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title: 多因素决策方法概览
created: 2014-04-23
author: 徐栖
subtitle: 工作中可能用到的几种多因素决策方法：特点、假设基础和比较。
status: in progress
type: rational
tags: decision-making, optimization
importance: 4
biblio: mcdm.bib
csl: harvard1.csl
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<!-- Status choices are: links, notes, draft, in progress, finished -->
<!-- belief tags are: certain, highly likely, likely, possible, unlikely, highly unlikely, remote, impossible -->

# 问题描述

在日常生活中，我们经常遇到在商品间比较的问题。有些时候，商品之间的差异我们完全不关心，或者小得可以忽略不计，这种情况下我们需要比较的只有价格，这是一种单因素的决策。比如在超市里买纸巾，即使最挑剔的主妇也只会计算单张纸巾的价格，然后买下便宜的那种。

但大多数情况下，我们可以掌握的信息比这多得多，在决策过程中需要考虑的因素也要多得多。比如在考虑买一台电脑的过程中，就有一大堆需要考虑的问题：

* 台式机还是笔记本？
* Intel 还是 AMD？
* 小机身还是全能型？
* 要不要保修？

即使用具体的应用场景限制问题数，需要权衡的因素仍然很多。到最后，我们一般可以做出买这个或者买那个的决策，但也有不少人患上“选择困难症”。

个人买个东西尚且这样复杂，在工程项目中，采购什么样的货物和设备，或者采用什么技术和方法，就牵涉到更多需要考虑的因素。决策的后果，在这种情况下也更为复杂和不可逆。为了让决策的过程有依据，决策的结果可预料，决策制订者需要在规范化表述决策因素的前提下，使用合适的科学方法做出选择（决策）。

用更形式化的语句来描述，就是决策者有一系列希望达成的目标 $\mathbf{c}$，并需要检查一系列候选者 $\mathbf{x}$ 的一系列属性 $\mathbf{p}$，并挑选出 $\mathbf{x}$ 中最优的一个或几个，或根据决策目标的不同将 $\mathbf{x}$ 分为几个子集。

# 问题的范畴和数学表述

多因素决策分析问题可以分为两大类。第一类是多因素评价问题，即对有限个数的选择进行比较，以获得最优解或最优解集。第二类是多因素设计问题，或多目标数学规划问题，通过数学模型在未知数量或数量很大的选择中获得较优解。

多因素决策分析必须以决策者的偏好作为决策的依据之一。根据决策方法的不同，偏好可能在事前定义，也可能在分析过程中逐渐形成，或者在设计问题中通过对结果的解释来体现。[@anon2013mc]

多因素决策分析问题可以用选择原则空间或者决策空间两种方式进行数学表述。[@anon2013mc]

## 选择原则空间（Criteria Space）表述

寻找 $$\text{"max"} \mathbf{q}$$ $$\mathbf{q} \in \mathbf{Q}$$

其中 $\mathbf{q}$ 是包括 $k$ 个准则函数的向量，$\mathbf{Q}$ 是所有可行向量值的集合。如果 $\mathbf{Q}$ 是显式定义的，即可选择方案的集合，则问题是一个多因素评价问题；反之则是多因素设计问题。

## 可选决策空间（Decision Space）表述

假设可以做出多项决策，每一项都对最终结果的评价指标产生影响，则这样的多因素设计问题可以表示为 $$\text{"max"} \mathbf{q} = \mathbf{f(x)} = (f_{1}(\mathbf{x}), \ldots, f_{k}(\mathbf{x}))$$ $$\mathbf{q} \in \mathbf{Q} = \{\mathbf{f(x)} : \mathbf{x} \in \mathbf{X}, \mathbf{X} \subseteq{\mathbf{R}^{n}}\}$$

其中 $\mathbf{X}$ 是可行集，$\mathbf{x}$ 是大小为 $n$ 的决策向量。

## 目标准则指标或决策的表述

基于上述两种解空间的表述方式，多因素决策用两个概念分别表示两种表述下的目标。

1. 在选择原则空间表述中，$\mathbf{q^{*}} \in \mathbf{Q}$ 是非被支配（nondominated）的，如果没有其他的 $\mathbf{q} \in \mathbf{Q}$ 使 $\mathbf{q} \geq \mathbf{q^{*}}$ 且 $\mathbf{q} \neq \mathbf{q^{*}}$。粗略地说，非支配表示该解不差于准则空间内的其他解。

2. 在决策空间表述中，$\mathbf{x^{*}} \in \mathbf{X}$ 是有效的，如果不存在其他的 $\mathbf{x} \in \mathbf{X}$ 使 $\mathbf{f(x)} \geq \mathbf{f(x^{*})}$ 且 $\mathbf{f(x)} \neq \mathbf{f(x^{*})}$。

以上两个概念还有一种较弱的形式，和强形式的不同在于它们不要求空间中其他的点的值与目标点的值不同。

# 多因素决策学派与方法

多因素决策的方法背后是对多因素决策问题的不同认识。主要的多因素决策学派包括多目标数学规划学派（WSM，WPM），目标规划学派，法国学派（ELECTRE），模糊集理论学派，进化和遗传算法学派以及层次分析法学派（AHP）。这些学派以三种不同的方式解决多因素决策问题：基于权重的单一合并偏好度方法，如 WSM、WPM 和 AHP；秩比较方法如 ELECTRE，TOPSIS 和 PROMETHEE，以及交互式的局部判断偏好比较方法如 MOMP。[@ssebuggwawo2010gd]

多因素决策方法中，大多数需要把各种选择转化为数值加以分析。这种转化涉及三个步骤：1. 识别选择和评判标准；2. 对各选择标准的相对重要性以及各选择对这些选择标准的影响赋值；3. 对数值进行处理，以确定各选项的先后次序。通用地，这类问题可以表述为，有 $m$ 种选择 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots, A_{m}$，以及 $n$ 个决策准则 $C_{1}, C_{2}, C_{3}, \ldots, C_{n}$，决策者根据已有的信息，可以对每个决策原则下每种选择的得分赋值 $a_{ij}$，对 $1,2,3,\ldots,m$ 中的每个 $i$ 和 $1,2,3,\ldots,n$ 中的每个 $j$，这样就得到了决策矩阵 $\mathbf{A}$。另外对每个选择标准还应定义一个权重 $w_{j}$。有了 $a_{ij}$ 和 $w_{j}$，即可使用下面的方法解决多因素决策问题。[@triantaphyllou2000mc]

> 决策矩阵 $\mathbf{A}$ 与选择原则空间表述的关系：

> 选择原则空间表述中所求的 $\mathbf{q}$ 即决策矩阵 $\mathbf{A}$ 中的某一行向量（选择） $A_{i*}$，使 $\sum_{j=1}^{n}a_{ij} \ast w_{j}$的值相对于其他的 $A_{i}$ 最优。

## 加权和（WSM）方法

加权和方法是使用最广泛的方法之一。其假设是决策的结果可以用单一维度的功用函数表示，而且功用符合可加原则，即整体的功用等于各部分功用的和。当选择原则涉及到不同的量纲时，这种方法就不太适用。

$$A^{*}_{WSM-score} = \underset{i}{\text{max}} \sum^{n}_{j=1}a_{ij}w_{j}, \text{for }i = 1, 2, 3, \ldots, m.$$

## 加权积（WPM）方法

加权积方法与加权和方法类似，但它是通过不同选项之间的比值来比较选项的优劣。权重以次方的形式被引入比较中。由于结果采用无量纲比值的形式，由多维指标表示的选择也可以直接进行比较。例如，两个选择 $A_{K}$ 和 $A_{L}$ 之间的比较可以用下式表示：

$$R(A_{K}/A_{L}) = \prod_{j=1}^{n}(a_{Kj}/a_{Lj})^{w_{j}}$$

如果 $R(A_{K}/A_{L})$ 的值大于1，则说明选项 $A_{K}$ 优于选项 $A_{L}$。如此在不同的选项间比较即可得到最优的选项。需要注意的是给出同样的决策矩阵 $\mathbf{A}$，使用 WSM 和 WPM 方法获得的最优选择可能不同。

## 层次分析过程（AHP）方法

AHP 是一种非常流行的多因素决策方法。在这种方法中，决策矩阵 $a_{ij}$ 的值是通过专家意见决定的相对值，因此可以处理多种量纲表示的选择原则，这一点与 WPM 相似。而每个决策选项的分数又是以 $a_{ij}$ 和 $w_{j}$ 的权重表示，与 WSM 相似。

在 AHP 方法的原始形式中，相对于每个选择原则，各选项的分值被标准化，使其总和为1。Belton 和 Gear 发现，这样获得的比较结果具有不一致性。例如，当与已知的非最优选项相同的一个选项被加入后，比较的结果会发生变化。Belton 和 Gear 因此提出了修改的 AHP 方法，将每个 $a_{ij}$ 值除以 $a_{ij}$ 的最大值。Triantaphyllou 和 Mann 则指出即使与已有选项都不相同的选项的加入也会造成比较结果的改变，无论原始的 AHP 还是修改后的 AHP 方法都无法完全避免这个问题。

AHP 方法的内容可以分为四个步骤：1. 用分层方法管理复杂度；2. 使用比例尺度表示两两比较结果；3. 对比较结果进行分析；4. 合并比较结果和识别较优选择。[@render2011ma]

1. 选择原则的分层表示：

    多因素决策中考虑的选择原则可能很多，AHP 方法认为这些选择原则可以按照层次结构加以组织，以方便后续的分析，并且将影响范围和程度相近的因素组织在同一层级内[@saaty1990ht]。例如，在考虑采购电脑系统的决策过程中，需要考虑的选择原则可以按下图组织：

    ![电脑系统采购过程中的选择原则层次示意图](images/mcdmcriteria-hierarchy.png)

2. 使用比例尺度表示两两比较结果：

    对每个其下不再细分层次的选择原则 $c_{j}$，假设有 $\mathbf{A}_{1}, \mathbf{A}_{2}, \ldots, \mathbf{A}_{m}$ 等一共 $m$ 个选项，可以用两两比较矩阵 $\mathbf{P}_{j}$ 来表示这些选项两两比较的结果。$\mathbf{P}_{j}$ 的元素 $p_{ik}$ 有如下的性质：

    (1) $p_{ik} \in \{1/9, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9\}$；

    (2) $p_{ik} = 1 \text{ if } i = k$；

    (3) $p_{ik} = 1 / p_{ki}$；

    也就是说，$\mathbf{P}_{j}$ 是一个取值在离散有限集中的正互反矩阵（$m \times m$）。如果 $\mathbf{A}_{m}$ 在选择原则 $c_{j}$ 下显著优于 $\mathbf{A}_{n}$，则 $p_{mn}$ 的取值可能取较大的正整数，有优势但不明显，则取较小的正整数，二者表现相同则取1。这样，决策者对各种选择两两比较的偏好可以通过此矩阵表示出来。对所有的选择原则，一共需要做出 $n$ 个这样的矩阵。

    类似地，对 $n$ 个需要考虑的选择原则，也要做出1个大小为 $n \times n$ 的比较矩阵 $\mathbf{P}$，表示决策者对这些选择原则重要性的两两比较结果。

3. 对比较结果进行分析：

    标准化：对每个比较矩阵中的每个元素，除以该元素所在列各元素的总和。

    计算矩阵特征向量：比较矩阵 $\mathbf{P}_{j}$ 标准化后，取其每一行元素的平均值，即为该矩阵的特征向量 $\mathbf{E}_{j} = [e_{j_{1}}, e_{j_{2}}, \ldots, e_{j_{m}}]^{T}$。对选择原则的比较矩阵 $\mathbf{P}$，也有 $\mathbf{E} = [e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}]^{T}$。该特征向量即表示了被比较的各选项或选择原则的相对可接受度或重要度。

    计算加权和向量：按照矩阵乘法的原则，将每个比较矩阵右乘以它的特征向量，得到加权和向量，即
    $$\mathbf{S}_{j} = \mathbf{P}_{j} \times \mathbf{E}_{j} =
    \begin{bmatrix}
    p_{11}e_{j_{1}} + p_{12}e_{j_{2}} + \ldots + p_{1m}e_{j_{m}} \\
    p_{21}e_{j_{1}} + p_{22}e_{j_{2}} + \ldots + p_{2m}e_{j_{m}} \\
    \cdots \\
    \cdots \\
    \cdots \\
    p_{m1}e_{j_{1}} + p_{m2}e_{j_{2}} + \ldots + p_{mm}e_{j_{m}}
    \end{bmatrix}
    = \begin{bmatrix}
    s_{j_{1}} \\
    s_{j_{2}} \\
    \cdots \\
    s_{j_{m}}
    \end{bmatrix}$$
    $$\mathbf{S} = \mathbf{P} \times \mathbf{E} =
    \begin{bmatrix}
    p_{11}e_{1} + p_{12}e_{2} + \ldots + p_{1n}e_{n} \\
    p_{21}e_{1} + p_{22}e_{2} + \ldots + p_{2n}e_{n} \\
    \cdots \\
    \cdots \\
    \cdots \\
    p_{n1}e_{1} + p_{n2}e_{2} + \ldots + p_{nn}e_{n}
    \end{bmatrix}
    = \begin{bmatrix}
    s_{1} \\
    s_{2} \\
    \cdots \\
    s_{n}
    \end{bmatrix}
    $$

    计算一致度向量：$$\mathbf{C}_{j} = \begin{bmatrix}
    s_{j_{1}} / e_{j_{1}} \\
    s_{j_{2}} / e_{j_{2}} \\
    \cdots \\
    s_{j_{m}} / e_{j_{m}}
    \end{bmatrix}$$

    $$\mathbf{C} = \begin{bmatrix}
    s_{1} / e_{1} \\
    s_{2} / e_{2} \\
    \cdots \\
    s_{n} / e_{n}
    \end{bmatrix}$$

    计算一致性指标（CI）：

    $$CI = \frac{\lambda - n}{n - 1}$$

    其中，$\lambda$ 是一致度向量 $C_{j}$ 或$C$ 中各元素的平均值，$n$ 是比较矩阵的行数，或 $C_{j}$ 或 $C$ 的元素数。

    计算一致性比例（CR）：

    查表得不同 $n$ 值下的随机指数 RI：[@teknomo2006at]

    ----------------------------------------------------------------------
        n    1    2    3    4    5    6    7    8    9    10
    ----- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- -----
       RI    0    0 0.58  0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45  1.49
    ----------------------------------------------------------------------

    $$CR = \frac{CI}{RI}$$

    如果 CR $< 0.10$，则可认为比较结果的一致性较好，否则需要对两两比较的结果进行修订，直到取得理想的 CR 值。CI的具体意义见 @saaty1990ht。

4. 合并比较结果和识别较优选择：

    将每个比较原则下的特征向量 $\mathbf{E}_{j}, j = 1, 2, \ldots, m$ 按顺序排列好，得到 $m\times n$ 的矩阵 $\mathbf{E}_{c}$，该矩阵再乘以比较原则的权重向量 $\mathbf{E}$ 即得到最终比较结果向量

    $$\mathbf{Q} = \mathbf{E}_{c} \times \mathbf{E}$$

    $\mathbf{Q}$ 中最大的数所在的行对应的选择即为最优。

AHP 方法基于成对比较和使用相对比值表示偏好的特点，使其能够方便地结合定量和定性指标，并结合多名专家的意见。由于对权重因素的考虑，AHP 并不要求最优选择在各方面都支配其他选择，因而非常适合涉及指标间存在反馈关系的决策问题如环境影响、复杂系统选择等。[@ramanathan2001an]

<!-- on combining many expert opinions: see Ramanathan, R. and Ganesh, L. S. (1994). Group preference aggregation methods employed in the AHP: an evaluation and an intrinsic process for deriving members’ weightages. European Journal of Operational Research 79, 249–265. | Peniwati, K. (1996). The Analytic Hierarchy Process: The possibility theorem for group decision making. In Proceedings of the Fourth International Symposium on the Analytic Hierarchy Process, pp. 202–214. Simon Fraser University, Burnaby, British Columbia, Canada. | Saaty, T. L. (2000). Fundamentals of Decision Making and Priority Theory with The Analytic Hierarchy Process. Pittsburg: RWS Publications. -->

### 多方决策条件下的 AHP

由于 AHP 显式地表示决策者的偏好，AHP 被认为很适合在群体决策过程中作为一种意见合并机制来使用。AHP 在群体决策中可以反映不同决策者的个人价值和公认价值，以及不可直接测量的选择对偏好的隐含影响；AHP 也能帮助决策者在讨论中更多地关注目标本身而非选择的不同；在整个决策过程中，AHP 促使决策者们就各种选择对目标的贡献重要度以及可得的所有信息充分地交换意见。而且，AHP 也在运算过程中记录了个人的每个选择对最终结果的影响。

群体中的每个决策者可以分开应用 AHP，然后试图以讨论的方式达成共识，或通过投票决定群体最终采用的选择。在这些过程中，AHP 可以用来作为文档和演示工具，便于决策者解释其偏好。如果共识不能达成，投票不能接受，或者各专家的意见可视为有同等重要性，还可以用计算几何平均值的方法取得最终的选择偏好排序。在最后一种情况下，各决策者甚至可以采用ta们认为合适的模型和分层方法。[@lai2002gr]

还有一些改进的方法，如 @cho2008al 使用 CR 值来衡量个体决策者的偏好的可接受程度和在最终合成中的权重。

<!-- ### 变体

#### 比较量表的表示

Lootsma, F. A. (1999). Multi-criteria Decision Analy- sis via Ratio and Difference Judgement. Dordrecht: Kluwer.

#### 权重估计方法

Crawford, G. and Williams, C. (1985). A note on the analysis of subjective judgment matrices. Journal of Mathematical Psychology 29, 387–405.

#### 秩逆转和解决方法

Belton, V. and Gear, T. (1983). On a shortcoming of Saaty’s method of analytic hierarchies. Omega 11, 228–230.

Harker, P. T. and Vargas, L. G. (1990). Reply to ‘Remarks on the Analytic Hierarchy Process’ by J. S. Dyer. Management Science 36, 269–273.

-->

## ELECTRE 方法

ELECTRE 即“取自现实的选择与消除”。ELECTRE 方法分别在每一原则下对选项进行逐对比较。即使某一选项并不支配[^dominate]其他选项，决策者仍可根据二者在不同比较原则下的分数差值和阈值确定一选项是否优于另一选项，这种优于关系被称为 outranking relation。对所有选项在所有比较原则下进行这种比较后，决策者可以确定最优的选择，或者至少一系列较优选择。

从决策矩阵出发，ELECTRE 方法的步骤示范如下：

1. 决策矩阵标准化：

    对决策矩阵的各元素按照下式标准化：

    $$x_{ij} = \frac{a_{ij}}{\sqrt{\sum_{k=1}^{m}a_{kj}^{2}}}$$

    获得的标准化矩阵 $\mathbf{X}$：

    $$ \mathbf{X} = \begin{bmatrix}
    x_{11} & x_{12} & x_{13} & \cdots & x_{1n} \\
    x_{21} & x_{22} & x_{23} & \cdots & x_{2n} \\
    \cdot & & & & \cdot \\
    \cdot & & & & \cdot \\
    \cdot & & & & \cdot \\
    x_{m1} & x_{m2} & x_{m3} & \cdots & x_{mn}
    \end{bmatrix}$$

    其中 $m$ 是选项的数量，$n$ 是选择原则的数量，$x_{ij}$ 是选项 $i$ 在原则 $j$ 下的标准化得分。

2. 对标准化决策矩阵加权：

    对 $\mathbf{X}$ 的每一列乘以对应的选择原则的权重。权重 $(w_{1},w_{2},w_{3}, \ldots, w_{n})$ 是决策者决定的。加权后的矩阵 $\mathbf{Y}$ 即为

    $$\mathbf{Y} = \mathbf{X} \mathbf{W} =
    \begin{bmatrix}
    w_{1}x_{11} & w_{2}x_{12} & w_{3}x_{13} & \ldots & w_{n}x_{1n} \\
    w_{1}x_{21} & w_{2}x_{22} & w_{3}x_{23} & \ldots & w_{n}x_{2n} \\
    \cdot & & & & \cdot \\
    \cdot & & & & \cdot \\
    \cdot & & & & \cdot \\
    w_{1}x_{m1} & w_{2}x_{m2} & w_{3}x_{m3} & \ldots & w_{n}x_{2n}
    \end{bmatrix}$$

    其中

    $$\mathbf{W} =
    \begin{bmatrix}
    w_{1} & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
    0 & w_{2} & 0 & \ldots & 0 \\
    \cdot & & & & \cdot \\
    \cdot & & & & \cdot \\
    \cdot & & & & \cdot \\
    0 & 0 & 0 & \ldots & w_{n}
    \end{bmatrix}$$

    且

    $$\sum_{i=1}^{n}w_{i} = 1$$

3. 决定协调（Concordance）和不调（Discordance）集：

    两个选择 $\mathbf{A}_{k}$ 和 $\mathbf{A}_{l}$ 的协调集 $C_{kl}$ 定义为 $\mathbf{A}_{k}$ 优于 $\mathbf{A}_{l}$ 的所有选择原则的集合，即 $$C_{kl} = \{j, y_{kj} \geq y_{lj}\}, j = 1, 2, 3, \ldots, n.$$ 其补集即为不调集 $$D_{kj} = \{j, y_{kj} < y_{lj}\}, j = 1, 2, 3, \ldots, n.$$

4. 构建协调和不调矩阵：

    协调矩阵 $\mathbf{C}$ 的元素是用协调指数表示的。协调指数 $c_{kl}$ 是协调集 $\mathbf{C}_{kl}$ 中的元素（选择原则）所对应的权重值，即

    $$c_{kl} = \sum_{j \in C_{kl}}w_{j}, j = 1, 2, 3, \ldots, n$$

    显然，$0 \leq c_{kl} \leq 1$，该值表示选择 $\mathbf{A}_{k}$ 相对于选择 $\mathbf{A}_{l}$ 的重要性。协调矩阵 $\mathbf{C}$ 定义如下：

    $$\mathbf{C} =
    \begin{bmatrix}
    - & c_{12} & c_{13} & \ldots & c_{1m} \\
    c_{21} & - & c_{23} & \ldots & c_{2m} \\
    \cdot & & & & \cdot \\
    \cdot & & & & \cdot \\
    \cdot & & & & \cdot \\
    c_{m1} & c_{m2} & c_{m3} & \ldots & -
    \end{bmatrix}$$

    根据定义，当 $k = l$ 时，$\mathbf{C}$ 的元素为空。

    不调矩阵 $\mathbf{D}$ 表示选择 $\mathbf{A}_{k}$ 相对于选择 $\mathbf{A}_{l}$ 的劣势。矩阵的元素 $d_{kl}$ 定义如下：

    $$d_{kl} = \frac{\underset{j \in \mathbf{D}_{kl}}{\text{max}} |y_{kj} - y_{lj}|}{\underset{j}{\text{max}} |y_{kj} - y_{lj}|}$$

    因此不调矩阵形如：

    $$\mathbf{D} =
    \begin{bmatrix}
    - & d_{12} & d_{13} & \ldots & d_{1m} \\
    - & d_{21} & - & d_{23} & \ldots & d_{2m} \\
    \cdot & & & & \cdot \\
    \cdot & & & & \cdot \\
    \cdot & & & & \cdot \\
    d_{m1} & d_{m2} & d_{m3} \ldots & -
    \end{bmatrix}$$

    注意根据 $c_{kl}$ 和 $d_{kl}$ 的定义，$\mathbf{C}$ 和 $\mathbf{D}$ 不是对称矩阵。

5. 确定协调和不调支配矩阵（Dominance Matrices）：

    确定协调和不调支配矩阵前，需要首先确定协调支配阈值 $\underline{c}$ 和不调被支配阈值 $\underline{d}$。其意义是，只有当 $c_{kl} \geq \underline{c}$ 时，才能认为选项 $\mathbf{A}_{k}$ 支配 $\mathbf{A}_{l}$；类似地，只有当 $d_{kl} \geq \underline{d}$ 时，才能认为 $\mathbf{A}_{k}$ 在足够的程度上劣于 $\mathbf{A}_{l}$。$\underline{c}$ 和 $\underline{d}$ 可以用调和和不调指数的平均值表示，即

    $$\underline{c} = \frac{1}{m(m-1)}\sum_{\substack{k = 1\\ \text{and } k \neq l}}^{m}\sum_{\substack{l = 1\\ \text{and } l \neq k}}^{m}c_{kl}$$

    $$\underline{d} = \frac{1}{m(m-1)}\sum_{\substack{k = 1\\ \text{and } k \neq l}}^{m}\sum_{\substack{l = 1\\ \text{and } l \neq k}}^{m}d_{kl}$$

    协调支配矩阵 $\mathbf{F}$ 的元素定义为

    $$\begin{eqnarray}
    f_{kl} = 1, & \text{if } c_{kl} \geq \underline{c} \\
    f_{kl} = 0, & \text{if } c_{kl} < \underline{c}
    \end{eqnarray}$$

    不调支配矩阵 $\mathbf{G}$ 的元素定义为[^disc-domi-matrix]

    $$\begin{eqnarray}
    g_{kl} = 1, & \text{if } d_{kl} \leq \underline{d} \\
    g_{kl} = 0, & \text{if } d_{kl} > \underline{d}
    \end{eqnarray}$$

6. 确定组合支配矩阵：

    组合支配矩阵的每个元素是协调和不调支配矩阵中对应元素的乘积，即 $$e_{kl} = f_{kl} \times g_{kl}$$

7. 去除最差的选项：

    观察获得的组合支配矩阵，如果 $e_{kl} = 1$，说明选择 $\mathbf{A}_{k}$ 无论以调和原则还是不调原则看都强于选择 $\mathbf{A}_{l}$。因此，在组合支配矩阵中有元素为1的列，表示该列对应的选择被元素1所在行对应的选择支配。去掉这些列，剩下没有元素为1的列对应的就是最优的选择。

## PROMETHEE 方法

PROMETHEE 方法也是基于支配的概念。严格意义上的支配关系在多因素决策问题中很少出现，因此实际情况下常使用 outranking 关系来取得可操作的近似支配关系。和 ELECTRE 方法不同的是 PROMETHEE 方法将 outranking 关系的构造也作为方法的一个重要步骤。PROMETHEE 方法对不同选择在各准则下的比较进行了扩展。[@brans1985ap]

常规的比较方法认为选择原则是一种二元的偏好结构 $$\begin{eqnarray}
  A_{1} & \mathbf{P} & A_{2} & \text{ iff } f(A_{1}) \geq f(A_{2}) \\
  A_{1} & \mathbf{I} & A_{2} & \text{ iff } f(A_{1}) = f(A_{2})
  \end{eqnarray}$$

其中，$A_{1}$ 和 $A_{2}$ 是用于比较的两个选择，$f(A_{1})$ 和 $f(A_{2})$ 是在某一准则下二者的表现。ELECTRE 方法使用协调和不谐的概念表述两个选择的表现相差交大和犹豫区间的概念，而 PROMETHEE 方法则进一步扩展了选择的偏好度可能具有的关系。

定义一个偏好度函数 $$P(A_{1}, A_{2}) = \left\{
\begin{aligned}
  0 & \text{if} & f(A_{1}) \leq f(A_{2}) \\
  p[f(A_{1}, A_{2})] & \text{if} & f(A_{1}) > f(A_{2})
\end{aligned}
\right.
$$

在具体的情况下，一般可以认为偏好的不同体现为二者表现的差值，即 $$ p[f(A_{1}, A_{2})] = p(f(A_{1}) - f(A_{2}))$$，为方便，令 $x = f(A_{1}) - f(A_{2})$。则决策者面对选择原则下不同的比较结果可以套用以下的比较策略：

* 一般原则：$$p(x) = \left\{
\begin{aligned}
  0, & \forall x \leq 0, \\
  1, & \forall x > 0;
  \end{aligned}
  \right.
$$

* 类原则（Quasi-criteria）：$$p(x) = \left\{
\begin{aligned}
  0, & x \leq l, \\
  1, & x > l
  \end{aligned}
  \right.
$$ $l$ 是决策者定义的阈值。

* 线性偏好度原则：$$p(x) = \left\{
\begin{aligned}
  x / m, & x \leq m, \\
  1, & x > m
  \end{aligned}
  \right.
$$ 其中 $m$ 是决策者定义的参数。

* 平台型原则：$$p(x) = \left\{
\begin{aligned}
  0, & x \leq q, \\
  1/2, & q < x \leq q + p, \\
  1, & x > q + p
  \end{aligned}
  \right.
$$

* 带有阈值的线性偏好原则：$$p(x) = \left\{
\begin{aligned}
  0, & x \leq s, \\
  (x-s)/r, & s \leq x \leq s + r, \\
  1, & x \geq s + r
  \end{aligned}
  \right.
$$

* 高斯原则：$$p(x) = \left\{
\begin{aligned}
  0, & x \leq 0, \\
  1- e^{-x^{2}/2\theta^{2}}, & x \geq 0
  \end{aligned}
  \right.
$$

对 $n$ 个选择进行两两比较，共可得到 $b = \frac{n(n-1)}{2}$ 个比较结果，将其分别套用到上面的六种原则之一，则可得到这些比较对应的偏好函数 $P_{h}(A_{j}, A_{k})$。令 $$\pi(A_{j}, A_{k}) = \frac{1}{b}\sum_{h=1}{b}P_{h}(A_{j}, A_{k})$$，称之为偏好指数，该值越接近1，则说明偏好越强。根据每一对 $A_{j}, A_{k}$ 的 $\pi$ 值，可作出有向图。选择集 $\mathbf{A}$ 中的每个元素 $A_{j}$ 即为有向图上的一个节点，对它可计算入流量和出流量：

$$ \phi^{+}(A_{j}) = \sum_{A \in \mathbf{A}}\pi(A_{j}, A) $$
$$ \phi^{-}(A_{j}) = \sum_{A \in \mathbf{A}}\pi(A, A_{j}) $$

在局部排序问题中，选择 $A_{j}$ 和 $A_{k}$ 的偏好关系可表示为：

$$\begin{eqnarray}
A_{j} & P^{+} & A_{k}  & \text{iff} & \phi^{+}(A_{j}) > \phi^{+}(A_{k}), \\
A_{j} & P^{-} & A_{k}  & \text{iff} & \phi^{-}(A_{j}) < \phi^{-}(A_{k}); \\
A_{j} & I^{+} & A_{k}  & \text{iff} & \phi^{+}(A_{j}) = \phi^{+}(A_{k}), \\
A_{j} & I^{-} & A_{k}  & \text{iff} & \phi^{-}(A_{j}) = \phi^{-}(A_{k}).
\end{eqnarray}$$

如果 $A_{j}$ 对 $A_{k}$ 的 $P^{+}$ 和 $P^{-}$ 关系，或者 $P^{+}$ 和 $I^{-}$ 关系，或者 $I^{+}$ 和 $P^{-}$ 关系中有一对同时成立，则 $A_{j}$ 优于 $A_{k}$；如果 $A_{j}$ 对 $A_{k}$ 的 $I^{+}$ 和 $I^{-}$ 关系同时成立，则 $A_{j}$ 和 $A_{k}$ 偏好无差别；其他情况，则称 $A_{j}$ 和 $A_{k}$ 无法比较。

如果决策者需要全局排序，则可计算各节点的净入流：

$$\phi(A_{j}) = \phi^{+}(A_{j}) - \phi^{-}(A_{j})$$

净入流量大的选择优于净入流量小的选择。

## TOPSIS 方法

TOPSIS 全称为 the Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution，是 ELECTRE 方法的一个变体。TOPSIS 使用最小距离的概念，认为好的选项应离理想解决方案尽可能近，而离最不理想的解决方案尽可能远。

TOPSIS 的假设之一是每个选择标准对最终功用的影响都是线性的，这样就容易定义最理想和最不理想的解决方案。TOPSIS 方法的一般步骤如下：

1. 构造标准化决策矩阵：

    假设原有的决策矩阵 $\mathbf{D}$ 的元素为 $x_{ij}$，标准化后的矩阵 $\mathbf{R}$ 的元素如下计算：

    $$r_{ij} = \frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{k = 1}^{m}x_{kj}^{2}}}$$

2. 构造加权标准化决策矩阵：

    和 ELECTRE 方法的第2步类似，得到 $$\mathbf{V} =
    \begin{bmatrix}
    w_{1}r_{11} & w_{2}r_{12} & w_{3}r_{13} & \ldots & w_{n}r_{1n} \\
    w_{1}r_{21} & w_{2}r_{22} & w_{3}r_{23} & \ldots & w_{n}r_{2n} \\
    \cdot & & & & \cdot \\
    \cdot & & & & \cdot \\
    \cdot & & & & \cdot \\
    w_{1}r_{m1} & w_{2}r_{m2} & w_{3}r_{m3} & \ldots & w_{n}r_{mn}
    \end{bmatrix}$$

3. 确定理想和最不理想的解：

    用加权标准化决策矩阵 $\mathbf{V}$ 的元素 $v_{ij}$，理想解和最不理想解定义如下：

    $$\mathbf{A^{*}} = \{(\underset{i}{\text{max }} v_{ij} | j \in J), (\underset{i}{\text{min }} v_{ij} | j \in J^{/}), i = 1, 2, 3, \ldots, m\} = \{v_{1^{*}}, v_{2^{*}}, \ldots, v_{n^{*}}\}$$

    $$\mathbf{A^{-}} = \{(\underset{i}{\text{min }} v_{ij} | j \in J), (\underset{i}{\text{max }} v_{ij} | j \in J^{/}), i = 1, 2, 3, \ldots, m\} = \{v_{1^{-}}, v_{2^{-}}, \ldots, v_{n^{-}}\}$$

    其中 $J$ 是其增加引起总功用增加的选择原则的集合，$J^{/}$ 则是其增加引起总功用减少的选择原则的集合。

4. 计算分离度：

    即计算各选择与假想的理想解和最不理想解的距离，有

    $$S_{i^{*}} = \sqrt{\sum_{j = 1}^{n}(v_{ij} - v_{j^{*}})^{2}}, \text{for } i = 1, 2, 3, \ldots, m,$$

    $$S_{i^{-}} = \sqrt{\sum_{j = 1}^{n}(v_{ij} - v_{j^{-}})^{2}}, \text{for } i = 1, 2, 3, \ldots, m.$$

5. 计算与理想解的相对接近程度：

    $$C_{i^{*}} = \frac{S_{i^{-}}}{S_{i^{*}} + S_{i^{-}}}, i = 1, 2, 3, \ldots, m.$$
    这样，$0 \leq C_{i^{*}} \leq 1$。

6. 按照选项的理想程度排序：

    与理想解最接近，即 $C_{i^{*}}$ 最大的选择最优，其余的解也可确定从较理想到最不理想的次序。

## 进化算法

多因素决策中的一派观点认为，传统的多因素决策方法在比较各种选择的过程中过早地放弃了决策信息。决策目标函数的选择是否恰当因此存在疑问，决策者对指标较优的定义也存疑。进化算法被认为可以解决在参数空间中寻找全局最优解的问题，推销员问题和最优解随时间变化的问题。只要能定义个体（选择）在环境中的适应度，就可以应用进化算法。对可以定义单一适应度准则的情况，进化算法需要模拟自然中的种群、单倍体、基因交换、变异和选择等概念，并假设每一代个体生存的时间段都相同，且交配完全随机。对多个适应度准则的情况，还需要定义表示每种准则在每一代中起作用的概率向量，以及退化部分的基因信息。[@kursawe1991variant]

# 问题构造与方法选择

随着多因素决策方法和理论的成熟，如何解决多因素决策问题已经不是人们思考的关键。给定一系列原则和选择，套用一定的模型和方法，决策者几乎一定可以获得这些选择的排序和某些条件下的最优解。但是这些解是否确实反映了决策者的意图和偏好？对不同方法的比较研究显示，方法对决策的结果会产生影响，因此选择适合所研究问题的方法十分重要。除此以外，评价标准的选取、选择的识别和定义、比较尺度的选择等都会影响最终的决策结果，因此现在的多因素决策，更多地是要在问题构造这一步上多下功夫。[@mendoza2006mc]

## 问题的构成

多因素决策问题可以视为由决策目标、决策限制、选择和决策者所描述和定义的一系列考虑因素和它们的相互关系构成的一个具有相对确定边界的整体。因为这些因素的多样性，几乎没有完全相同的多因素决策问题。在应用方法解决多因素决策问题之前，需要对这些因素加以分析和鉴别，以明确该决策问题在现实中的意义，以及现有的数学模型在什么样的程度上反映了这些现实意义，做出了什么样的假设和妥协，以及这些折中会对决策结果产生什么样的影响。

首先应该明确的是决策目标的表示。大部分决策目标表示为某种分数，或者与一个理想状态的接近程度。少数的决策目标无法用具体的数值来表示，例如在一批应聘者中挑选少部分人入职，或者更困难的在花名册中选择人员进行特定的工作。可用数值表述的决策目标，也有连续数值和离散数值的差别。最后，还有一类情况是决策者无法准确地定义什么是最优的结果，但可以针对每个衡量准则指出什么样的情况是不可接受的。

决策目标的表示形式会影响选择原则的表示，进而导致决策限制因素以不同的形式出现。如果决策目标以分数表示，决策限制因素一般表现为可取的指标范围。决策问题中的不同选择通常表示为对各个准则和指标的取值的组合，而且通过显式或隐式的“如果指标 A 取值为 $x$，则指标 B 取值必须为 $y$”或“如果指标 A 大于 $x$，则指标 $B$ 只能小于 $y$”等等条件，还可以表示不同评价原则之间的 tradeoff 关系。

除了可以用指标和数值表示的选择的绝对性能以外，决策者对决策问题可能还有不能用数据和评价原则显式表示的其他偏好。这些偏好有的需要排除在决策过程之外，有的则需要在决策方法本身中加以反映。

## 方法选择

关于选择什么样的多因素分析方法，几乎本身也是一个多因素分析问题。但实践中，决策者们一般根据自己对手头问题的认识和对方法的了解选择方法，使用的更类似于检查表排除方法。

通过回答下列问题，决策者可以确定自己选用方法的大致类型：

* 是否有明确的对最优目标的定义？最优目标一般是不能达到的理想状态，但决策者如果能针对每个评价原则给出最优值，而且同时具有所有最优值的选择总体上也最优，则可以选择基于目标的决策方法，如 TOPSIS 方法。如果没有这样的定义，则应考虑从局部比较入手的方法，如 ELECTRE 等。

* 决策者的主观偏好是否应在决策过程中起重要作用？如果是肯定的回答，则应当选择将决策者偏好加入模型中的方法，如 AHP；如果回答是否定的，则应当在具有明确的评价原则和偏好程度定义的基础上选择遗传算法等对个人偏好依赖小的方法。

* 决策的结果是否容易定义和衡量？如果选择结果不能清晰地用单一的得分来表示，则需要使用基于支配概念的方法，将不理想的选择逐一去除，或者按每个评价原则逐一确定选择可接受与否，并将得到最多“不可接受”的选项去掉的排除法。[@greening2004do]

# 参考资料

[^mcda-wiki]: Wikipedia entry: Multiple-criteria decision analysis <https://en.wikipedia.org/wiki/Multi-criteria_decision_analysis>
[^dominate]: 当选项 $A$ 在一或多个比较原则下强于选项 $A'$，且在其他原则下与 $A'$ 相等，则称 $A$ 支配（dominate）$A'$，或 $A'$ 被 $A$ 支配。
[^disc-domi-matrix]: 对这个定义存在疑问。我参考的 E. Triantaphyllou 所著的 Multi-criteria Decision Making Methods: A comparative study （2000）认为 $\mathbf{G}$ 的元素应该是 $$\begin{eqnarray}
    g_{kl} = 1, & \text{if } d_{kl} \geq \underline{d} \\
    g_{kl} = 0, & \text{if } d_{kl} < \underline{d}
    \end{eqnarray}$$

    但从直觉上说，只有正文中的定义才能表达这个意图：$f_{kl} = 1$，说明 $\mathbf{A}_{k}$ 相对 $\mathbf{A}_{l}$ 在一些指标中具有明显的优势，而 $g_{kl} = 1$ 说明 $\mathbf{A}_{k}$ 在不如 $\mathbf{A}_{l}$ 的指标中也没有明显的劣势，这样才能认定 $\mathbf{A}_{k}$ 事实上支配 $\mathbf{A}_{l}$。我搜索了更多的文献，有一部分沿用了 Triantaphyllou 的说法，而其他的如 The ELECTRE method based on interval numbers and its application to the selection of leather manufacture alternatives （Zhang and Xu 2006）则是使用正文中的定义。如果有更确定的证据，我将更新正文和这个注释。