-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
form_algebra.tex
129 lines (121 loc) · 5.69 KB
/
form_algebra.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
\section{ALGEBRA} \label{algebra}
\hypertarget{algebra}{}
\subsection{Vergelijkingen} \label{vergelijkingen}
\hypertarget{vergelijkingen}{}
\subsubsection{Eerstegraadsvergelijkingen (lineaire vergelijkingen)} \label{eerstegraadsvergelijkingen}
\hypertarget{eerstegraadsvergelijkingen}{}
\begin{itemize}%eerstegraadsvergelijkingen
\item \textcolor{green}{Vorm.}
\[ax+b=0, \: a\neq 0\]
\item\textcolor{green}{Formule.}\newline
Deze vergelijking heeft altijd \'e\'en oplossing:
\[x=-\ds\Frac{b}{a}\]
\end{itemize}%eerstegraadsvergelijkingen
\subsubsection{Tweedegraadsvergelijkingen (vierkantsvergelijkingen)} \label{vierkantsvergelijkingen}
\hypertarget{vierkantsvergelijkingen}{}
\begin{itemize}%tweedegraadsvergelijkingen
\item \textcolor{green}{Vorm.}
\[ax^2+bx+c=0, \: a\neq 0\]
\item\textcolor{green}{Formules.}\newline
Het aantal oplossingen hangt af van het teken van de discriminant ($D$):
\[D=b^2-4ac\]
Als $D>0$, dan zijn er twee verschillende oplossingen:
\[x_{1,2}=\ds\Frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\]
Als $D=0$, dan zijn er twee gelijke oplossingen:
\[x_1=x_2=\ds\Frac{-b}{2a}\]
Als $D<0$, dan zijn er geen oplossingen.\newline\newline
De \hypertarget{som_en_product}{{\bf som ($s$)} en het {\bf product ($p$)}} van de oplossingen:
\label{som_en_product}
\[s=-\ds\Frac{b}{a}\:\mbox{en}\:p=\ds\Frac{c}{a}\]\newline
Een uitdrukking van de tweede graad ontbinden in factoren (als $D\geq 0$):\vskip 0.5cm
\[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\]met $x_1, x_2$ de oplossingen van de vergelijking
$ax^2+bx+c=0$
\end{itemize}%tweedegraadsvergelijkingen
\subsubsection{Bikwadratische vergelijkingen} \label{bikwadratische_vergelijkingen}
\hypertarget{bikwadratische_vergelijkingen}{}
\begin{itemize}%bikwadratische vergelijkingen
\item \textcolor{green}{Vorm.}
\[ax^4+bx^2+c=0,\: a\neq 0\]
\item \textcolor{green}{Methode.}\newline
Door middel van een substitutie $t=x^2$ herleid je de bikwadratische vergelijking tot een vierkantsvergelijking in $t$. De gevonden oplossingen voor $t$ moet je daarna nog terug naar de variabele $x$ omzetten.
\end{itemize}%bikwadratische vergelijkingen
\subsubsection{Vergelijkingen van de $n$-de graad} \label{n-de_graadsvergelijkingen}
\hypertarget{n-de_graadsvergelijkingen}{}
\begin{itemize}%nde graadsvergelijkingen
\item \textcolor{green}{Vorm.}
\[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+a_0,\:\:a_n\neq 0\]
\item \textcolor{green}{Methode.}\newline
Probeer de $n$-de graadsuitdrukking te ontbinden in factoren, ofwel op het zicht ofwel via de methode van \hypertarget{horner}{{\bf Horner}}.\label{Horner}
Volgens deze laatste zoek je een deler van de vorm $x-a$.
\newline
Criterium van deelbaarheid:
\[x-a\: | \: f(x) \Leftrightarrow f(a)=0\]\newline
Verder zoek je het quoti\"ent met het rekenschema van {\bf Horner}.\newline\newline\newline
\item \textcolor{green}{Voorbeeld.}\newline
$\mbox{Los op:}\: x^3+2x^2-5x+2=0$\newline
$f(1)=0 \: \Rightarrow\: x-1 \: |\: f(x)$
\[\begin{tabular}{l|lll|l}
& 1 & 2 & -5 & 2\\
& & & & \\
1& & 1 & 3 & -2\\
\hline
& 1 & 3 & -2 & 0\\
\end{tabular}\]
Het quoti\"ent is dan $x^2+3x-2$, zodat we krijgen:
\[(x-1)(x^2+3x-2)=0\]
Verdere ontbinding levert:
\[(x-1)(x-\ds\Frac{-3+\sqrt{17}}{2})(x+\ds\Frac{- 3+\sqrt{17}}{2})=0\]\newline
De oplossingenverzameling is dan $\{1,\ds\Frac{- 3+\sqrt{17}}{2},\ds\Frac{-3-\sqrt{17}}{2} \}$\vskip 2cm
\end{itemize}%nde graadsvergelijkingen
\subsubsection{Irrationale vergelijkingen} \label{irrationale_vergelijkingen}
\hypertarget{irrationale_vergelijkingen}{}
Een irrationale vergelijking is een vergelijking waarbij de variabele $x$ onder het wortelteken voorkomt.\newline
\textcolor{green} {Voorbeelden:}
\[\sqrt{x+2}=x \hskip 3cm (1)\]
\vskip 0.5cm
\[\sqrt{x}=5-\sqrt{x+1}\hskip 2.2cm (2)\]
De methode van oplossen bestaat erin te kwadrateren tot de vierkantswortels verdwenen zijn.\newline
Er zijn wel enkele voorwaarden op te stellen: bestaansvoorwaarden en kwadrateringsvoorwaarden.\newline
\textcolor{green}{De oplossingen:}\newline
\[\sqrt{x+2}=x\]
De bestaansvoorwaarde: \begin{eqnarray}
x+2 & \geq & 0\\
x & \geq & -2
\end{eqnarray}
De kwadrateringsvoorwaarde: \[x \geq 0\]
De vergelijking wordt dan: \begin{eqnarray}
\sqrt{x+2}&=&x \\
x+2 & = & x^2\\
x^2-x-2 & = 0\\
x=-1 & \mbox{of} & x=2
\end{eqnarray}
De eerste oplossing voldoet niet aan de voorwaarden, de tweede wel, \newline
dus de oplossingenverzameling is $\{2\}$.\vskip 1cm
\[\sqrt{x}=5-\sqrt{x+1}\]
\[\sqrt{x}+\sqrt{x+1}=5\]
De bestaansvoorwaarden: \begin{eqnarray}
x & \geq & 0\\
& & \\
& & \\
x+1 & \geq & 0\\
x & \geq & -1
\end{eqnarray}
De vergelijking wordt dan: \begin{eqnarray}
x+2\sqrt{x(x+1)}+x+1 & = & 25\\
2\sqrt{x(x+1)} & = & 24-2x\\
\sqrt{x(x+1)} & = & 12-x\\
\end{eqnarray}
De kwadrateringsvoorwaarde: \begin{eqnarray}
12-x & \geq & 0\\
x & \leq & 12
\end{eqnarray}
Verder krijgen we dan: \begin{eqnarray}
x(x+1) & = & 144-24x+x^2\\
x & = & \displaystyle\Frac{144}{25}
\end{eqnarray}
Deze oplossing voldoet aan alle voorwaarden, dus de oplossingenverzameling is $\{\displaystyle\Frac{144}{25}\}$.
% Dit werk is gelicenseerd onder een Creative Commons
% Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Unported.
% Bezoek http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ om een kopie te zien
% van de licentie of stuur een brief naar Creative Commons, 444 Castro Street,
% Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA.