Probleemoplossend-denken-II.md

title	link
Probleemoplossend denken II	https://robinmalfait.com/2de-jaar/semester-II/Probleemoplossend-denken-II.md

Deel 1: Kansrekening

Definitie: Het UNIVERSUM of de UITKOMSTENRUIMTE van een experiment is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van dit experiment en wordt genoteerd met Ω.

Opmerkingen:

• De uitkomstriumte moet volledig zijn: elke mogelijke uitkosmt van ee nexperiment moet tot Ω behoren.
• Bovendien moet elke uitkosmt van een experiment overeenkomen met juist één element van Ω.

Voorbeelden:

• Ω = {Kop, Munt}
• Ω = {(1, 1), (1, 2), ..., (6, 6)}

Gebeurtenis

Oefeningen

Definitie: Een GEBEURTENIS is een DEELVERZAMELING van de uitkomstenruimte. Een ENKELVOUDIGE of ELEMENTAIRE gebeurtenis is een singleton; een SAMENGESTELDE GEBEURTENIS heeft cardinaliteit groter dan 1.

• Ω is een opsomming van alle mogelijke uitkomsten van een experiment

• Bv.: bij viermaal gooien van een dobbelsteen is Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}^{4, maar Chevalier de Méré was enkel geïnteresseerd of er minstens één zes was gegooid.}

• A of B: A ∪ B

• A en B: A ∩ B

• niet A: A

Kansen en kansruimte

Oefeningen

Het toekennen van kansen aan gebeurtenissen dient aan de volgende drie regels te voldoen

1. Kansen zijn steeds positief: P(A) ≥ 0 voor elke A

2. De uitkomstenruimte heeft kans 1: P(Ω) = 1.

3. Wanneer A en B disjuncte gebeurtenissen zijn dan is

   P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
   

   Dit noemt men de SOMREGEL

Wanneer de functie P aan de bovenstaande eigenschappen (axioma's) voldoet dan noemt men het drietal (Ω, P(Ω), P) een KANSRUIMTE.

Eigenschappen van kansen

Kansen voldoen aan de volgende eigenschappen:

1. Voor elke gebeurtenis A geldt dat P(Ā) = 1 - P(A)

2. De onmogelijke gebeurtens heeft kans nul: P(∅) = 0

3. Als A ⊆ B, dan is P(A) ≤ P(B); i.h.b geldt P(A) = P(B) - P(B \ A).

   Dit is een soort van verschilregel

4. De UITGEBREIDE SOMREGEL is:

   P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Eindig universum

• Als Ω eindig is, i.e. Ω = {ω1, ω2, ω3, ..., ωn}

• Formule van Laplace:

       #(A)
P(A) = ----
       #(Ω)

Voorwaardelijke kansen

Stel A is de gebeurtenis "er is een inbraak aan de gang"

Stel B is de gebeurtenis "het alarm gaat af"

Voorbeeld

Er wordt tweemaal gegooid met een eerlijke dobbelsteen. at is de waarschijnlijkheid dat de som avn beide ogen 7 of meer is als gegeven is dat de eerste worp een twee opleverde?

Ω = {(1, 2, 3, 4, 5, 6)}

A = {(a, b) | a + b ≥ 7 met a, b ∈ N en a,b ≤ 6}
B = {(2, j) | 1 ≤ j ≤ 6 en j ∈ N}

           #({(2, 5), (2, 6)})
           -------------------
           36
P(A | B) = -------------------
            6
            --
            36

         = 2 / 6

Deel 2: Bomen en Grafen

Deel 3: Operationeel Onderzoek