_0(\kappa_1-1)}{\kappa_1+2}\,\vec{E}_0\cdot \frac{4\pi}{3}R^3.
\end{align}
Finalmente, podemos calcular las densidades de carga de polarización en la esfera. Ya que el vector de polarización es homogéneo, la densidad $\rho_P=0$. La densidad superficial de carga de polarización $\sigma_P$ es no nula:
\begin{align}
\sigma_P &= \vec{P}\cdot\hat{r}\\
&= \frac{3\varepsilon_0(\kappa_1-1)}{\kappa_1+2}\,E_0\,\cos\theta.
\end{align}

Finalmente, es interesante notar que el caso de un \textit{conductor} esférico de carga total nula, en un campo externo homogéneo, ver sección \ref{sec:esfcond}, puede ser recobrado en el límite $\kappa_1\to\infty$.

\subsection{Modelos microscópicos simples de polarización}
\subsubsection{Polarizalibidad}
En muchos casos, los átomos que constituyen un dieléctrico no están polarizados...

\subsection{Energía electrostática en un dieléctrico}

En la sección \ref{ed3_1_2} vimos una expresión para la energía almacenada
en un campo dado o, equivalentemente la energía necesaria para formar el
sistema de cargas correspondientes a un campo. Ahora calcularemos algo
análogo, pero diferente: la energía almacenada en una configuración de campo
en un sistema que consta de cargas externas y un dieléctrico \underline{dado}.
En otras palabras, \textit{no incluiremos la energía necesaria para formar el
dieléctrico}, sino sólo la energía necesaria para montar una cierta
distribución de cargas externas en un dieléctrico preexistente.

El trabajo necesario para aumentar (en general, para cambiar) la densidad de
cargas externas en $\delta\rho_{\rm ext}(x)$ en un medio con potencial
$\phi(x)$ es dado por
\begin{equation}\label{Wdiel1}
 \boxed{\delta U=\int_{R^3}\phi(x)\delta\rho_{\rm ext}(x)\,dV.} 
\end{equation}
Usando (\ref{divD}) encontramos que el cambio en densidad de cargas externas
está relacionado con el cambio en el vector desplazamiento por medio de
$\vec\nabla\cdot(\delta\vec{D})=\delta\rho_{\rm ext}$. Usando esto, e integrando
por partes, podemos reescribir (\ref{Wdiel1}) como:
\begin{equation}
 \delta U=\oint_{\infty}\phi (x)\delta\vec{D}(x)\cdot
d\vec{S}+\int_{R^3}\vec{E}\cdot\delta\vec{D}\,dV.
\end{equation}
Asumiendo, como es usual, que los campos se anulan suficientemente rápido en
el infinito, llegamos a
\begin{equation}
 \boxed{\delta U=\int_{R^3}\vec{E}(x)\cdot\delta\vec{D}(x)\,dV.} \label{dUE}
\end{equation}
Si las cargas externas están posicionadas de forma tal que (en cada punto) su
densidad es una fracción $\lambda$ de la densidad final, es decir, si es
$\lambda\rho_{\rm ext}(x)$, entonces el vector desplazamiento correspondiente
será $\lambda\vec{D}(x)$ (como consecuencia de (\ref{divD})) y el campo
eléctrico correspondiente lo denotaremos $\vec{E}_\lambda(x)$. Al incrementar
ahora la densidad en $\delta\rho_{\rm ext}(x)=\rho_{\rm ext}(x)\,d\lambda$ el cambio respectivo del vector desplazamiento es $\delta\vec{D}(x)=\vec{D}(x)\,d\lambda$. Entonces, la energía total requerida para ``montar'' una distribución de carga (final)
$\rho_{\rm ext}(x)$ o, equivalentemente, la energía necesaria para que el campo
eléctrico sea $\vec{E}(x)$ y el vector desplazamiento $\vec{D}(x)$ puede
calcularse ``sumando''\, las energías necesarias en cada incremento, desde la
situación inicial donde no hay cargas externas ($\lambda=0$) hasta alcanzar el
100\% de las cargas y campos ($\lambda=1$):
\begin{equation}
U=\int_0^1 d\lambda\int_{R^3}\vec{E}_\lambda\cdot \vec{D}\,dV .
\end{equation}
Esta expresión es válida en general, para cualquier tipo de dieléctrico.

Para \textit{medios lineales} las componentes del vector desplazamiento son directamente proporcionales a las componentes del campo eléctrico, luego $\vec{E}_\lambda(x)=\lambda\vec{E}(x)$.
En este caso, la energía necesaria para obtener, en un medio dieléctrico lineal preexistente, una cierta configuración de campos y cargas es 
\begin{equation}\marginnote{Energía medios lineales}
\boxed{U=\frac{1}{2}\int_{R^3}\vec{E}\cdot\vec{D}\,dV.} \label{UED}
\end{equation}
La respectiva \textit{densidad de energía} electrostática asociada es, entonces,
\begin{equation}
\boxed{u(x)=\frac{1}{2}\,\vec{E}(x)\cdot\vec{D}(x).}
\end{equation}
En general, para un medio anisótropo tendremos
\begin{equation}
u(x)=\frac{\varepsilon_0}{2}\,\kappa_{ij}(x)E_i(x)E_j(x).
\end{equation}
Finalmente, para un medio isótropo
\begin{equation}\marginnote{Energía medios isótropos}
\boxed{u=\frac{\varepsilon_0}{2}\,\kappa\,\vec{E}^2.}
\end{equation}

Note además que, en términos del potencial y la densidad de carga externa, la energía (\ref{UED}) puede escribirse como:
\begin{equation}
U=\frac{1}{2}\int_{R^3}\phi(x)\rho_{\rm ext}(x)\,dV.
\end{equation}

\subsection{Fuerzas y torques}
El conocimiento de la energía electrostática de sistemas que constan de
cargas, conductores y dieléctricos puede ser usada para calcular
(generalmente en forma simple) fuerzas y torques actuándo sobre una parte del
sistema. Para esto, deben considerarse dos subcasos: a) aquellos sistemas que
están aislados y, por lo tanto, la carga y la energía total del sistema son
constantes, y b) sistemas que no están aislados, pero en los que, fuentes
(baterías) externas mantienen constante las diferencias de potencial entre los conductores
presentes.

\subsubsection{Sistema aislado}

En este caso, el trabajo $\delta W$ realizado por las fuerzas que actúan sobre una de
las \textit{partes móviles} del sistema debe producirse a costa de la
variación de la energía electrostática del mismo sistema, $\delta U$, es decir,
\begin{equation}
 \delta W + \delta U=0. \label{dW+dU=0}
\end{equation}
Si la parte móvil realiza un desplazamiento (real o virtual) $\delta x_i$ a
partir de su posición inicial $x_i$, y la fuerza sobre ella es $F_i$ entonces
\begin{equation}
 \delta W=F_i\,\delta x_i. \label{trab}
\end{equation}
Usando (\ref{dW+dU=0}) y (\ref{trab}) podemos entonces escribir
\begin{equation}\marginnote{Fuerza Sistema Aislado}
\boxed{F_i=-\left(\frac{\partial U}{\partial x_i}\right)_Q ,} \label{FQ}
\end{equation}
donde el subíndice $Q$ indica que al efectuar las derivadas parciales debe
tenerse en cuenta que la carga del sistema se mantiene constante, y la energía
electrostática debe ser escrita en función de la posición de la parte
móvil, $U=U(x_i)$.

En el caso que la parte móvil \textit{rota en un ángulo $\delta\theta$ respecto a un eje determinado por el vector $\hat{n}$}, tenemos que $\delta W=\hat{\tau}\cdot\hat{n}\delta\theta$, de modo que \textit{el torque
sobre la parte móvil} puede ser calculado usando
\begin{equation}\label{torqueU}\marginnote{Torque Sistema Aislado}
 \boxed{\vec{\tau}\cdot\hat{n}=-\left(\frac{\partial U}{\partial\theta}\right)_Q
.}
\end{equation}
Análogamente al caso ``traslacional'' de la fuerza, la expresión \eqref{torqueU} asume que se ha determinado la dependencia de la energía electrostática del sistema en función de la posición angular de la parte móvil, es decir, que se conoce la función $U(\theta)$.


\subsubsection{Sistema con conductores a potencial constante}

En este caso, el trabajo realizado por las fuerzas que actúan sobre una de
las partes móviles del sistema, más la variación de la energía
electrostática del sistema, debe ser igual a la energía suministrada por las
baterías que mantienen los conductores a potenciales constantes, $\delta
W_{\rm b}$, de modo que
\begin{equation}
 \delta W + \delta U=\delta W_{\rm b}. \label{dW+dU=dWb}
\end{equation}
Ahora, la variación de la energía electrostática de los conductores con
potenciales fijos es dada, ver \eqref{Wdiel1}, por
\begin{equation}
 \delta U=\frac{1}{2}\sum_{(\alpha)}\phi^{(\alpha)}\delta Q^{(\alpha)},
\end{equation}
donde $\delta Q^{(\alpha)}$ es el cambio de las cargas en el conductor $\alpha$-ésimo,
necesaria para mantener su potencial $\phi^{(\alpha)}$ constante. Por otro lado, 
la energía suministrada por las baterías es igual al trabajo necesario para
transportar las cargas $\delta Q^{(\alpha)}$ hasta cada conductor, es decir,
\begin{equation}
 \delta W_{\rm b}=\sum_{(\alpha)}\phi^{(\alpha)}\delta Q^{(\alpha)}.
\end{equation}
De esta forma encontramos que
\begin{equation}
 \delta W_{\rm b}=2\delta U.
\end{equation}
Con este resultado y (\ref{dW+dU=dWb}) llegamos a
\begin{equation}
 \delta U=\delta W,
\end{equation}
que, en los casos de desplazamientos y rotaciones, implica
\begin{equation}
\boxed{F_i=\left(\frac{\partial U}{\partial x_i}\right)_\phi ,}
\end{equation}
y, para el torque,
\begin{equation}
 \boxed{\vec{\tau}\cdot\hat{n}=\left(\frac{\partial
U}{\partial\theta}\right)_\phi
.}
\end{equation}

\subsubsection{Ejemplo: Fuerza sobre un condensador semi-lleno con un
dieléctrico}
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=4cm]{fig/fig-condensador-semi-lleno-01.pdf}}
\caption{Condensador parcialmente lleno con dieléctrico.}
\label{fig:fccd}
\end{figure}
Consideremos el caso en que el sistema está cargado, con cargas $+Q$ y $-Q$
respectivamente, y aislado. Debemos determinar los campos en la región con
dieléctrico (región 1) y sin él (región 2). Despreciando efectos de borde,
podemos aproximar que todos los campos son verticales, con sus sentidos hacia
abajo en la figura. Ya que la componente tangencial del campo eléctrico es
continua en una interfase entre dos dieléctricos, encontramos que el campo
eléctrico $\vec{E}$ es igual en todo punto entre las placas del condensador,
es decir,
\begin{equation}
 E_1=E_2.
\end{equation}
Usando (\ref{GaussD}) encontramos directamente que
\begin{equation}
 D_1=\varepsilon_0\kappa E=\sigma_1, \qquad D_2=\varepsilon_0 E=\sigma_2,
\end{equation}
donde $\sigma_1$ y $\sigma_2$ son las densidades de carga en las placas en la
región correspondiente. La carga total en cada placa es entonces dada por
\begin{eqnarray}
 Q&=&\sigma_1A_1+\sigma_2A_2 \\
&=& \varepsilon_0\kappa E w x+\varepsilon_0E w (l-x) \\
&=& \varepsilon_0Ew\left(\kappa x+l-x\right), \label{Qej}
\end{eqnarray}
donde $w$ es la longitud de la otra arista del rectángulo que define cada placa (es decir, en la dirección perpendicular a la figura \ref{fig:fccd}).

La energía electrostática del sistema puede ser calculada evaluando
(\ref{UED}):
\begin{eqnarray}
 U&=&\frac{1}{2}\int\vec{D}\cdot\vec{E}\,dV \\
&=&\frac{1}{2}\left(D_1EV_1+D_2EV_2\right) \\
&=&\frac{1}{2}\left[\varepsilon_0\kappa
xwd+\varepsilon_0(l-x)wd\right]E^2 \\
&=&\frac{1}{2}\varepsilon_0\left(\kappa x+l-x\right)wdE^2 .
\end{eqnarray}
Usando (\ref{Qej}), podemos finalmente expresar la energía electrostática
del sistema como
\begin{equation}
U(x)=\frac{Q^2d}{2\varepsilon_0 w}\frac{1}{(\kappa x+l-x)}.
\end{equation}
Ya que el sistema está aislado y $Q$ es constante, la fuerza sobre el
dieléctrico puede ser calculada a partir de (\ref{FQ}). Así obtenemos
\begin{equation}
 F(x)=\frac{Q^2d}{2\varepsilon_0 w}\frac{(\kappa-1)}{(\kappa x+l-x)^2},
\end{equation}
que es una fuerza que \textit{atrae al dieléctrico hacia el interior de las
placas}.

\subsubsection{Ejemplo: Electrómetro}