10559:I Love Big Numbers !

//result 是現在階層的答案 例如 4! result是 [4,2] 24， 5! result是[0,2,1] 120
//所以一開始需要先放入 result[0] = 1,因為 0!= 1, 0! * 1 , 1! * 2, 2! * 3  , 4! * 5 以此類推。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main()
{
    int number;
    while(cin >> number) {  // 不斷讀取輸入直到 EOF
        vector<int> result(1, 1);  // 初始化結果為1 (即1的階乘) 也就是讓 result[0] = 1，這時候result這個array的大小只有 result[0]=1 一個
        
        // 計算階乘
        for(int i = 1; i <= number; i++) {
            int carry = 0;
            for(int j = 0; j < result.size(); j++) {
                // num 的部分是記錄當前數字 result[j] * 下一個數字 i 的時候 + carry 的結果
                int num = result[j] * i + carry;

                // result = num % 10 是記錄 num 的個位數，十或之後的交給 carry
                result[j] = num % 10;  // 保存個位數到對應位置

                // carry 是記錄 <9 的num 情況，如果 num>9 就是 11 12 13 以外， carry = num/10 = 1 ，如果 result[0] 之後還有 result[1] 那麼carry 就會加入在 num 裡面
                carry = num / 10;  // 進位數
            }
            
            // 當運算完 result 的所有後，如果 carry 還是 >0, 表示計算到的最後的 num 還是 大於9 ,這時候就要進位到 result裡面，假設 4! 的時候會拿到 24, 所以進入到array result[0] = 4, result[1] = 2
            while(carry > 0) {
                result.push_back(carry % 10);
                carry = carry / 10;
            }
        }
        
        // 一般 ！ 的答案
        for(int i = result.size() - 1; i >= 0; i--) {
            cout << result[i];
        }
        cout << endl;
        
        // 題目要的答案
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < result.size(); i++) {
            sum += result[i];
        }
        cout << sum << endl;
    }
    
    return 0;
}


if input = 5:

從 2 到 5 逐步計算階乘，並追蹤每一位的變化：

當 i = 2：

j = 0：
result[0] = 1
num = result[0] * 2 + carry = 1 * 2 + 0 = 2
result[0] = prod % 10 = 2 % 10 = 2
carry = num / 10 = 2 / 10 = 0
結果向量更新為 [2]。
當 i = 3：

j = 0：
result[0] = 2
num = result[0] * 3 + carry = 2 * 3 + 0 = 6
result[0] = prod % 10 = 6 % 10 = 6
carry = num / 10 = 6 / 10 = 0
結果向量更新為 [6]。
當 i = 4：

j = 0：
result[0] = 6
num = result[0] * 4 + carry = 6 * 4 + 0 = 24
result[0] = num % 10 = 24 % 10 = 4
carry = num / 10 = 24 / 10 = 2
carry = 2，將 2 插入結果向量的下一位：
result.push_back(2 % 10) = result.push_back(2) = [4, 2]
結果向量更新為 [4, 2]（即 24）。
當 i = 5：

j = 0：
result[0] = 4
num = result[0] * 5 + carry = 4 * 5 + 0 = 20
result[0] = num % 10 = 20 % 10 = 0
carry = num / 10 = 20 / 10 = 2
j = 1：
result[1] = 2
num = result[1] * 5 + carry = 2 * 5 + 2 = 12
result[1] = num % 10 = 12 % 10 = 2
carry = num / 10 = 12 / 10 = 1
carry = 1，將 1 插入結果向量的下一位：
result.push_back(1 % 10) = result.push_back(1) = [0, 2, 1]
結果向量更新為 [0, 2, 1]（即 120）。