From 90ad9eef73661e93e54be12dfdb2f1cdcc26ee1b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Lei Zhao Date: Tue, 6 Aug 2024 15:18:28 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Finish=202nd=20chapter=20for=20=E5=BE=AE?= =?UTF-8?q?=E7=A7=AF=E5=88=86B?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- notes/calculus/preamble-all.tex | 10 + ...\345\276\256\347\247\257\345\210\206B.tex" | 2773 +++++++++++++++-- 2 files changed, 2446 insertions(+), 337 deletions(-) diff --git a/notes/calculus/preamble-all.tex b/notes/calculus/preamble-all.tex index 4a837d8..50780fc 100644 --- a/notes/calculus/preamble-all.tex +++ b/notes/calculus/preamble-all.tex @@ -78,6 +78,8 @@ \@ifnextchar[\@item{\@item[\@itemlabel]}}} \makeatother +\let\sin\relax +\DeclareMathOperator{\sin}{\smash{sin}} \DeclareMathOperator{\arccosh}{arccosh} \DeclareMathOperator{\arcsinh}{arcsinh} \DeclareMathOperator{\arctanh}{arctanh} @@ -101,15 +103,23 @@ \renewcommand{\mid}{\SetSymbol[\delimsize]}#1} \DeclarePairedDelimiterXPP{\expb}[1]{\exp}{\lbrace}{\rbrace}{}{#1} \DeclarePairedDelimiterXPP{\maxb}[1]{\max}{\lbrace}{\rbrace}{}{#1} +\DeclarePairedDelimiterXPP{\minb}[1]{\min}{\lbrace}{\rbrace}{}{#1} \DeclarePairedDelimiterXPP{\lnp}[1]{\ln}{\lparen}{\rparen}{}{#1} \DeclarePairedDelimiterXPP{\Set}[1]{\mathop{}}{\lbrace}{\rbrace}{}{% \renewcommand{\mid}{\SetSymbol[\delimsize]}#1} \let\Seq\Set \DeclarePairedDelimiterXPP{\abs}[1]{\mathop{}}{\lvert}{\rvert}{}{#1} +\let\card\abs +\DeclarePairedDelimiterXPP{\sinp}[1]{\sin}{\lparen}{\rparen}{}{#1} +\DeclarePairedDelimiterXPP{\cosp}[1]{\cos}{\lparen}{\rparen}{}{#1} \newcommand*{\Fn}[1]{\mathop{\relax #1}\nolimits} \newcommand*{\fn}[1]{\mathop{\relax\kern0pt #1}\nolimits} \newcommand*{\gammaf}{\Fn{\Gamma}} \renewcommand*{\Pr}{\Fn{P}} +\newcommand*{\littleo}{\Fn{o}} +\DeclarePairedDelimiterXPP{\littleop}[1]{\littleo}{\lparen}{\rparen}{}{#1} +\newcommand*{\bigO}{\Fn{O}} +\DeclarePairedDelimiterXPP{\bigOp}[1]{\bigO}{\lparen}{\rparen}{}{#1} \DeclarePairedDelimiterXPP{\Prp}[1]{\Pr}{\lparen}{\rparen}{}{% \renewcommand{\mid}{\SetSymbol[\delimsize]}#1} \newcommand*{\pnorm}{\Fn{\Phi}} diff --git "a/notes/calculus/\345\276\256\347\247\257\345\210\206B.tex" "b/notes/calculus/\345\276\256\347\247\257\345\210\206B.tex" index 3463623..4668c3f 100644 --- "a/notes/calculus/\345\276\256\347\247\257\345\210\206B.tex" +++ "b/notes/calculus/\345\276\256\347\247\257\345\210\206B.tex" @@ -13,21 +13,44 @@ \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \newcommand*{\hangpar}[2]{\hangindent=1.2cm \textbf{#1}\\[6pt]#2} \newcommand*{\veq}{\ensuremath{\mathrel{\:\rotatebox{90}{=}}}} -\newcommand*{\period}{\textnormal{\bfseries.}} -\newcommand*{\comma}{\textnormal{,}} -\newcommand*{\scolon}{\textnormal{;}} +\newcommand*{\period}{\ltjjachar`.} +\newcommand*{\comma}{，} +\newcommand*{\scolon}{；} \renewcommand*{\enumparen}[1]{（\makebox[0.6em][c]{\normalfont#1}）} -\newtheoremstyle{break}{}{}{\itshape}{}{\bfseries}{}{\newline}{} -\theoremstyle{break} +\DeclareEmphSequence{\bfseries} +\renewcommand*{\tand}{\textop{且}} +\renewcommand*{\otherwise}{\text{其他}} +\renewcommand*{\iand}{\intertext{和}} +\makeatletter +\newtheoremstyle{plain}{}{}{\itshape}{}{\bfseries}{}{.5em}{% + \thmname{#1}\thmnumber{\@ifnotempty{#1}{ }\@upn{#2}}% + \thmnote{ {\the\thm@notefont（#3）}}% + % \@ifnotempty{#3}{\thm@headsep=.75ex} +} +\newtheoremstyle{definition}{}{}{}{}{\bfseries}{}{.5em}{% + \thmname{#1}\thmnumber{\@ifnotempty{#1}{ }\@upn{#2}}% + \thmnote{ {\the\thm@notefont（#3）}}% + % \@ifnotempty{#3}{\thm@headsep=.75ex} +} +\newtheoremstyle{remark}{}{}{}{}{}{\ignorespaces}{\z@}{\noindent\ignorespaces} +\makeatother +\newtheorem{theorem}{定理} \newtheorem*{theorem*}{定理} +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{definition}{定义} \newtheorem*{definition*}{定义} \newtheorem*{axiom*}{公理} +\newtheorem{example}{例} +\newtheorem*{example*}{例} +\theoremstyle{remark} +\newtheorem*{remark}{评论} \usepackage{cancel} \usepackage{systeme} \usepackage{caption} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage[perpage]{footmisc} +\usepackage{enumitem} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{positioning,shapes,automata,external,colorbrewer} @@ -44,8 +67,8 @@ % \xeCJKsetup{CJKecglue=\,} % \ltjsetparameter{xkanjiskip={0.13\zw plus 1pt minus 1pt}} \setCJKmainfont{Songti SC}[ - BoldFont = * Black, - ItalicFont = * Bold + BoldFont = Heiti SC, + ItalicFont = STFangsong ] \usepackage[math-style=TeX]{unicode-math} @@ -55,8 +78,13 @@ \newif\ifshowsol \newif\ifshowex +\newif\ifshowsolp \showsoltrue \showextrue +\ifshowsol +\showsolptrue +\fi +\showsolptrue % \renewcommand*{\proofname}{证} \makeatletter @@ -73,7 +101,7 @@ } \makeatother -\newenvironment{example}[1][]{\noindent\textbf{例#1：}}{} +% \newenvironment{example}[1][]{\noindent\textbf{例#1：}}{} \AtBeginDocument{% % \DeclareEmphSequence{\bfseries} @@ -106,64 +134,64 @@ \chapter{实数与函数} \section{实数集的界与确界} \begin{definition*} - 设\(A\)是一个非空实数集\period 若存在\(M > 0\)\comma 使得对任意的\(x \in A\)\comma 都有\(\abs{x} \le M\)\comma 则称实数集\(A\)有界\comma 称\(M\)为\(A\)的一个界\scolon 若存在\(M_1 \in \R\)\comma 使得对任意的\(x \in A\)\comma 都有\(x \le M_1\)\comma 则称实数集\(A\)有上界\comma 称\(M_1\)为\(A\)的一个上界\scolon 下界的定义类似\period + 设\(A\)是一个非空实数集. 若存在\(M > 0\), 使得对任意的\(x \in A\), 都有\(\abs{x} \le M\), 则称实数集\(A\)有界, 称\(M\)为\(A\)的一个界; 若存在\(M_1 \in \R\), 使得对任意的\(x \in A\), 都有\(x \le M_1\), 则称实数集\(A\)有上界, 称\(M_1\)为\(A\)的一个上界; 下界的定义类似. \end{definition*} % \pskip \begin{theorem*} 实数集有界的充分必要条件是其既有上界\comma 又有下界\period -\end{theorem*} -\begin{proof} - 只证充分性. 设\(M_1, M_2\)分别为实数集的上下界, 取\(M = \max\brce{\abs{M_1}, \abs{M_2}}\), 则\(M\)就是该实数集的一个界. -\end{proof} + \begin{proof} + 只证充分性. 设\(M_1, M_2\)分别为实数集的上下界, 取\(M = \maxb*{\abs{M_1}, \abs{M_2}}\), 则\(M\)就是该实数集的一个界. + \end{proof} +\end{theorem*} -\begin{example} +\begin{example*} 证明正整数集\(\Z^+\)是无界集. -\end{example} -\begin{proof} - 对于任意的\(M > 0\), 取\(n_0 = \floor M + 1\), 都有\(n_0 \in \Z^+\)且\(n_0 > M\). -\end{proof} + \begin{proof} + 对于任意的\(M > 0\), 取\(n_0 = \floor M + 1\), 都有\(n_0 \in \Z^+\)且\(n_0 > M\). + \end{proof} +\end{example*} -\begin{example} + +\begin{example*} 证明\(\brce{n \sin \frac{n\pi}2}\)是无界集. -\end{example} -\begin{proof} - 对于所有的\(M > 0\), 取\(n_0 = 2 \floor M + 1\), 那么就有 - \[ - \abs[\Big]{n_0 \sin \frac{n_0\pi}2} = \abs[\Big]{(-1)^{\floor M} n_0} = n_0 = 2 \floor M + 1 > M. \qedhere - \] -\end{proof} + \begin{proof} + 对于所有的\(M > 0\), 取\(n_0 = 2 \floor M + 1\), 那么就有 + \[ + \abs[\Big]{n_0 \sin \frac{n_0\pi}2} = \abs[\Big]{(-1)^{\floor M} n_0} = n_0 = 2 \floor M + 1 > M. \qedhere + \] + \end{proof} +\end{example*} \begin{definition*} - 实数集\(A\)的最小上界称作上确界\footnote{上（下）确界的概念最早可以追溯到Roger Paman.}\comma 记作\(\sup A\)\scolon 它的最大下界称作下确界\comma 记作\(\inf A\)\period + 实数集\(A\)的最小上界称作上确界\footnote{上（下）确界的概念最早可以追溯到Roger Paman.}, 记作\(\sup A\); 它的最大下界称作下确界, 记作\(\inf A\). \end{definition*} \begin{definition*} - 对于实数集\(A\)\comma 如果实数\(M\)满足：\enumparen{1}对于任意的\(x \in A\)\comma 都有\(x \le M \)\scolon{} \enumparen{2}对于任意的\(ε > 0\)\comma 都存在\(x \in A\)使得\(x > M - ε\)\comma 那么就称\(M\)为\(A\)的上确界\period 下确界的定义类似\period + 对于实数集\(A\), 如果实数\(M\)满足：\enumparen{1}对于任意的\(x \in A\), 都有\(x \le M \); \enumparen{2}对于任意的\(ε > 0\), 都存在\(x \in A\)使得\(x > M - ε\); 那么就称\(M\)为\(A\)的上确界. 下确界的定义类似. \end{definition*} -\begin{example} +\begin{example*} 证明\(\inf\Seq[\big]{\frac1n} = 0\). -\end{example} -\begin{proof} - 取\(x = 1/\paren[\big]{\floor{\frac1ε}+1}\)即可. -\end{proof} + \begin{proof} + 取\(x = 1/\paren[\big]{\floor{\frac1ε}+1}\)即可. + \end{proof} +\end{example*} \begin{axiom*}[确界存在公理] - 若非空实数集\(A\)有上界\comma 则其在实数范围内上有上确界\scolon 若有下界\comma 则在实数范围内有下确界\period + 若非空实数集\(A\)有上界, 则其在实数范围内上有上确界; 若有下界, 则在实数范围内有下确界. \end{axiom*} -\pagebreak \subpdfbookmark{思考}{B1.1.1.P} \subsection*{思考} 设\(E \subset R\)为非空实数集. 上确界\(\sup E\)和最大值\(\max E\)有什么和联系区别? 下确界\(\inf E\)和最小值\(\min E\)呢? -\ifshowsol +\ifshowsolp 如果\(E\)有最大值, 则\(\sup E = \max E\). 最小值的情况同理. \fi @@ -236,7 +264,7 @@ \subsection*{练习} \item \(M_1 = M_2,\ N_1 = N_2\) \end{itemize} -\item 若\(a, b \in \R\), 则\(\max\brce{a, b}\)和\(\min\brce{a,b}\)分别是\uline{\makebox[4em]{}}. +\item 若\(a, b \in \R\), 则\(\max\brce{a, b}\)和\(\min\brce{a, b}\)分别是\uline{\makebox[4em]{}}. \begin{itemize} \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} \ifshowsol @@ -271,31 +299,32 @@ \subsection*{练习} \section{函数的概念} \begin{definition*} - 设\(D\)是一个非空实数集\,\comma\; \(f\)是\(D\)上的一个对应关系\period 若对任意的\(x \in D\)\comma 都存在唯一的实数\(y\)通过\(f\)与\(x\)对应\,\comma 则称\(f\)是定义在\(D\)上的一个函数\,\comma 记作\(y = f(x),\ x \in D\)\period + 设\(D\)是一个非空实数集\,, \(\,f\)是\(D\)上的一个对应关系. 若对任意的\(x \in D\), 都存在唯一的实数\(y\)通过\(\,f\)与\(x\)对应\,, 则称\(\,f\)是定义在\(D\)上的一个函数\,, 记作\(y = f(x),\ x \in D\). \end{definition*} 函数的记号是欧拉的, 现代定义最早是由狄利克雷提出的. \begin{definition*} - 设函数\(f\)在\(D\)上有定义\comma 称点集\(\brce[\big]{(x,y) \mid y = f(x),\ x \in D}\)为\(f\)的图形\period + 设函数\(f\)在\(D\)上有定义, 称点集\(\Set[\big]{(x,y) \mid y = f(x),\ x \in D}\)为\(f\)的图形. \end{definition*} -\begin{definition*}[狄利克雷函数] +\begin{definition}[狄利克雷函数] + \label{defn:dirichlet} \[ - D(x) = + \Fn D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \Q, \\ - -1, & x \in \R \setminus \Q. + 0, & x \in \R \setminus \Q. \end{cases} \] -\end{definition*} +\end{definition} \begin{definition*}[阶跃函数] \[ - D(x) = + \Fn H(x) = \begin{cases} - a, & x \ge x_0, \\ - b, & x < x_0. + 1, & x \ge 0, \\ + 0, & x < 0. \end{cases} \] \end{definition*} @@ -312,24 +341,24 @@ \section{函数的概念} \end{definition*} \begin{definition*}[分段函数] - 在定义域上不能由一个统一的数学表达式表示\,\comma 但在定义域的不同范围上能用不同的数学表达式给出的函数称为分段函数\period + 在定义域上不能由一个统一的数学表达式表示\,, 但在定义域的不同范围上能用不同的数学表达式给出的函数称为分段函数. \end{definition*} \begin{definition*}[隐函数] - 无法或者不方便显式地来定义\,\comma 而是使用代数关系（一般无法写出解析解形式）来确定的函数\period + 无法或者不方便显式地来定义\,, 而是使用代数关系（一般无法写出解析解形式）来确定的函数. \end{definition*} -\begin{example} +\begin{example*} 对于任意\(k \le 0\), 找到使得等式\(2^x = kx + 2\)成立的\(x\), 这样建立的从\(k\)到\(x\)的关系就是一个隐函数. -\end{example} +\end{example*} -\begin{example} +\begin{example*} 易知函数\(y = x + \frac12 \sin x\)是单调递增函数, 那么由这个函数确定的反函数\(x = x(y)\)也是一个隐函数. -\end{example} +\end{example*} -\begin{example} +\begin{example*} 等式\(x^2 + y^2 = 1\)是函数\(y = \sqrt{1 - x^2}\)和函数\(y = -\sqrt{1 - x^2}\)的隐式表示. -\end{example} +\end{example*} \subpdfbookmark{思考}{B1.1.2.P} \subsection*{思考} @@ -341,7 +370,7 @@ \subsection*{思考} \] 试画出取整函数的图像. - \ifshowsol + \ifshowsolp \begin{figure}[H] \centering \tikzsetnextfilename{B1.1.2.P.1} @@ -371,7 +400,7 @@ \subsection*{思考} \item 能否画出狄利克雷函数的图像? - \ifshowsol + \ifshowsolp 不能. \fi \end{enumerate} @@ -518,48 +547,50 @@ \subsection*{练习} \section{函数的运算} \begin{definition*} - 设函数\(f(x)\)和\(g(x)\)的定义域分别为\(D_1\)和\(D_2\)\comma 且\(D = D_1 \cap D_2\)非空\period\; 定义函数的四则运算为 + 设函数\(f(x)\)和\(g(x)\)的定义域分别为\(D_1\)和\(D_2\), 且\(D = D_1 \cap D_2\)非空. 定义函数的四则运算为 \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{\enumparen{\arabic{enumi}}} \item 加减法\((\,f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x),\ x \in D\); \item 乘法\((\,fg)(x) = f(x) \, g(x),\ x \in D\); - \item 除法\((\,f/g)(x) = f(x) / g(x)\ (\,g(x) \ne 0),\ x \in D\)\period + \item 除法\((\,f/g)(x) = f(x) / g(x)\ (\,g(x) \ne 0),\ x \in D\). \end{enumerate} \end{definition*} -\begin{example} +\begin{example*} 设\(f(x) = x + \sqrt x,\ g(x) = x - \sqrt x\). 经过函数的加法运算, 有\((\,f+g)(x) = 2x,\ x \in \brktparen{0, +\infty}\). -\end{example} +\end{example*} \begin{definition*} - 设\(g\colon D_g \to Z_g,\ f\colon D_f \to Z_f\)且\(Z_g \subset D_f\)\,\comma 那么对于任意的\(x \in D_g\)\comma 函数值\(\,f\paren{g(x)}\)都是有意义的\period 定义函数\(\,f\)和\(g\)的复合为 + 设\(g\colon D_g \to Z_g,\ f\colon D_f \to Z_f\)且\(Z_g \subset D_f\)\,, 那么对于任意的\(x \in D_g\), 函数值\(\,f\paren{g(x)}\)都是有意义的. 定义函数\(\,f\)和\(g\)的复合为 \[ \begin{split} f \circ g\colon & D_g \to Z_f \\ & x \mapsto f\paren{g(x)}. \end{split} \] -\end{definition*} -我们经常把条件放宽, 只要\(Z_g \cap D_f \ne \emptyset\), 就可以定义复合函数, 这个函数和上面的定义中的规则一样, 只是定义域可能会变窄, 即 -\[ - \begin{split} - f \circ g\colon & \paren[\big]{\,f^{-1}(Z_g \cap D_f) \subset D_g} \to Z_f \\ - & x \mapsto f\paren{g(x)}. - \end{split} -\] + \begin{remark} + 我们经常把条件放宽, 只要\(Z_g \cap D_f \ne \emptyset\), 就可以定义复合函数, 这个函数和上面的定义中的规则一样, 只是定义域可能会变窄, 即 + \[ + \begin{split} + f \circ g\colon & \paren[\big]{\,f^{-1}(Z_g \cap D_f) \subset D_g} \to Z_f \\ + & x \mapsto f\paren{g(x)}. + \end{split} + \] + \end{remark} +\end{definition*} -\begin{example} +\begin{example*} 设函数\(y = \sqrt u\)和\(u = 1+x^2\). 它们可以做复合运算得到\(y = \sqrt{1+x^2}\). -\end{example} +\end{example*} -\begin{example} +\begin{example*} 设函数\(y = \arcsin u\)和\(u = 2+x^2\). 它们无法做这样的复合运算\(y = \arcsin(2+x^2)\). -\end{example} +\end{example*} \begin{definition*} - 设函数\(f\colon D \to Z_f\)和一对应关系\(g\)\period 若对任意的\(y \in Z_f\)\,\comma 通过\(g\)找到唯一的\(x \in D\)\comma 使得\(y = f(x)\)\comma 则称\(g\)是\(f\)的反函数\,\comma 记作\(f^{-1}\)\period + 设函数\(f\colon D \to Z_f\)和一对应关系\(g\). 若对任意的\(y \in Z_f\)\,, 通过\(g\)找到唯一的\(x \in D\), 使得\(y = f(x)\), 则称\(g\)是\(f\)的反函数\,, 记作\(f^{-1}\). \end{definition*} 易知\(f(\,f^{-1}(x)) = f^{-1}(\,f(x)) = x\). @@ -572,28 +603,30 @@ \section{函数的运算} 反函数存在的充分必要条件是这个函数是一一对应的\period \end{theorem*} -\begin{example} +\begin{example*} 求\(y = \sinh x = \frac12 (e^x - e^{-x})\)的反函数. - 通过变形将\(x\)用\(y\)表出, 有 - \begin{align*} - y &= \frac{e^x - e^{-x}}{2} && \reason{原式} \\ - 2y &= e^x - e^{-x} && \reason{同乘以\(2\)} \\ - 0 &= \paren{e^{x}}^2- 2y\,e^x - 1 && \reason{同乘以\(e^x\)并移项} \\ - e^x &= y + \sqrt{y^2 + 1} && \reason{关于\(e^x\)解方程} \\ - x &= \ln\paren[\big]{y + \sqrt{y^2 + 1}}. && \reason{取对数} - \end{align*} - 所以反函数是\(y = \arcsinh x = \ln\paren[\big]{x + \sqrt{x^2 + 1}}\). -\end{example} + \begin{remark} + 通过变形将\(x\)用\(y\)表出, 有 + \begin{align*} + y &= \frac{e^x - e^{-x}}{2} && \reason{原式} \\ + 2y &= e^x - e^{-x} && \reason{同乘以\(2\)} \\ + 0 &= \paren{e^{x}}^2- 2y\,e^x - 1 && \reason{同乘以\(e^x\)并移项} \\ + e^x &= y + \sqrt{y^2 + 1} && \reason{关于\(e^x\)解方程} \\ + x &= \ln\paren[\big]{y + \sqrt{y^2 + 1}}. && \reason{取对数} + \end{align*} + 所以反函数是\(y = \arcsinh x = \ln\paren[\big]{x + \sqrt{x^2 + 1}}\). + \end{remark} +\end{example*} \begin{definition*} 反三角函数 \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{\enumparen{\arabic{enumi}}} - \item 反正弦函数\(y = \arcsin x\)\comma 定义域\(\brkt{-1, 1}\)\comma 值域\(\brkt{-\frac\pi2, \frac\pi2}\)\scolon - \item 反余弦函数\(y = \arccos x\)\comma 定义域\(\brkt{-1, 1}\)\comma 值域\(\brkt{0, \pi}\)\scolon - \item 反正切函数\(y = \arcsin x\)\comma 定义域\(\brkt{-\infty, +\infty}\)\comma 值域\(\brkt{-\frac\pi2, \frac\pi2}\)\scolon - \item 反余切函数\(y = \arccos x\)\comma 定义域\(\brkt{-\infty, +\infty}\)\comma 值域\(\brkt{0, \pi}\)\period + \item 反正弦函数\(y = \arcsin x\), 定义域\(\brkt{-1, 1}\), 值域\(\brkt{-\frac\pi2, \frac\pi2}\); + \item 反余弦函数\(y = \arccos x\), 定义域\(\brkt{-1, 1}\), 值域\(\brkt{0, \pi}\); + \item 反正切函数\(y = \arcsin x\), 定义域\(\brkt{-\infty, +\infty}\), 值域\(\brkt{-\frac\pi2, \frac\pi2}\); + \item 反余切函数\(y = \arccos x\), 定义域\(\brkt{-\infty, +\infty}\), 值域\(\brkt{0, \pi}\). \end{enumerate} 其中我们限制值域的范围叫做反三角函数的主值范围. \end{definition*} @@ -604,13 +637,13 @@ \subsection*{思考} \begin{enumerate} \item 复合函数\(f \circ g\)与\(g \circ f\)是否相等? - \ifshowsol + \ifshowsolp 不一定相等. \fi \item 什么样的函数存在反函数? 如何确定反函数的定义域和值域? - \ifshowsol + \ifshowsolp 一一对应的函数一定存在反函数. 如果不是一一对应, 那么至少也应该是单射的. 这时, \(\ran f\)就是\(f^{-1}\)的定义域, \(f\)的定义域就是反函数的值域. 如果连单射都不是, 我们就要向反三角函数那样找到一个主分支, 来构造反函数. \fi \end{enumerate} @@ -718,7 +751,7 @@ \subsection*{练习} \ifshowsol \uline{\makebox[10em]{\(\paren{-\infty, 0} \cup \paren{0, +\infty}\)}}. - 实际上, \(g\)是可以求出来的, 就是 + 实际上\,, \(g\)是可以求出来的, 就是 \[ g(x) = \pm \sqrt{\frac{3e^{x^2}+1}{e^{x^2}-1}} - 1. \] @@ -744,7 +777,7 @@ \subsection*{练习} \ifshowsol \uline{\makebox[3em]{\(4\)}}. - 实际上, \(a = 3\)且\(b = 1\). + 实际上\,, \(a = 3\)且\(b = 1\). \else \uline{\makebox[3em]{}}. \fi @@ -754,7 +787,7 @@ \subsection*{练习} \ifshowsol 这题相当于是求\(3 = f^{-1}(x+1)\)时\(x\)的值. 有\(f(3) = f(\,f^{-1}(x+1)) = x+1 = \dfrac92\), 所以\(h(3) = \dfrac72\). - 实际上, \(h(x) = 1 + \dfrac{5}{x-1}\). + 实际上\,, \(h(x) = 1 + \dfrac{5}{x-1}\). \fi \end{enumerate} @@ -763,19 +796,19 @@ \subsection*{练习} \section{函数的初等性质} \begin{definition*} - 设函数\(f\colon D \to Z_f\)\,\period 若\(\ran f \subset Z_f\)是有界集\,\comma 则称\(f\)是有界函数\,\comma{} \(\ran f\)的界就是\(f\)在\(D\)上的界\period + 设函数\(f\colon D \to Z_f\)\,. 若\(\ran f \subset Z_f\)是有界集\,, 则称\(f\)是有界函数\,, \(\ran f\)的界就是\(f\)在\(D\)上的界. \end{definition*} -\begin{example} +\begin{example*} 证明\(f(x) = \dfrac1x\)在\(\paren{0,+\infty}\)上无界. \begin{proof} 对于任意的\(M > 0\), 取\(x_0 = \frac1{2M}\), 则有\(x \in \paren{0,+\infty}\)且\(f(x_0) = 2M > M\). \end{proof} -\end{example} +\end{example*} \begin{definition*} - 设函数\(f\)的定义域关于原点对称\period 对于定义域上的任意\(x\)\comma 函数\(f\)都满足\(f(-x) = -f(x)\)\comma 这时\(f\)叫做奇函数\period 对于定义域上的任意\(x\)\comma 函数\(f\)都满足\(f(-x) = f(x)\)\comma 这时\(f\)叫做偶函数\period + 设函数\(f\)的定义域关于原点对称. 对于定义域上的任意\(x\), 函数\(f\)都满足\(f(-x) = -f(x)\), 这时\(f\)叫做奇函数. 对于定义域上的任意\(x\), 函数\(f\)都满足\(f(-x) = f(x)\), 这时\(f\)叫做偶函数. \end{definition*} \hypertarget{T:evenodd}{} @@ -797,7 +830,7 @@ \section{函数的初等性质} \end{proof} \end{theorem*} -\begin{example} +\begin{example*} 设函数\(f\)是奇函数, 函数\(g(x) = \ln\paren[\big]{\,f(x) + \sqrt{\,f^2(x)+1}}\). 试讨论函数\(g\)的奇偶性. 因为 @@ -815,23 +848,23 @@ \section{函数的初等性质} \] 所以\(g\)是奇函数. - 事实上, 本例中的\(g\)和\(f\)的关系, 可以用\(g(x) = \arcsinh f(x)\)来表示. 那么自然有\(g(-x) = \arcsinh f(-x) = \arcsinh\paren[\big]{-f(x)} = - \arcsinh f(x) = -g(x)\). -\end{example} + 事实上\,, 本例中的\(g\)和\(f\)的关系\,, 可以用\(g(x) = \arcsinh f(x)\)来表示. 那么自然有\(g(-x) = \arcsinh f(-x) = \arcsinh\paren[\big]{-f(x)} = - \arcsinh f(x) = -g(x)\). +\end{example*} \begin{definition*} - 设\(\,f\)是一个定义在\(\R\)上的函数\period 若存在正数\(T\)使得\(f(x+T) = f(x)\)恒成立\,\comma 这时我们称\(f\)为周期函数\period + 设\(\,f\)是一个定义在\(\R\)上的函数. 若存在正数\(T\)使得\(f(x+T) = f(x)\)恒成立\,, 这时我们称\(f\)为周期函数. \end{definition*} 通常我们提到函数的周期, 是指函数的最小正周期, 如果存在的话. 并不是每个周期函数都有最小正周期的, 比方说常函数和狄利克雷函数. -\begin{example} +\begin{example*} 设函数\(f\)的周期是\(2\)且\(g(x) = f\,\paren[\Big]{\dfrac{x+1}{2}}\). 试问函数\(g\)是否为周期函数? 如果是, 它的周期是多少? 函数\(g\)的周期是\(4\). -\end{example} +\end{example*} \begin{definition*} - 对于任意的\(x_1 < x_2 \in D\)都有\(\,f(x_1) < f(x_2)\)成立\,\comma 则称\(f\)单调递增（单增）\period\; 对于任意的\(x_1 < x_2 \in D\)都有\(\,f(x_1) > f(x_2)\)成立\,\comma 则称\(f\)单调递减（单减）\period + 对于任意的\(x_1 < x_2 \in D\)都有\(\,f(x_1) < f(x_2)\)成立\,, 则称\(f\)单调递增（单增）. 对于任意的\(x_1 < x_2 \in D\)都有\(\,f(x_1) > f(x_2)\)成立\,, 则称\(f\)单调递减（单减）. \end{definition*} \begin{theorem*} @@ -839,7 +872,7 @@ \section{函数的初等性质} 函数\(\,f\)单减的充要条件是：对于任意的\(x_1, x_2 \in D\)\comma 当\(x_1 \ne x_2\)时\comma 都有\(\paren{x_1 - x_2}\paren[\big]{\,f(x_1) - f(x_2)} < 0\)\period \end{theorem*} -\begin{example} +\begin{example*} 证明\(f(x) = x^3\)是单调递增函数. \begin{proof} @@ -854,21 +887,21 @@ \section{函数的初等性质} \] 所以\(f\)是单增函数. \end{proof} -\end{example} +\end{example*} \begin{definition*} - 设函数\(f\)是在\(\paren{a,b}\)上有定义\period 若对任意的\(x_1, x_2 \in \paren{a,b}\)和\(\alpha \in \paren{0,1}\)\comma 当\(x_1 \ne x_2\)时都有 + 设函数\(f\)是在\(\paren{a,b}\)上有定义. 若对任意的\(x_1, x_2 \in \paren{a,b}\)和\(\alpha \in \paren{0,1}\), 当\(x_1 \ne x_2\)时都有 \[ f\,\paren[\big]{\alpha x_1 + (1-\alpha) x_2} < \alpha\,f(x_1) + (1-\alpha)\,f(x_2), \] - 则称\(f\)在\(\paren{a,b}\)上是下凸的\period 若对任意的\(x_1, x_2 \in \paren{a,b}\)和\(\alpha \in \paren{0,1}\)\comma 当\(x_1 \ne x_2\)时都有 + 则称\(f\)在\(\paren{a,b}\)上是下凸的. 若对任意的\(x_1, x_2 \in \paren{a,b}\)和\(\alpha \in \paren{0,1}\), 当\(x_1 \ne x_2\)时都有 \[ f\,\paren[\big]{\alpha x_1 + (1-\alpha) x_2} > \alpha\,f(x_1) + (1-\alpha)\,f(x_2), \] - 则称\(f\)在\(\paren{a,b}\)上是上凸的\period + 则称\(f\)在\(\paren{a,b}\)上是上凸的. \end{definition*} -\begin{example} +\begin{example*} 证明函数\(f(x) = x^2\)在\(\R\)上是下凸的. \begin{proof} @@ -884,9 +917,9 @@ \section{函数的初等性质} \end{split} \] \end{proof} -\end{example} +\end{example*} -\begin{example} +\begin{example*} 函数\(f\)在\(\paren{a,b}\)上下凸的充分必要条件是：对于任意互异的\(x, y, z \in \paren{a,b}\)和正数\(\alpha, \beta, \gamma\), 当\(\alpha+\beta+\gamma=1\)时都有 \[ f\paren{\alpha x + \beta y + \gamma z} < \alpha\,f(x) + \beta\,f(y) + \gamma\,f(z). @@ -939,7 +972,7 @@ \section{函数的初等性质} % f(a y + b z) < a\,f(y) + b\,f(z). % \] \end{proof} -\end{example} +\end{example*} \subpdfbookmark{思考}{B1.1.4.P} \subsection*{思考} @@ -947,13 +980,13 @@ \subsection*{思考} \begin{enumerate} \item 将任意一个定义在实数域上的函数\(f(x)\)分解成一个奇函数和一个偶函数之和. - \ifshowsol + \ifshowsolp 参见奇偶性定义后面的\hyperlink{T:evenodd}{定理}. \fi \item 函数单调性是否是函数存在反函数的必要条件? - \ifshowsol + \ifshowsolp 不是. 反例：函数\(y = 1/x\)在定义域上不是单调的, 但是存在反函数且反函数就是它自己. \fi \end{enumerate} @@ -1100,14 +1133,16 @@ \subsection*{练习} \section{初等函数} \begin{definition*} - 常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数\,\comma 这六类函数叫做基本初等函数\period + 常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数, 这六类函数叫做基本初等函数. \end{definition*} \begin{definition*} - 由基本初等函数经过有限次四则运算或函数复合得到的函数叫做初等函数\period\footnote{初等函数的概念最早是由法国数学家Joseph Liouville在讨论不定积分的代数解时引入的.} + 由基本初等函数经过有限次四则运算或函数复合得到的函数叫做初等函数.\footnote{初等函数的概念最早是由法国数学家Joseph Liouville在讨论不定积分的代数解时引入的.} \end{definition*} -常见的非初等函数有：分段函数、隐函数、参数方程确定的函数、变限定积分函数、参变量积分函数、函数项级数的和函数. +\begin{remark} + 常见的非初等函数有：分段函数、隐函数、参数方程确定的函数、变限定积分函数、参变量积分函数、函数项级数的和函数. +\end{remark} \begin{definition*} 双曲正弦、双曲余弦、双曲正切函数的定义分别是 @@ -1117,32 +1152,35 @@ \section{初等函数} \cosh x \coloneq \frac{e^x+e^{-x}}{2}, \quad \tanh x \coloneq \frac{\sinh x}{\cosh x}. + \rule[-2ex]{0pt}{0pt} \] \end{definition*} -\ifshowsol -\pagebreak -\fi - -关于双曲函数常见的关系式有： -\begin{gather*} - \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1, - \quad - \sech^2 x + \tanh^2 x = 1, \\ - \cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y, \\ - \sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y. -\end{gather*} -双曲线的一个分支可以用含双曲函数的参数方程来表示： -\[ - x = a \cosh t, - \quad - y = b \sinh t. -\] +\begin{remark} + 关于双曲函数常见的关系式有： + \begin{gather*} + \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1, + \quad + \sech^2 x + \tanh^2 x = 1, \\ + \cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y, \\ + \sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y. + \end{gather*} +\end{remark} + +\begin{remark} + 双曲线的一个分支可以用含双曲函数的参数方程来表示： + \[ + x = a \cosh t, + \quad + y = b \sinh t. + \] +\end{remark} -\hypertarget{D:inversehyper}{} +\hypertarget{defn:inversehyper}{} \begin{definition*} 双曲函数的反函数有： \[ + \addtolength{\jot}{.8ex} \begin{split} \arccosh x &\coloneq \ln\paren[\big]{x + \sqrt{x^2-1}} \quad\text{对于}\quad @@ -1151,15 +1189,16 @@ \section{初等函数} \quad\text{对于}\quad x \in \R, \\ \arctanh x - &\coloneq \frac12 \ln\frac{1+x}{1-x} \\ - &\coloneq \frac12\brkt*{\ln(1+x) - \ln(1-x)} + &\coloneq \frac12 \ln\frac{1+x}{1-x} + = \frac12\brkt*{\ln(1+x) - \ln(1-x)} \quad\text{对于}\quad x^2 < 1, \\ \arccoth - &\coloneq \frac12 \ln\frac{1+x}{x-1} \\ - &\coloneq \frac12 \brkt[\Big]{\ln\paren[\Big]{1+\frac1x} - \ln\paren[\Big]{1-\frac1x}} + &\coloneq \frac12 \ln\frac{1+x}{x-1} + = \frac12 \brkt[\Big]{\ln\paren[\Big]{1+\frac1x} - \ln\paren[\Big]{1-\frac1x}} \quad\text{对于}\quad x^2 > 1. + \rule[-2ex]{0ex}{0ex} \end{split} \] \end{definition*} @@ -1170,7 +1209,7 @@ \subsection*{思考} \begin{enumerate} \item 画出三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数的图像. - \ifshowsol + \ifshowsolp \begin{figure}[H] \centering \begin{minipage}{2.5in} @@ -1239,13 +1278,10 @@ \subsection*{思考} \item 能否写出反双曲函数与对数函数的关系式. - \ifshowsol - 参见反双曲函数的\hyperlink{D:inversehyper}{定义}. + \ifshowsolp + 参见反双曲函数的\hyperlink{defn:inversehyper}{定义}. \fi \end{enumerate} -\unless\ifshowsol -\pagebreak -\fi \ifshowex \currentpdfbookmark{练习}{B1.1.5.E} @@ -1334,23 +1370,22 @@ \subsection*{练习} \(\arctanh x = \frac12 \ln\frac{1-x}{1+x}\) \end{itemize} \end{enumerate} - \fi \section{极坐标方程与参数方程表示的几种曲线} \begin{definition*} - 平面上任意一点\,\comma 除了可以用直角坐标系来表示\comma 也可由极坐标系来表示\period 极坐标由半径坐标\(r\)和角坐标\(\theta\)构成\,\comma 它们和直角坐标的关系可以用等式 + 平面上任意一点\,, 除了可以用直角坐标系来表示\,, 也可由极坐标系来表示. 极坐标由半径坐标\(r\)和角坐标\(\theta\)构成\,, 它们和直角坐标的关系可以用等式 \[ x = r \cos\theta \quad \text{和} \quad y = r \sin \theta \] - 来确定\period\footnote{极坐标的概念最早可以追溯到古希腊, 文艺复兴以来通过类似极坐标变换的方法来求阿基米德螺线面积的方法, 最早可以追溯到Cavalieri和Gregory of St.~Vincent.}\textsuperscript{\comma}\footnote{有些人也会用\(\rho\)来表示半径坐标, 用\(\phi,\ \varphi\)或\(t\)来表示角坐标. 角坐标又叫作极角.} - 其中\(r\)表示点到原点的半径距离\comma{} \(\theta\)表示点到\(x\)轴正方向上逆时针的角度\period + 来确定.\footnote{极坐标的概念最早可以追溯到古希腊, 文艺复兴以来通过类似极坐标变换的方法来求阿基米德螺线面积的方法, 最早可以追溯到Cavalieri和Gregory of St.~Vincent.}\textsuperscript{,}\footnote{有些人也会用\(\rho\)来表示半径坐标, 用\(\phi,\ \varphi\)或\(t\)来表示角坐标. 角坐标又叫作极角.} + 其中\(r\)表示点到原点的半径距离, \(\theta\)表示点到\(x\)轴正方向上逆时针的角度. \end{definition*} 一般来说\,, 如果不加任何限制, 平面上一点的极坐标不唯一. 可以通过 \[ - r = \sqrt{x^2 + y^2} \quad \text{和} \quad \theta = \atantwo(y,x) + r = \sqrt{x^2 + \smash{y^2}} \quad \text{和} \quad \theta = \atantwo(y,x) \] 将直角坐标转换成极坐标. @@ -1359,20 +1394,21 @@ \section{极坐标方程与参数方程表示的几种曲线} \[ r = a \] - 其中\(a\)为圆的半径\period + 其中\(a\)为圆的半径. \end{definition*} -\ifshowsol -\pagebreak -\fi \begin{definition*} 心形线\footnote{心形线的概念最早是由Ole Rømer于1674年在研究齿轮轮齿的最优形状时提出来的.}（cardioid）的极坐标方程是 \[ + \setlength{\abovedisplayskip}{.8ex} + \setlength{\belowdisplayskip}{.8ex} r = 2a (1-\cos\theta). \] \end{definition*} -这个心形线的开口向着\(x\)轴的正方向, 如下图. +\begin{remark} + 这个心形线的开口向着\(x\)轴的正方向, 如下图. +\end{remark} \begin{figure}[H] \centering @@ -1400,7 +1436,7 @@ \section{极坐标方程与参数方程表示的几种曲线} \[ r^2 = a^2 \cos 2\theta, \quad a = \sqrt2\,c. \] - 其中\(c\)是焦点到原点的距离\comma{} \(a\)是双纽线的半宽度\period + 其中\(c\)是焦点到原点的距离, \(a\)是双纽线的半宽度. \end{definition*} \begin{figure}[H] @@ -1431,7 +1467,9 @@ \section{极坐标方程与参数方程表示的几种曲线} \] \end{definition*} -实际上\,, 它的极坐标方程更为简洁\(r = a \theta\). +\begin{remark} + 实际上\,, 它的极坐标方程更为简洁\(r = a \theta\). +\end{remark} \begin{figure}[H] \centering @@ -1446,217 +1484,2275 @@ \section{极坐标方程与参数方程表示的几种曲线} \end{figure} \begin{definition*} - 摆线\footnote{旋轮线的概念是由Charles de Bovelles于1501年在做化圆为方的时候提出来的. 伽利略最早严肃地研究了这种曲线. 笛卡尔、费马、帕斯卡、惠更斯、莱布尼茨、伯努利兄弟等17世纪的数学大师们都研究过这种曲线\,, 还由此生出种种龃龉.}（又称旋轮线、圆滚线）（cycloid）的参数方程是 - \[ - x = a (t - \sin t), \quad y = a (1 - \cos t). - \] + 摆线\footnote{旋轮线的概念是由Charles de Bovelles于1501年在做化圆为方的时候提出来的. 伽利略最早严肃地研究了这种曲线. 笛卡尔、费马、帕斯卡、惠更斯、莱布尼茨、伯努利兄弟等17世纪的数学大师们都研究过这种曲线\,, 还由此生出种种龃龉.}（又称旋轮线、圆滚线）（cycloid）的参数方程是 + \[ + \setlength{\abovedisplayskip}{.8ex} + x = a (t - \sin t), \quad y = a (1 - \cos t). + \] +\end{definition*} + +\begin{figure}[H] + \centering + \tikzsetnextfilename{B1.1.6.4} + \begin{tikzpicture}[smooth,samples=50] + \draw (-1,0) -- (4*pi+1,0); + \foreach \x in {0,.8,1.6,2.4,3.2,4} { + \pgfmathsetmacro\theta{\x*pi} + \draw[dotted] (\theta,1) circle (1); + \draw ({\theta - sin(\theta r)},{1 - cos(\theta r)}) -- (\theta,1); + \fill[color=Dark2-D] + ({\theta - sin(\theta r)},{1 - cos(\theta r)}) circle (1pt) + (\theta,1) circle (1pt); + } + \draw[color=Dark2-C,domain=0:4*pi] plot ({\x - sin(\x r)},{1 - cos(\x r)}); + \end{tikzpicture} + \caption*{旋轮线} +\end{figure} + +\begin{definition*} + 星形线\footnote{星形线的概念最早也是由Ole Rømer于1674年在研究齿轮轮齿的最优形状时提出来的. 后来的伯努利父子、莱布尼茨、达朗贝尔都研究过这种曲线.}（astroid）的参数方程是 + \[ + \left\{ + \addtolength{\jot}{1ex} + \begin{alignedat}{2} + x &= a \cos^3 t &&= \frac a4 \paren{3 \cos t + \cos 3t}, \\ + y &= a \sin^3 t &&= \frac a4 \paren{3 \sin t - \sin 3t}. + \end{alignedat} + \right. + \] +\end{definition*} + +\begin{remark} + 莱布尼茨1715年给出了这个曲线的标准方程\(x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}\). +\end{remark} + +\begin{figure}[H] + \centering + \tikzsetnextfilename{B1.1.6.5} + \begin{tikzpicture}[smooth,samples=50] + \draw[color=Dark2-C] circle (4); + \foreach \x in {0,1,2,3,4,5,-3,-2,-1} { + \pgfmathsetmacro\theta{\x*acos(7/9)} + \draw[dotted] ({3*cos(\theta)},{3*sin(\theta)}) circle (1); + \draw ({3*cos(\theta)},{3*sin(\theta)}) + -- ({4*pow(cos(\theta),3)},{4*pow(sin(\theta),3)}); + \fill[color=Dark2-D] + ({3*cos(\theta)},{3*sin(\theta)}) circle (1pt) + ({4*pow(cos(\theta),3)},{4*pow(sin(\theta),3)}) circle (1pt); + } + \draw[color=Dark2-B,domain=0:360] + plot ({4*pow(cos(\x),3)},{4*pow(sin(\x),3)}); + \end{tikzpicture} + \caption*{星形线} +\end{figure} + +\chapter{极限论} + +\section{数列极限的概念与性质} + +\begin{definition*} + 将一些数编好号后, 按其编号从小到大排成一列\,, 称为数列\,, 记作\(a_1, a_2, \dots, a_n, \dots\)或\(\Seq{a_n}\). +\end{definition*} + +\begin{definition*} + 从数列\(\Seq{a_n}\)中取出某些项后, 按原来的顺序排成一个新的数列\,, 称此数列为原数列\(\brce{a_n}\)的一个子列\,, 记作\(\Seq{a_{n_k}}\), 其中\(n_k \ge k,\ n_{k+1} > n_k\). +\end{definition*} + +\begin{definition*} + 设\(\Seq{a_n}\)是一个数列\,, \(A\)是一个常数. 对于任意的\(ε > 0\)都存在正整数\(N > 0\)使得当\(n > N\)时都有\(\abs*{a_n - A} < ε\)成立. 这时, 我们称\(A\)是数列\(\Seq{a_n}\)的极限\,, 记作\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = A\). +\end{definition*} + +可以用形式化的符号来表示上述定义\,, 即 +\[ + \lim_{n\to\infty} a_n = A \iff + \paren[\big]{\forall ε > 0} + \paren[\big]{\exists N > 0} + \paren[\big]{\forall n > N} + \paren[\big]{\abs[\big]{a_n - A} < ε}. +\] +它的否定形式就是 +\[ + \lim_{n\to\infty} a_n \ne A \iff + \paren[\big]{\exists ε > 0} + \paren[\big]{\forall N > 0} + \paren[\big]{\exists n > N} + \paren[\big]{\abs[\big]{a_n - A} \ge ε}. +\] + +\begin{example*} + \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \paren[\Big]{1+\frac1n} = 1\). + + \begin{proof} + 取\(N = \ceil{\frac1ε}\)即可. + \end{proof} +\end{example*} + +\begin{example*} + \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} q^n = 0\ (\abs{q} < 1)\). + + \begin{proof} + 取\(N = \maxb*{1, \ceil*{\ln ε /\! \ln\abs q}}\)即可. + \end{proof} +\end{example*} + +\begin{example*} + \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a^{1/n} = 1\ (a > 1)\). + + \begin{proof} + 取\(N = \ceil*{\ln a /\! \lnp{1+ε}}\)即可. + \end{proof} + + \begin{proof} + 第二种方法就是把\(a^{1/n}\)分解成一个常数与一个无穷小量和的形式. 因为\(a > 1\), 所以\(a^{1/n} > 1\). 令\(ε_n = a^{1/n} - 1\), 就有 + \begin{align*} + a^{1/n} + &= 1 + ε_n + && \reason{移项} \\ + a + &= (1 + ε_n)^n + && \reason{取\(n\)次幂} \\ + &= 1 + nε_n + \sum_{k=2}^n \binom{n}{k} ε_n^k + && \reason{二项式定理} \\ + &> nε_n. + \end{align*} + 因此\,, + \begin{equation*} + \paren[\big]{\forall ε > 0} + \paren[\big]{\exists N = \ceil*{\frac aε} > 0} + \paren[\big]{\forall n > N} + \paren[\big]{\abs[\big]{a^{1/n} - 1} = ε_n < \frac an < ε}. + \qedhere + \end{equation*} + \end{proof} +\end{example*} + +\begin{example*} + 若\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = A\), 则\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \abs*{a_n} = \abs*{A}\). + + \begin{proof} + 因为\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = A\), 所以 + \begin{equation*} + \paren[\big]{\forall ε > 0} + \paren[\big]{\exists N > 0} + \paren[\big]{\forall n > N} + \paren[\big]{\abs[\big]{a_n - A} < ε}. + \end{equation*} + 由反三角不等式 + \begin{equation*} + \abs*{\abs{a_n} - \abs A} \le \abs*{a_n - A} + \end{equation*} + 可知, 取同样的\(N\)即可. + \end{proof} +\end{example*} + +\begin{example} + \label{eg:limavg} + 若\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = A\), 则\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} = A\). + + \begin{proof} + 对于任意的\(ε > 0\), 因为\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = A\), 所以存在正整数\(N_0\)使得当\(n > N_0\)时都有 + \begin{align*} + \abs[\bigg]{\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} - A} + &= \abs[\bigg]{\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n - nA}{n}} \\ + &= \abs[\bigg]{\frac{(a_1-A) + (a_2-A) + \dots + (a_n-A)}{n}} \\ + &\le \frac{\abs*{a_1-A} + \abs*{a_2-A} + \dots + \abs*{a_n-A}}{n} \\ + &= \frac{\abs*{a_1-A} + \dots + \abs*{a_{N_0}-A}}{n} + + \frac{\abs*{a_{N_0+1}-A} + \dots + \abs*{a_n-A}}{n} \\ + &< \frac{N_0 \maxb{a_1-A, \dots, a_{N_0}-A}}{n} + \frac{(n-N_0)ε}{n} \\ + &< \frac{N_0 \maxb{a_1-A, \dots, a_{N_0}-A}}{n} + ε. + \end{align*} + 此时, 取\(N = \maxb[\Big]{N_0, \ceil[\Big]{\frac{N_0 \maxb{a_1-A, \dots, a_{N_0}-A}}{ε}}}\), 当\(n > N\)时都有 + \begin{equation*} + \abs*{\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} - A} + < 2ε. \qedhere + \end{equation*} + \end{proof} +\end{example} + +\begin{theorem*} + 若极限\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n\)存在\,\comma 则其值唯一\period + + \begin{proof} + 假设\(A_1\)和\(A_2\)都是数列\(\Seq{a_n}\)的极限且\(A_1 \ne A_2\). 那么对于任意的\(ε > 0\), 就可以找到正整数\(N_1\)和\(N_2\), 当\(n > N_1\)时都有\(\abs*{a_n - A_1} < ε\), 当\(n > N_2\)时都有\(\abs*{a_n - A_2} < ε\). 这时, 取\(N = \maxb{N_1, N_2}\), 当\(n > N\)时都有 + \begin{gather*} + 2\abs[\bigg]{a_n - \frac{A_1+A_2}{2}} = \abs[\big]{2a_n - (A_1+A_2)} \le \abs[\big]{a_n - A_1} + \abs[\big]{a_n - A_2} < 2ε, \\ + \intertext{即} + \abs[\bigg]{a_n - \frac{A_1+A_2}{2}} < ε. + \end{gather*} + 这就说明\(\frac{A_1+A_2}{2}\)也是数列\(a_n\)的一个极限. 那么对于任意的\(0 < ε \le \frac{\abs*{A_1-A_2}}{2}\), 也能找到这样的正整数\(N\)使得当\(n > N\)时上述几个不等式都成立. 但是这是不可能的, 因为不论\(a_n\)多大, 到\(A_1\)和\(A_2\)的距离, 其中之一必然大于\(ε\). 因此, \(A_1 = A_2\). + \end{proof} +\end{theorem*} + +\begin{theorem} + \label{thm:cvgbnd} + 若数列\(\Seq{a_n}\)收敛\,\comma 则其有界\period + + \begin{proof} + 假设数列\(\Seq{a_n}\)收敛于\(A\). 任取一个\(ε > 0\), 则存在正整数\(N\)使得当\(n > N\)时都有\(\abs*{a_n - A} < ε\), 即 + \begin{equation*} + A - ε < a_n < A + ε + \end{equation*} + 此时, \(\maxb*{\abs{A+ε}, \abs{A-ε}, \abs{a_1}, \dots, \abs{a_N}}\)就是数列\(\Seq{a_n}\)的一个界. + \end{proof} +\end{theorem} + +\begin{theorem*}[保号性] + 若\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = A\)且\(A > 0\)\comma 则存在正整数\(N\)使得当\(n > N\)时都有\(a_n > 0\)\scolon 若\(a_n \ge 0\)且\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n\)存在\,\comma 则\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n \ge 0\)\period + + \begin{proof} + 对前一个命题的证明：取\(ε = A\)时, 能找到一个正整数\(N\)使得当\(n > N\)时都有\(\abs*{a_n - A} < A\), 即\(0 < a_n < 2\,A\). 对后一个命题的证明：假设\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n < 0\), 那么根据前一个命题, 就存在正整数\(N\)使得当\(n > N\)时都有\(a_n < 0\), 这和\(a_n \ge 0\)是矛盾的, 所以\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n \ge 0\). + \end{proof} +\end{theorem*} + +\begin{theorem}[数列极限的四则运算] + \label{thm:seq4ops} + 设\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = A\)和\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = A\)\comma 则 + \begin{enumerate} + \renewcommand{\labelenumi}{\enumparen{\arabic{enumi}}} + \item \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \paren{a_n \pm b_n} = A \pm B\)\scolon + \item \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n b_n = AB\)\scolon + \item \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \tfrac{a_n}{b_n} = \tfrac AB\ (B \ne 0)\)\period + \end{enumerate} + + \begin{proof} + 对加减法的证明：利用绝对值的三角不等式. 对于任意的\(ε\)都能找到\(N_1\)和\(N_2\)使得当\(n > N_1\)时都有\(\abs*{a_n-A} < ε\)和当\(n > N_2\)时都有\(\abs*{b_n-B} < ε\). 取\(N = \maxb{N_1, N_2}\), 就有 + \begin{equation*} + \abs*{\paren{a_n \pm b_n} - \paren{A \pm B}} + = \abs*{a_n - A \pm b_n \mp B} + = \abs*{\paren{a_n - A} \pm \paren{b_n - B}} + \le \abs*{a_n - A} + \abs*{b_n - B} + < 2ε. + \end{equation*} + 对乘法的证明：由于定理\ref{thm:cvgbnd}, 可以找到数列\(b_n\)的一个界\(M > 0\). 对于任意的\(ε\)都能找到\(N_1\)和\(N_2\)使得当\(n > N_1\)时都有\(\abs*{a_n-A} < ε\)和当\(n > N_2\)时都有\(\abs*{b_n-B} < ε\). 取\(N = \maxb{N_1, N_2}\), 就有 + \begin{align*} + \abs*{a_n b_n - AB} + &= \abs*{a_n b_n - Ab_n + Ab_n - AB} \\ + &= \abs*{\paren{a_n - A}b_n + A\paren{b_n - B}} \\ + &\le \abs*{a_n-A}\abs*{b_n} + \abs*{A}\abs*{b_n-B} \\ + &\le M\abs*{a_n-A} + \abs*{A}\abs*{b_n-B} \\ + &< \paren*{M + \abs*{A}}ε. + \end{align*} + 对除法的证明：只需证明\(\lim\limits_{n\to\infty} \frac1{b_n} = \frac1B\), 再利用一次极限的乘法运算即可. 对于任意的\(ε\)都能找到一个\(N_1\)使得当\(n > N_1\)时都有\(\abs*{b_n-B} < ε\). 又由于\(B \ne 0\), 可以找到一个正整数\(N_2\)使得\(\inf\limits_{\,\mathclap{n > N_2}}\Set*{\abs{b_n}} > 0\). 取\(N = \maxb{N_1, N_2}\), 就有 + \begin{equation*} + \abs[\bigg]{\frac1{b_n} - \frac1B} + = \abs[\bigg]{\frac{B - b_n}{b_n B}} + \le \frac{\abs*{b_n - B}}{\abs*{B} + \cdot \inf\limits_{\,\mathclap{n > N_2}}\Set*{\abs{b_n}}} + < \frac{ε}{\abs*{B} \cdot \inf\limits_{\,\mathclap{n > N_2}}\Set*{\abs{b_n}}}. + \qedhere + \end{equation*} + \end{proof} +\end{theorem} + +\begin{definition*} + 对于任意的正数\(M\)都有正整数\(N\)使得当\(n > N\)时都有\(\abs*{a_n} > M\). 这时, 我们称数列\(\Seq{a_n}\)为无穷大量\,, 记作\(\lim\limits_{n\to\infty} a_n = \infty\). +\end{definition*} + +可以用形式化的符号来表示无穷大量的定义, 即 +\begin{alignat*}{2} + \lim_{n\to\infty} a_n &= \infty &{}\iff{} + &\paren[\big]{\forall M > 0} + \paren[\big]{\exists N > 0} + \paren[\big]{\forall n > N} + \paren[\big]{\abs[\big]{a_n} > M}, \\ + \lim_{n\to\infty} a_n &= +\infty &{}\iff{} + &\paren[\big]{\forall M > 0} + \paren[\big]{\exists N > 0} + \paren[\big]{\forall n > N} + \paren[\big]{a_n > M}, \\ + \lim_{n\to\infty} a_n &= -\infty &{}\iff{} + &\paren[\big]{\forall M > 0} + \paren[\big]{\exists N > 0} + \paren[\big]{\forall n > N} + \paren[\big]{-a_n > M}. +\end{alignat*} +其中, \(+\infty\)叫作正无穷大量, \(-\infty\)叫作负无穷大量. + +\begin{definition*} + 极限为\(0\)的数列叫作无穷小量. +\end{definition*} + +\begin{example*} + 非零无穷小量的倒数是无穷大量. + + \begin{proof} + 设\(\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0\)且\(a_n \ne 0\). 对于任意的\(M > 0\), 取\(ε = 1/M > 0\), 能找到一个正整数\(N\)使得当\(n > N\)时都有 + \begin{equation*} + \abs*{a_n} < ε + \implies + \abs[\bigg]{\frac{1}{a_n}} = \frac{1}{\abs*{a_n}} > \frac1ε = M. + \qedhere + \end{equation*} + \end{proof} +\end{example*} + +\begin{example*} + 无界数列存在为无穷大量的子列. + + \begin{proof} + 设数列\(\Seq{a_n}\)无界. 证明分为两步, 首先构造一个子列\(\Seq{a_{n_k}}\), 然后说明这个子列是无穷大量. 子列的构造过程是递推的. 因为数列无界, 所以能找到一个\(n_1\)使得\(\abs[\big]{a_{n_1}} > 1\). 假设子列的前\(k\)项都已经构造好了. 因为数列无界, 所以能找到一个\(n_{k+1} > n_k\)使得\(\abs[\big]{a_{n_{k+1}}} > k+1\). 如果不是这样, \(\maxb*{\abs[\big]{a_1}, \abs[\big]{a_2}, \dots, \abs[\big]{a_{n_k}}, k+1}\)就是原数列的一个界, 矛盾. 子列构造完毕. 下面证明这个子列是无穷大量. 对于任意的\(M > 0\)都能找到一个\(K = \ceil{M}\)使得当\(k > K\)时都有\(\abs[\big]{a_{n_k}} > k > K \ge M\). + \end{proof} +\end{example*} + +\subpdfbookmark{思考}{B1.2.1.P} +\subsection*{思考} + +\begin{enumerate} +\item 在数列极限的定义中, \(ε\)是不是一个无限小的正数? 正整数\(N\)的选取是不是与\(ε\)有关? + + \ifshowsolp + 对\(ε\)来讲, 就是一个任意的正实数, 一旦给定, 就确定下来了. 题目中的无限小的正数, 在标准实分析里是不存在的. 正整数\(N\)的选取当然是和\(ε\)有关, 有时候为了分析方便, 还会给\(N\)标上下标\(N_ε\). + \fi + +\item 在数列极限的定义中, 如果将\(n > N\)改成\(n \ge N\), 是否有影响? 如果将\(\forall ε > 0\)改成\(\forall ε \in \paren{0,1}\), 是否有影响? + + \ifshowsolp + 都不影响. + \fi +\end{enumerate} + +\ifshowex +\currentpdfbookmark{练习}{B1.2.1.E} +\subsection*{练习} + +\begin{enumerate} +\item 下列说法中, 与\(\lim\limits_{n\to\infty} a_n = A\)不等价的是\uline{\makebox[10em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item \( + \paren[\big]{\forall ε > 0} + \paren[\big]{\exists N \in \N^+} + \paren[\big]{\forall n > N} + \paren[\big]{\abs[\big]{a_n - A} < \sqrt ε} + \) + \item \( + \paren[\big]{\forall k \in \N} + \paren[\big]{\exists N_k \in \Z^+} + \paren[\big]{\forall n > N_k} + \paren[\big]{\abs[\big]{a_n - A} < 1/2^k} + \) + \item \( + \paren[\big]{\forall ε > 0} + \paren[\big]{\exists N \in \N^+} + \paren[\big]{\forall n > N} + \paren[\big]{\abs[\big]{a_n - A} < 2ε} + \) + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + \( + \paren[\big]{\forall ε > 0} + \paren[\big]{\exists N \in \N^+} + \paren[\big]{\forall n > N} + \paren[\big]{\abs[\big]{a_n - A} < ε/\!\sqrt n} + \) + \end{itemize} + + \ifshowsol + 一个反例是\(\lim\limits_{n\to\infty}\paren*{1 + 1/\!\sqrt n} = 1\), 但是按照选项D, 它并不收敛. 实际上\,, 选项D是数列收敛的充分不必要条件. + \fi + +\item 下列说法中, 与“数列\(\Seq{a_n}\)不收敛于\(A\)”等价的是\uline{\makebox[10em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + 存在\(ε_0 > 0\)使得数列\(\Seq{a_n}\)中有无穷多项满足\(\abs*{a_n - A} \ge ε_0\) + \item \( + \paren[\big]{\exists ε_0 > 0} + \paren[\big]{\exists N \in \Z^+} + \paren[\big]{\forall n > N} + \paren[\big]{\abs[\big]{a_n - A} \ge ε_0} + \) + \item \( + \paren[\big]{\forall ε > 0} + \paren[\big]{\exists N} + \paren[\big]{\forall n > N} + \paren[\big]{\abs[\big]{a_n - A} \ge ε_0} + \) + \item 数列\(\Seq{a_n}\)中, 除有限项外, 都满足\(\abs*{a_n - A} \ge ε_0\)\,, 其中\(ε_0\)是某个正数 + \end{itemize} + + \ifshowsol + 选项B、C和D都是题干的充分不必要条件. 例如数列\(\Seq[\big]{A + \frac{1+(-1)^n}{2}}\)不收敛于\(A\), 但是不满足选项B、C、D. 实际上\,, 选项B和D是等价的, 然后选项C是选项B的充分不必要条件. + \fi + +\item 下列说法中, 正确的是\uline{\makebox[10em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item 数列\(\Seq{a_n}\)是否收敛与其前\(1000\)项有关 + \item 数列\(\Seq{a_n}\)是否收敛与其所有项均有关 + \item 数列\(\Seq{a_n}\)是否收敛仅与\(n\)充分大以后的某些项有关 + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + 数列\(\Seq{a_n}\)是否收敛仅与\(n\)充分大以后的所有项有关 + \end{itemize} + +\item 下列数列中, 极限为\(0\)的是\uline{\makebox[6em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item \(e^n/2^n\) + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + \(\paren{-1}^n/n\) + \item \(n - 1/n\) + \item \(n \sinp{1/n}\) + \end{itemize} + +\item 下列数列中, 极限为\(1\)的是\uline{\makebox[6em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item \(n/a^n\ \paren{a > 1}\) + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + \(a^{1/n}\ \paren{a > 1}\) + \item \(\paren[\big]{\sin n^2}\big/{n}\) + \item \(\paren[\big]{n \sqrt{n+1}}\big/\brkt[\big]{\sqrt n \paren{2n-1}}\) + \end{itemize} + +\item 下列说法中, 正确的是\uline{\makebox[10em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item 收敛数列的子列极限不一定相同 + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + 收敛数列的极限与其前有限项无关 + \item 数列不收敛则必无收敛子列 + \item 若收敛数列的极限大于零, 则数列恒大于零 + \end{itemize} + +\item 下列数列中, 不是无穷大量的是\uline{\makebox[8em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item \(n/\!\ln n\) + \item \(-n^2 + n\) + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + \(\brkt{n\paren{n^{7/3}+1}}/n^{15/4}\) + \item \(\paren{-1}^n n^3 + n^2 - 10n\) + \end{itemize} + +\item 下列数列中, 无界但不是无穷大量的是\uline{\makebox[6em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item \(n/\!\ln n\) + \item \(\paren{-1}^n n^2 + n\) + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + \(n \sinp{n^n\!/2}\) + \item \(e^n\!/n!\) + \end{itemize} + +\item 与命题“当\(n\to\infty\)时, \(a_n\to\infty\)”等价的是\uline{\makebox[10em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item \( + \paren[\big]{\forall M > 0} + \paren[\big]{\forall N > 0} + \paren[\big]{\exists n > N} + \paren[\big]{\abs[\big]{a_n} > M} + \) + \item \( + \paren[\big]{\exists M > 0} + \paren[\big]{\exists N > 0} + \paren[\big]{\forall n > N} + \paren[\big]{\abs[\big]{a_n} > M} + \) + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + \( + \paren[\big]{\forall M > 0} + \paren[\big]{\exists N > 0} + \paren[\big]{\forall n > N} + \paren[\big]{\abs[\big]{a_n} > M} + \) + \item \( + \paren[\big]{\exists N > 0} + \paren[\big]{\forall M > 0} + \paren[\big]{\forall n > N} + \paren[\big]{\abs[\big]{a_n} > M} + \) + \end{itemize} + + \ifshowsol + 选项A其实相当于是说数列\(\Seq{a_n}\)无界, 选项D是一个不可满足的命题. + \fi + +\item 下列说法中, 正确的是\uline{\makebox[10em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item 一个数列如果不收敛, 则它一定无界 + \item 若\(\lim\limits_{n\to\infty} a_n = A\)且\(A \ge 0\), 则存在正整数\(N\)使得当\(n > N\)时都有\(a_n \ge 0\) + \item 设有两个数列\(\Seq{a_n}\)和\(\Seq{b_n}\), 那么\(\lim\limits_{n\to\infty} \paren{a_n - b_n} = \lim\limits_{n\to\infty} a_n - \lim\limits_{n\to\infty} b_n\) + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + 存在发散数列\(\Seq{a_n}\)使得\(\Seq{\abs{a_n}}\)收敛 + \end{itemize} + + \ifshowsol + 对于选项C, 加上一个限制条件就成立了, 就是这两个数列都收敛. 设\(a_n = n + \frac1n, b_n = n\), 那么\(\lim\limits_{n\to\infty} \paren{a_n - b_n} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac1n = 0 \ne \infty - \infty = \lim\limits_{n\to\infty} a_n - \lim\limits_{n\to\infty} b_n\). + \fi + +\item 设\(a_k \ge 0,\ k = 1, 2, \dots, m\). 求\(\lim\limits_{n\to\infty} \paren{a_1^n + a_2^n + \dots + a_m^n}^{1/n} =\)\uline{\makebox[6em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + \(\max_{1 \le k \le m} \Set{a_k}\) + \item \(\min_{1 \le k \le m} \Set{a_k}\) + \item \(\paren{a_1 + a_2 + \dots + a_m}/{m}\) % report + \item \(1\) + \end{itemize} + + \ifshowsol + \begin{proof} + 令\(A = \max_{1 \le k \le m} \Set{a_k}\). 若\(A = 0\), 则说明\(a_k = 0\)对于所有的\(1 \le k \le m\), 所求极限自然也就等于零. 若\(A > 0\), 就有 + \begin{align*} + \abs[\big]{\paren{a_1^n + a_2^n + \dots + a_m^n}^{1/n} - A} + &= A \abs[\bigg]{\brkt[\Big]{\paren[\Big]{\frac{a_1}{A}}^n + \paren[\Big]{\frac{a_1}{A}}^n + \dots + \paren[\Big]{\frac{a_1}{A}}^n}^{\frac1n} - 1} \\ + &\le A \paren{m^{1/n} - 1}. + \end{align*} + 对于任意的\(ε > 0\)取\(N = \ceil*{\ln m/\!\lnp{1+ε/A}}\)就可使得当\(n > N\)时都有 + \begin{align*} + \frac{\ln m}{\lnp{1+ε/A}} + &\le N < n + && \iff \\ + \ln m + &< n \lnp{1+ε/A} + && \iff \\ + m + &< \paren{1+ε/A}^n + && \iff \\ + A \paren{m^{1/n} - 1} + &< ε. + &&\qedhere + \end{align*} + \end{proof} + \fi +\end{enumerate} +\fi + +\section{数列极限存在的充分条件} + +\begin{theorem*}[数列极限的夹逼定理] + 若数列\(\Seq{a_n}, \Seq{b_n}, \Seq{c_n}\)满足： + \begin{enumerate}[topsep=0ex] + \renewcommand{\labelenumi}{\enumparen{\arabic{enumi}}} + \item 存在正整数\(N\)使得当\(n > N\)时都有\(a_n \le b_n \le c_n\)\comma + \item \(\lim\limits_{n\to\infty} a_n = \lim\limits_{n\to\infty} c_n = A\)\scolon + \end{enumerate} + 则\(\lim\limits_{n\to\infty} b_n = A\). + + \begin{proof} + 对于任意的\(ε > 0\)都存在正整数\(N_1\)和\(N_2\)使得当\(n > N_1\)时都有\(\abs*{a_n - A} < ε\)和当\(n > N_2\)时都有\(\abs*{c_n - A} < ε\). 取\(N = \maxb{N_1, N_2}\), 当\(n > N\)时就有 + \begin{equation*} + A - ε < a_n \le b_n \le c_n < A + ε + \iff + \abs*{b_n - A} < ε. + \qedhere + \end{equation*} + \end{proof} +\end{theorem*} + +\begin{example} + \label{eg:factexp} + 求\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{a^n}{n!}\). + + 当\(a = 0\)时, 极限显然是零. 当\(a \ne 0\)时, 我们构造数列\(a_n\)和\(c_n\)使得\(a_n \le a^n\!/n! \le c_n\)且\(\lim\limits_{n\to\infty} a_n = \lim\limits_{n\to\infty} c_n = 0\). 令\(n_a = \ceil{\abs a},\ C_a = \frac{a^{n_a}}{n_a!}\), 构造数列 + \begin{equation*} + d_n = + \begin{cases} + C_a, & n \le n_a, \\ + C_a \cdot \paren[\bigg]{\dfrac{a}{n_a + 1}}^{n-n_a}, & n > n_a, + \end{cases} + \end{equation*} + 易知\(\lim\limits_{n\to\infty} d_n = 0\). 当\(a > 0\)时, 只要构造数列\(a_n = 0\)和\(c_n = d_n\)即可. 当\(a < 0\)时, 只有构造数列 + \begin{equation*} + a_n = + \begin{cases} + 0, & \text{\(n\)是偶数时}, \\ + d_n, & \text{\(n\)是奇数时}, + \end{cases} + \quad\text{和}\quad + c_n = + \begin{cases} + d_n, & \text{\(n\)是偶数时}, \\ + 0, & \text{\(n\)是奇数时}, + \end{cases} + \end{equation*} + 就有\(a_n \le a^n\!/n! \le c_n\)且\(\lim\limits_{n\to\infty} a_n = \lim\limits_{n\to\infty} c_n = 0\). 综上所述, \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{a^n}{n!} = 0\). + + 上面是为了直接套用夹逼定理的形式\,, 实际上一种常见的方法是：欲证\(\lim\limits_{n\to\infty} a_n = A\), 只需证明\(0 \le \abs*{a_n - A} \le b_n\)且\(\lim\limits_{n\to\infty} b_n = 0\)即可. +\end{example} + +\begin{example*} + 求\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k}\). + + 构造数列 + \begin{equation*} + a_n + = \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + n} + = \frac{1}{n^2 + n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} + = \frac12 + \quad\text{和}\quad + c_n + = \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2} + = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} + = \frac{1 + 1/n}{2}, + \end{equation*} + 易知\(\displaystyle a_n \le \sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k} \le c_n\)且\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c_n = \frac12\). +\end{example*} + +\begin{theorem*}[单调有界收敛定理] + 若数列\(\Seq{a_n}\)单调增加且有上界\comma 则\(\Seq{a_n}\)收敛且\(\lim\limits_{n\to\infty} a_n = \sup\Set{a_n}\)\scolon 若数列\(\Seq{a_n}\)单调减少且有下界\comma 则\(\Seq{a_n}\)收敛且\(\lim\limits_{n\to\infty} a_n = \inf\Set{a_n}\)\period + + \begin{proof} + 只证单增的情况\,, 单减的情况类似. 因为数列有界, 根据确界存在公理\,, 数列有上确界\(M = \sup\Set{a_n}\). 那么对于任意的\(ε > 0\)都存在一个\(N\)使得\(a_N > M - ε\). 当\(n > N\)时, 自然有 + \begin{gather*} + M - ε < a_N \le a_n \le M < M + ε, \\ + \shortintertext{即} + \abs*{a_n - M} < ε. + \qedhere + \end{gather*} + \end{proof} +\end{theorem*} + +\begin{theorem} + \label{thm:seqe} + 证明\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \paren[\bigg]{1 + \frac1n}^n\)存在\period + + \begin{proof} + 记\(a_n = \paren{1+1/n}^n\). 根据单调有界收敛定理\,, 只需证明对于所有的正整数\(n\)都有\(a_n \le a_{n+1}\)且\(a_n < 3\)即可. 根据二项式定理\,, 有 + \begin{align*} + a_n + &= \paren[\bigg]{1+\frac1n}^n + = 1 + \binom{n}{1} \frac1n + \binom{n}{2} \frac1{n^2} + \dots + \binom{n}{n} \frac1{n^n} \\ + &= 1 + 1 + \frac{n(n-1)}{2!\,n^2} + \dots + \frac{n(n-1)\dotsm1}{n!\,n^n} \\ + &= 2 + \frac1{2!} \cdot 1 \cdot \paren[\bigg]{1 - \frac1n} + \dots + + \frac1{n!} \cdot 1 \cdot \paren[\bigg]{1 - \frac1n} \dotsm \paren[\bigg]{1 - \frac{n-1}n} \\ + &< 2 + \frac1{2!} \cdot 1 \cdot \paren[\bigg]{1 - \frac1{n+1}} + \dots + + \frac1{(n+1)!} \cdot 1 \cdot \paren[\bigg]{1 - \frac1{n+1}} \dotsm \paren[\bigg]{1 - \frac{n}{n+1}} \\ + &= a_{n+1}. + \end{align*} + 要证明\(a_n < 3\), 只需证明\(1/2! + 1/3! + \dots + 1/n! < 1\)即可. 有 + \begin{align*} + \frac1{2!} + \frac1{3!} + \dots + \frac1{n!} + &\le \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{\paren{n-1}n} \\ + &= \paren[\bigg]{1 - \frac12} + \paren[\bigg]{\frac12 - \frac13} + \dots + \paren[\bigg]{\frac1{n-1} - \frac1n} \\ + &= 1 - \frac1n < 1. \qedhere + \end{align*} + \end{proof} + + \begin{remark} + 实际上\,, 这个极限就是自然常数\(e\). + \end{remark} +\end{theorem} + +\begin{example*} + 令\(\displaystyle a_n = 1 + \frac12 + \dots + \frac1n - \ln n\). 证明数列\(\Seq{a_n}\)的极限存在.\rule{0ex}{3.5ex} + + \begin{proof} + 当\(x > 0\)时, 有 + \begin{equation*} + \frac{x}{1+x} < \lnp{1+x} < x. + \end{equation*} + 因此有 + \begin{align*} + a_{n+1} - a_n + &= \frac{1}{1+n} - \lnp{1+n} + \ln n \\ + &= \frac{1/n}{1+1/n} - \lnp[\bigg]{1+\frac1n} < 0 + \end{align*} + 和 + \begin{align*} + a_n + &= 1 + \frac12 + \dots + \frac1n - \ln n \\ + &> \lnp{1+1} + \lnp[\bigg]{1+\frac12} + \dots + \lnp[\bigg]{1+\frac1n} - \ln n \\ + &= \lnp[\bigg]{2 \cdot \frac32 \dotsm \frac{n+1}{n}} - \ln n \\ + &= \lnp{n + 1} - \ln n > 0. \qedhere + \end{align*} + \end{proof} +\end{example*} + +\begin{example*} + 证明极限\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac1k\)不存在. + + \begin{proof} + 实际上\,, \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac1k = \infty\). 对于任意的\(M > 0\)都存在正整数\(N = \ceil[\big]{e^M-1}\)使得当\(n > N\)时都有 + \begin{equation*} + \abs[\Bigg]{\sum_{k=1}^n \frac1k} + = \sum_{k=1}^n \frac1k + > \sum_{k=1}^n \lnp[\bigg]{1+\frac1k} + = \lnp{n+1} > M. + \qedhere + \end{equation*} + \end{proof} +\end{example*} + +\begin{example*} + 令\(\displaystyle a_n = \sum_{k=1}^n \frac1{k^p}\). 试讨论当\(p > 0\)时数列\(\Seq{a_n}\)的敛散性. + + 当\(0 < p \le 1\)时, 有\(k^p \le k\). 所以 + \begin{equation*} + a_n = \sum_{k=1}^n \frac1{k^p} \ge \sum_{k=1}^n \frac1{k} + > \sum_{k=1}^n \lnp[\bigg]{1+\frac1k} = \lnp{n+1}. + \end{equation*} + 对于任意的\(M > 0\), 取\(N = \ceil[\big]{e^M - 1}\), 那么当\(n > N\)时, 自然有\(a_n > \lnp{n+1} > M\). 所以有 + \begin{equation*} + \lim_{n\to\infty} a_n = +\infty + \end{equation*} + 当\(0 < p \le 1\)时, 由\(a_{n+1} - a_n = 1/(n+1)^p > 0\)可知数列单调增加, 只需证明数列有上界即可. 取\(\ell = \floor[\big]{\log_2 n} + 1\), 有 + \begin{equation*} + a_n + = \sum_{k=1}^n \frac1{k^p} + \le \sum_{k=1}^{2^\ell-1} \frac1{k^p} + = \sum_{m=0}^{\ell-1} \sum_{j=2^m}^{2^{m+1}-1} \frac{1}{j^p} + \le \sum_{m=0}^{\ell-1} \frac{2^m}{\paren{2^m}^p} + = \sum_{m=0}^{\ell-1} \paren[\big]{2^{1-p}}^m + = \frac{1-\paren{2^{1-p}}^\ell}{1-2^{1-p}} + < \frac{1}{1-2^{1-p}}. + \end{equation*} + 由单调有界收敛定理可知, 数列\(\Seq{a_N}\)收敛. +\end{example*} + +\subpdfbookmark{思考}{B1.2.2.P} +\subsection*{思考} + +\begin{enumerate} +\item 若单调递增的数列\(\Seq{a_n}\)没有上界, 这个数列是不是无穷大量? 能否给出严格证明? + + \ifshowsolp + 是无穷大量, 证明如下. + + \begin{proof} + 因为数列\(\Seq{a_n}\)没有上界, 所以对任意的\(M > 0\)都存在一个正整数\(N\)使得\(a_N > M\). 这时, 对于所有的\(n > N\), 因为数列\(\Seq{a_n}\)单调递增, 所以 + \begin{equation*} + a_n \ge a_N > M. \qedhere + \end{equation*} + \end{proof} + \fi + +\item 若数列\(\Seq{a_n}\)是正无穷大量, 则\(\Seq{a_n}\)一定单调增加吗? + + \ifshowsolp + 未必. \(a_n = n + (-1)^n\), 易证\(\lim\limits_{n\to\infty} a_n = +\infty\). 此时, 对于任意的正偶数\(k\)都有 + \begin{equation*} + a_{k+1} = (k+1) + (-1)^{k+1} = k < k + 1 = k + (-1)^k = a_k. + \end{equation*} + \fi +\end{enumerate} + +\ifshowex +\currentpdfbookmark{练习}{B1.2.2.E} +\subsection*{练习} + +\begin{enumerate} +\item 下列数列中, 收敛但极限不为\(1\)的是\uline{\makebox[6em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item \(\paren{2+1/n}^{1/n}\) + \item \(n^{1/n}\) + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + \(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+2} + \dots + \frac{n}{n^2+n}\) + \item \(\paren{n!}^2\!/n^n\) + \end{itemize} + + \ifshowsol + 对选项B的证明： + \begin{proof} + 对于任意的\(ε > 0\), 取\(N = \ceil[\big]{2/ε^2 + 1}\), 那么当\(n > N\)时都有 + \begin{gather*} + n + < \frac{n(n-1)}{2} ε^2 + < 1 + nε + \frac{n(n-1)}{2} ε^2 + \dots + ε^n + = (1+ε)^n \\ + \shortintertext{即} + n^{1/n} < 1 + ε. + \qedhere + \end{gather*} + \end{proof} + 对选项D的证明： + \begin{proof} + 当\(n \ge 2\)时, 有 + \begingroup + \addtolength{\jot}{1ex} + \begin{align*} + \frac{(n!)^2}{n^n} + &= \frac{n}{n} \cdot \frac{2(n-1)}{n} \cdot \frac{3(n-2)}{n} + \dotsm \frac{2(n-1)}{n} \cdot \frac{n}{n} \\ + &= + \begin{dcases} + \brkt[\bigg]{2\paren[\bigg]{1-\frac1n} \cdot 3\paren[\bigg]{1-\frac2n} + \dotsm \floor*{\frac{n}{2}} \paren[\bigg]{1-\frac{\floor{n/2}-1}{n}}}^2, + & \text{\(n\)是偶数时,} \\ + \brkt[\bigg]{2\paren[\bigg]{1-\frac1n} \cdot 3\paren[\bigg]{1-\frac2n} + \dotsm \floor*{\frac{n}{2}} \paren[\bigg]{1-\frac{\floor{n/2}-1}{n}}}^2 + \cdot \paren[\bigg]{\frac{\ceil{n/2}}{n}}^2, + & \text{\(n\)是奇数时,} + \end{dcases} \\ + &> \frac{\floor{n/2}!}{2^{\floor{n/2}}}. + \end{align*} + \endgroup + 易知\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{(n!)^2}{n^n} = +\infty\). + \end{proof} + + 选项A和C可以直接套用夹逼定理. + \fi + +\item 以下说法中, 错误的是\uline{\makebox[10em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \addtolength{\itemsep}{1ex} + \item 设\(x_1 > 0,\ y_1 > 0,\ x_{n+1} = \sqrt{x_n y_n}\,,\ y_{n+1} = (x_n+y_n)/2 \; (n \in \N^+)\). 那么数列\(\Seq{x_n}\)与\(\Seq{y_n}\)收敛于同一个实数 + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + 若对所有的\(p \in \N^+\)都有\(\lim\limits_{n\to\infty} \abs*{a_{n+p}-a_n} = 0\), 则数列\(\Seq{a_n}\)是柯西数列. % report + \item 极限\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{\sin k}{2^k}\)存在 + \item 若\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \abs[\bigg]{\frac{a_{n+1}}{a_n}} = q < 1\), 则\(\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0\) + \end{itemize} + +\item 下列说法中, 错误的是\uline{\makebox[10em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \addtolength{\itemsep}{.67ex} + \item 若\(k\)是某一个正整数, 则\(\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a\)的充分必要条件是\(\lim\limits_{n\to\infty} x_{n+k} = a\) + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + 若\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = A,\ b_n = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}\), 则数列\(\Seq{b_n}\)不一定收敛. + \item 若\(\lim\limits_{n\to\infty} a_n = a > 0,\ b_n = \sqrt[n]{a_1 a_2 \dotsm a_n}\)且所有的\(a_n \ne 0\), 则\(\lim\limits_{n\to\infty} b_n = a\) + \item 单调有界数列是柯西数列 + \end{itemize} + +\item 下列说法中, 正确的是\uline{\makebox[10em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + 单调递增数列要么收敛, 要么是无穷大量 + \item 数列若不单调有界, 则必不收敛 + \item 存在不收敛的柯西数列 + \item 收敛数列不一定有界 + \end{itemize} + +\item 已知\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 1,\ \lim_{n\to\infty} b_n = 2\), 求\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{a_1 b_n + a_2 b_{n-1} + \dots + a_n b_1}{n}\). + + \ifshowsol + 可以模仿例\ref{eg:limavg}的思路来证明这个极限的值是\(2\). + \fi +\end{enumerate} +\fi + +\section{Bolzano定理与Cauchy收敛准则} + +\begin{theorem*} + 数列\(\Seq{a_n}\)收敛的充分必要条件是它的所有子列都收敛\period + + \begin{remark} + 易证必要性; 至于充分性\,, 可以先证明所有子列都收敛于同一个数, 然后通过反证法得到. + \end{remark} +\end{theorem*} + +\begin{example*} + 设\(a_1 = 2,\ a_{n+1} = 2 + {1}/{a_n}\). 试讨论数列\(\Seq{a_n}\)的敛散性. % https://mathworld.wolfram.com/ContinuedFraction.html + + \begin{remark} + 子列\(a_{2n}\)单调递减有下界, 子列\(a_{2n-1}\)单调递增有上界. 然后证明这两个子列的极限相等. 这就说明原数列收敛. + \end{remark} +\end{example*} + +\begin{definition*} + 若闭区间\(\Seq{\brkt{a_n, b_n}}\)对于所有的\(n\)满足\(\brkt{a_{n+1}, b_{n+1}} ⊂ \brkt{a_n, a_n}\)且\(\lim\limits_{n\to\infty} (b_n - a_n) = 0\), 则称\(\Seq{\brkt{a_n, b_n}}\)是一个区间套. +\end{definition*} + +\begin{theorem*}[区间套定理] + 若\(\Seq{\brkt{a_n, b_n}}\)是一个区间套\comma 则存在唯一的实数\(ξ\)使得\(ξ \in \brkt{a_n, b_n}\)对于所有的\(n\)都成立\,\period + + \begin{remark} + 可以考虑使用单调有界收敛定理来证明此定理. + \end{remark} +\end{theorem*} + +\begin{example*} + 从区间套定理可以推出确界存在公理. + + % TODO: Complete the proof + \begin{remark} + 可以通过二分法来构造区间套从而推出确界存在公理. 这就说明确界存在公理、单调有界定理、区间套定理在逻辑上是等价的. + \end{remark} +\end{example*} + +\begin{theorem*}[Bolzano-Weierstrass定理] + 若数列\(\Seq{a_n}\)有界\comma 则存在子列\(\Seq{a_{n_k}}\)收敛\period + + % TODO: Complete the proof + \begin{remark} + 还是可以通过二分法构造区间套来证明此定理的. + \end{remark} +\end{theorem*} + +\begin{example*} + 数列\(\Seq{a_n}\)和\(\Seq{b_n}\)都是有界的, 可以找到一个共同的下标集\(\Set{n_k}\)使得子列\(\Seq{a_{n_k}}\)和\(\Seq{b_{n_k}}\)都收敛. + + \begin{proof} + 由Bolzano定理可知, 能找到一个下标集\(\Set{\bar n_k}\)使得子列\(\Seq{a_{\bar n_k}}\)收敛. 再对有界子列\(\Seq{b_{\bar n_k}}\)使用一次Bolzano定理\,, 就能得到一个下标集\(\Set{n_k}\)使得子列\(\Seq{a_{n_k}}\)和\(\Seq{b_{n_k}}\)都收敛. + \end{proof} +\end{example*} + +\begin{definition*} + 对于任意的\(ε > 0\)都存在正整数\(N\)使得当\(m > N,\ n > N\)时都有\(\abs*{a_n - a_m} < ε\). 这时我们称数列\(\Seq{a_n}\)是一个柯西列（Cauchy sequence）. +\end{definition*} + +\begin{definition*}[柯西列的定价定义] + \begin{math} + \paren[\big]{\forall ε > 0} + \paren[\big]{\exists N > 0} + \paren[\big]{\forall n > N} + \paren[\big]{\forall p > 0} + \paren[\big]{\abs[\big]{a_{n+p} - a_n} < ε}. + \end{math} +\end{definition*} + +\begin{example*} + 证明数列\(\Seq{q^n}\)在\(\abs*{q} < 1\)条件下是柯西列. + + \begin{proof} + 对于任意的\(ε > 0\), 取\(N = \maxb*{\ceil*{\ln ε /\!\ln\abs*q}, 1}\), 那么当\(n > N\)时, 对于所有的正整数\(p\)都有 + \begin{equation*} + \abs*{q^{n+p} - q^n} + = \abs*q^n \abs*{q^p - 1} + < \abs*q^n + < ε. + \qedhere + \end{equation*} + \end{proof} +\end{example*} + +\begin{example*} + 证明数列\(\Seq[\big]{\sum_{k=1}^n 1/k}\)不是柯西列. + + \begin{proof} + 前面我们已经证明了这个数列单调递增且为无穷大量. 将这个数列记为\(\Seq{a_n}\). 取\(ε = 1\), 对于任意的正整数\(N\), 先取\(n = N+1\), 因为数列\(\Seq{a_n}\)单调递增且是无穷大量\,, 所以一定能找到一个正整数\(p\)使得\(a_{n+p} > 2\,a_n \), 那么就有\(\abs[\big]{a_{n+p} - a_n} = a_{n+p} - a_n > a_n > 1\). + \end{proof} +\end{example*} + +\begin{theorem*}[柯西收敛准则] + 数列收敛的充分必要条件是它为柯西列\period + + \begin{proof} + 易证必要性\,, 用一次三角不等式即可. 下面证明一下充分性. 易从柯西列的定义推出柯西列一定是有界列. 根据Bolzano定理\,, 有界列必有收敛子列, 将这个子列记为\(\Seq{a_{n_k}}\), 其极限记为\(A\). 那么对于任意的\(ε > 0\), 都存在一个正整数\(K\)使得当\(k > K\)时都有\(\abs[\big]{a_{n_k} - A} < ε\), 也存在一个正整数\(N_0\)使得当\(n > N_0,\ m > N_0\)时都有\(\abs*{a_n - a_m} < ε\). 取\(N = 1 + \maxb*{K, N_0}\), 当\(n > N\)时就有 + \begin{equation*} + \abs[\Big]{a_n - A} + \le \abs[\Big]{a_n - a_{n_N}} + \abs[\Big]{a_{n_N} - A} + < 2ε. + \qedhere + \end{equation*} + \end{proof} +\end{theorem*} + +\begin{example*} + 设\(b_n = \sum_{k=1}^n \abs*{a_{k+1} - a_k} \le C\). 试证明数列\(\Seq{a_n}\)收敛. + + \begin{proof} + 数列\(\Seq{b_n}\)单调递增且有界, 那么自然也就收敛, 因而也是柯西列. 所以对于任意的\(ε > 0\)都存在正整数\(N_0\)使得当\(n > N_0,\ p > 0\)时都有 + \begin{align*} + ε + &> \abs[\big]{b_{n+p} - b_{n}} \\ + &= \abs[\Bigg]{\,\sum_{k=1}^{n+p} \abs*{a_{k+1} - a_k} - \sum_{k=1}^n \abs*{a_{k+1} - a_k}\,} \\ + &= \abs[\Bigg]{\,\smashoperator[r]{\sum_{k=n+1}^{n+p}} \abs*{a_{k+1} - a_k}\,} = \smashoperator{\sum_{k=n+1}^{n+p}} \abs*{a_{k+1} - a_k} \\ + &\ge \abs[\Bigg]{\,\sum_{k=n+1}^{n+p} \paren*{a_{k+1} - a_k}\,} + = \abs[\big]{a_{n+p+1} - a_{n+1}}. + \end{align*} + 取\(N = N_0 + 1\), 当\(n > N,\ p > 0\)时就有\(\abs[\big]{a_{n+p} - a_n} < ε\). 这就说明数列\(\Seq{a_n}\)是一个柯西列, 自然也就收敛. + \end{proof} +\end{example*} + +\subpdfbookmark{思考}{B1.2.3.P} +\subsection*{思考} + +\begin{enumerate} +\item 在闭区间套定理中, 如果将闭区间改成开区间, 结论是否成立? + + \ifshowsolp + 不成立, 最终可能是一个空集. 设\(a_n = 0,\ b_n = 1/n\), 显然有\(\paren{a_{n+1}, b_{n+1}} \subset \paren{a_n, b_n}\)且\(\lim_{n\to\infty} \paren{b_n - a_n} = 0\). 但是, + \begin{equation*} + \bigcap_{n=1}^\infty \paren{a_n, b_n} = \bigcap_{n=1}^\infty \paren[\Big]{0, \frac1n} = \emptyset. + \end{equation*} + \fi + +\item 如何利用数列收敛与子列收敛的关系来证明一个数列非收敛? + + \ifshowsolp + 只要找到该数列的一个不收敛子列即可. + \fi +\end{enumerate} + +\ifshowex +\currentpdfbookmark{练习}{B1.2.3.E} +\subsection*{练习} + +\begin{enumerate} +\item 若数列\(\Seq{a_n}\)满足条件\(\abs*{a_{n+1} - a_n} \le 1/2^n\), 则\uline{\makebox[6em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item \(\lim_{n\to\infty} a_n = 0\) + \item 数列\(\Seq{a_n}\)不一定收敛 + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + \(\lim_{n\to\infty} a_n = A\)且\(\abs*{A - a_1} \le 1\) + \item \(\lim_{n\to\infty} a_n = A\)且\(\abs*{A - a_1} > 1\) + \end{itemize} + + \ifshowsol + 选项A可以有反例\(a_n = 1\)来说明. 选项B可以由三角不等式推出这个数列是柯西列, 进而收敛. 选项C可以先推出\(\abs*{a_n - a_1} \le 1 - 1/2^{n-1}\), 然后用反证法说明\(\abs*{A - a_1} \ngtr 1\). + \fi + +\item 设\(\Seq*{\paren{a_n, b_n}}\)是一个开区间序列且满足：\enumparen{1}\(a_1 < a_2 < \dots < a_n < \dots < b_n < \dots < b_2 < b_1\) \enumparen{2}\(\lim_{n\to\infty} \paren{b_n - a_n} = 0\). 那么就有\uline{\makebox[10em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + 存在唯一的实数\(ξ\)属于所有开区间\(\paren{a_n, b_n}\)且\(ξ = \lim_{n\to\infty} a_n\) + \item 存在唯一的实数\(ξ\)属于所有开区间\(\paren{a_n, b_n}\)且\(ξ \ne \lim_{n\to\infty} a_n\) + \item 至少存在两个不同的实数\(ξ\)和\(η\)属于所有开区间\(\paren{a_n, b_n}\) + \item 不存在实数\(ξ\)属于所有开区间\(\paren{a_n, b_n}\) + \end{itemize} + + \ifshowsol + 可以参考区间套定理的证明方式. + \fi + +\item 关于数列, 下列四个结论中, 正确的有\uline{\makebox[6em]{% + \ifshowsol + \enumparen{1}% + \enumparen{2} + \fi}}. + \begin{enumerate} + \renewcommand{\labelenumii}{\enumparen{\arabic{enumii}}} + \item 单调的无界数列一定为无穷大量 + \item 无界数列存在无穷大量子列 + \item 数列收敛等价于有无穷多个子列收敛 + \item 发散数列存在无穷大量子列 + \end{enumerate} + +\item 下面四个数列中, 是柯西列的有\uline{\makebox[6em]{% + \ifshowsol + \enumparen{2}% + \enumparen{3} + \fi}}. + \begin{enumerate} + \renewcommand{\labelenumii}{\enumparen{\arabic{enumii}}} + \item \(\Seq[\big]{1 + \frac12 + \dots + \frac1n}\) + \item \(\Seq[\big]{1 + \frac1{2^2} + \dots + \frac1{n^2}}\) + \item \(\Seq[\big]{\frac{n!}{n^n}}\) + \item \(\Seq[\big]{\sin\frac{n^n}{4}}\) + \end{enumerate} + +\item 关于区间\(\paren{0,1}\)中所有的有理点排成的点列\(\Seq[\big]{\frac12, \frac13, \frac23, \frac14, \frac34, \frac15, \frac25, \frac35, \frac45, \dots}\), 下列四个结论中, 正确的有\uline{\makebox[6em]{% + \ifshowsol + \enumparen{1} + \fi}}. + \begin{enumerate} + \renewcommand{\labelenumii}{\enumparen{\arabic{enumii}}} + \item 对于任意的\(x \in [0,1]\)都存在该点列的一个子列收敛于\(x\) + \item 不存在\(x \in [0,1]\)使得该点列的一个子列收敛于\(x\) + \item 仅存在有限个\(x \in [0,1]\)使得该点列的一个子列收敛于\(x\) + \item 至少存在有限个\(x \in [0,1]\)使得该点列的任何一个子列都不收敛于\(x\) + \end{enumerate} + +\item 下列说法, 错误的是\uline{\makebox[6em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item 数列\(\Seq{a_n}\)单调, 则\(\lim_{n\to\infty} a_n = A\)的充要条件是存在子列\(\Seq{a_{n_k}}\)满足\(\lim_{n\to\infty} a_{n_k} = A\) + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + 若数列\(\Seq{a_n}\)不收敛, 则必存在两个子列\(\Seq{a_{n_k}^{(1)}}\)和\(\Seq{a_{n_k}^{(2)}}\)分别收敛于两个不同的值 + \item 若数列\(\Seq{a_n}\)无界但非无穷大量, 则必存在一个无穷大量子列和一个收敛子列 + \item 设\(S\)为非空有上界的实数集. 若\(\sup S = A \notin S\), 则存在单调递增数列\(\Seq{a_n} \subset S\)使得\(\lim_{n\to\infty} a_n = A\). + \end{itemize} +\end{enumerate} +\fi + +\section{函数极限的概念与性质} + +\begin{definition*} + 函数\(f\)在点\(x_0\)附近\footnote{在点\(x_0\)附近是指在这个点某个去心邻域上\,, 也就是说在集合\(\paren{x_0 - δ, x_0 + δ} \setminus \Set{x_0}\)上\,, 其中\(δ\)是某个正数.}有定义\,, \(A\)是某个常数. 对于任意的\(ε > 0\), 存在\(δ > 0\)使得当\(0 < \abs*{x-x_0} < δ\)时都有\(\abs*{\,f(x) - A} < ε\). 这时, 我们称\(A\)是函数\(f\)在\(x\)趋向于\(x_0\)时的极限, 记作\(\lim_{n\to\infty} f(x) = A\). +\end{definition*} + +\begin{example*} + 证明\(\lim_{x\to1} x^2 = 1\). + + \begin{proof} + 对于任意的\(ε > 0\), 取\(δ = \minb[\big]{\frac12, \frac23ε}\), 当\(0 < \abs*{x - 1} < δ\)时就有 + \begin{equation*} + \setlength{\abovedisplayskip}{.8ex} + \abs[\big]{\,f(x) - 1} + = \abs[\big]{x^2 - 1} + = \abs[\big]{x-1} \abs[\big]{x+1} + < δ \abs[\big]{x+1} + < \frac32 δ + \le ε. + \rule[-2ex]{0ex}{0ex} + \qedhere + \end{equation*} + \end{proof} +\end{example*} + +\begin{example*} + 证明\(\lim_{x\to0} \cos x = 1\). + + \begin{proof} + 对于任意的\(ε > 0\), 若使\(\abs[\big]{\cos x - 1} < ε\)成立\,, 只需使\(1 - ε < \cos x\)成立即可, 也就是\(1 - \cos x < ε\). 考虑到 + \begin{equation*} + 1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \le \frac{x^2}{2}, + \end{equation*} + 这时只需取\(δ = \sqrt{2ε}\)\,, 就能使当\(0 < \abs{x} < δ\)时都有\(1 - \cos x < ε\). + \end{proof} +\end{example*} + +\begin{definition*}[单侧极限] + 对于任意的\(ε > 0\)都存在\(δ > 0\)使得当\(0 < x_0 - x < δ\)时都有\(\abs*{\,f(x) - A} < ε\). 这时, 我们称\(A\)是函数\(f\)在\(x\)从左侧趋向于\(x_0\)的极限, 简称左极限, 记作\(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A\)或\(f(x_0-0) = A\). + + 对于任意的\(ε > 0\)都存在\(δ > 0\)使得当\(0 < x - x_0 < δ\)时都有\(\abs*{\,f(x) - A} < ε\). 这时, 我们称\(A\)是函数\(f\)在\(x\)从右侧趋向于\(x_0\)的极限, 简称右极限, 记作\(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A\)或\(f(x_0+0) = A\). +\end{definition*} + +\begin{theorem*} + 函数极限存在的充分必要条件是它的左极限和右极限都存在且相等\period + + \begin{proof} + 易证必要性. 关于充分性, 只需取\(δ = \minb{δ_1, δ_2}\)即可, 其中\(δ_1\)和\(δ_2\)分别是左右极限所取的德尔塔. + \end{proof} +\end{theorem*} + +\begin{example*} + 函数 + \begin{equation*} + f(x) = + \begin{cases} + x+1, & x \ge 0, \\ + x-1, & x < 0, + \end{cases} + \end{equation*} + 在\(x = 0\)处的极限不存在. +\end{example*} + +\begin{example*} + 函数\(f(x) = \arctan\dfrac1x\)在\(x = 0\)处的极限不存在.\rule[-2ex]{0ex}{5.5ex} +\end{example*} + +\begin{example*} + 函数\(f(x) = \dfrac{x}{\abs x + 1}\)在无穷处的极限不存在.\rule[-2ex]{0ex}{0ex} +\end{example*} + +\begin{theorem*}[唯一性] + 函数的极限若存在则唯一\period +\end{theorem*} + +\begin{theorem*}[有界性] + 若函数\(f\)在\(x \to x_0\)时的极限存在\,\comma 则其在\(x_0\)附近有界\period +\end{theorem*} + +\begin{theorem*}[保号性] + 若函数\(f\)在\(x \to x_0\)时收敛于某个非零数\(A\)\comma 则其在\(x_0\)附近拥有与\(A\)相同的正负号\period +\end{theorem*} + +% https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3116z/f688.item +% https://zbmath.org/46.0295.04 +\begin{theorem} + \label{thm:limequiv} + 函数\(f\)在\(x \to x_0\)时收敛于\(A\)的充分必要条件是：对于任意的非\(x_0\)数列\(\Seq{x_n}\)\comma 当它收敛于\(x_0\)时\comma 就一定有数列\(\Seq{\,f(x_n)}\)收敛于\(A\)\period + + \begin{proof} + 易证必要性. 关于必要性, 可以通过反证法证明. 假设函数\(f\)在\(x \to x_0\)时不收敛于\(A\), 则能构造一个数列\(\Seq{x_n}\)使得它收敛于\(x_0\)但是数列\(\Seq{\,f(x_n)}\)不收敛于\(A\). + \end{proof} +\end{theorem} + +\begin{example*} + 函数\(f\)在\(\brktparen{a, +\infty}\)上有定义, 在\(\brkt{a, A}\)上有界, 其中\(A\)是任意一个大于等于\(a\)的数, 并且在趋向于正无穷时极限存在. 证明函数\(f\)在\(\brktparen{a, +\infty}\)上有界. + + \begin{proof} + 记\(B\)为函数在趋向正无穷时的极限. 那么对于任意的\(ε > 0\)都存在\(δ > 0\)使得当\(x > δ\)时都有\(\abs*{\,f(x) - B} < ε\), 所以\(\abs[\big]{\,f(x)} < \abs[\big]{B} + ε\). 因此, 函数\(f\)在\(\paren{δ, +\infty}\)上有界. 又因为函数\(f\)在\(\brkt{a, δ}\)上也有界, 所以它在\(\brktparen{a, +\infty}\)上有界. + \end{proof} +\end{example*} + +\begin{example*} + 试判断极限\(\lim_{x\to0} \cos\frac1x\)存在与否. + + \begin{remark} + 不存在. 下面给出两种证明. + \end{remark} + + \begin{proof} + 对于任意的\(A \in \R\), 都存在\(ε > 0\)使得当\(δ > 0\)时都能找到一个\(x\)满足\(0 < \abs{x} < δ\)且\(\abs[\big]{\cos\frac1x - A} \ge ε\). 当\(A \notin \brkt{-1, 1}\)时, 只需取\(ε = \abs{A} - 1\)即可. 当\(A \in \paren{-1, 1}\)时, 取\(ε = \frac{1-\abs{A}}{2}\)和\(x = \frac{1}{2\pi\paren*{\ceil{1/2\piδ}+1}}\)即可. 当\(A \in \Set{-1, 1}\)时, 取\(ε = 1/2\)和\(x = \frac{1}{\pi/2 + 2\pi\ceil*{1/2\piδ}}\)即可. + \end{proof} + + \begin{proof} + 令\(x_n = \frac1{2n\pi},\ \bar x_n = \frac1{\pi/2 + 2n\pi}\). 显然有非零数列\(\Seq{x_n}\)和数列\(\Seq{\bar x_n}\)都收敛于\(0\), 但数列\(\Seq{\,f(x_n)}\)和\(\Seq{\,f(\bar x_n)}\)收敛于不同的值. + \end{proof} +\end{example*} + +\begin{example*}[Thomae函数] + 设\(x_0\)是一个实数. 试证明函数 + \begin{equation*} + f(x) = + \begin{cases} + \frac1q, & \text{\(x = \frac pq\), 其中\(p \in \Z\)与\(q \in \N^+ \)互质}, \\ + 1, & x = 0, \\ + 0, & \otherwise. + \end{cases} + \end{equation*} + 在\(x \to x_0\)时收敛于\(0\). + + \begin{remark} + 下面给出两种证明. + \end{remark} + + \begin{proof} + 我们可以将此函数看成直尺上的刻度. 可以先考察的此函数的一些性质, 易知\(1\)和\(0\)分别是它的上下界, 它是一个周期为\(1\)的函数. 那么只需证明它在区间\(\paren{0,1}\)上的极限、在\(0\)处的右极限、在\(1\)处的左极限都是\(0\)即可. 对于任意的\(ε > 0\), 大于\(ε\)的刻度精度集合\(Q_ε^* = \Set[\big]{\,1/q \mid q \in \N^+ \tand 1/q \ge ε\,}\)显然是有限的. 又因为由刻度精度\(1/p\)派生出来的刻度集合\(P_{1/q} = \Set[\big]{\,p/q \mid p \in \N^+ \tand p < q\,}\)也是有限的, 那么刻度集合 + \begin{equation*} + P_{Q_ε^*} + = \smashoperator{\bigcup_{1/q \in Q_ε^*}} P_{1/q} + = \Set[\big]{\,p/q \mid p,q \in \N^+,\ 1/q \ge ε,\ p < q\,} + \end{equation*} + 也是有限的. 当\(x_o \in \paren{0,1}\)时, 令\(X = \paren[\big]{P_{Q_ε^*} \!\setminus \Set{x_0}} \cup \Set{0,1}\), 取 + \begin{equation*} + δ = \min\Set[\big]{\,\abs{x - x_0} \mid x \in X\,} + \end{equation*} + 即可使当\(0 < \abs*{x - x_0} < δ\)时都有\(f(x) < ε\). 同理, 可证函数\(f\)在\(0\)处的右极限和在\(1\)处的左极限也是\(0\), 从而它在\(\R\)上的所有极限都是\(0\). + \end{proof} + % TODO: Tidy up the proof + \begin{proof} + 对于任意的收敛于\(x_0\)的非\(x_0\)数列\(\Seq{x_n}\), 它一定能分割成有理数和无理数两个部分, 这两个部分不可能都是有限的, 也就是说这两个部分当中, 至少有一个部分是无限的. 若无理数的那个部分是无限的, 将这个部分构成的子列记为\(\Seq{x_{n_k}}\). 那么数列\(\Seq{\,f(x_{n_k})}\)自然收敛于\(0\). 若有理数的那个部分是无限的, 将这个部分构成的子列记为\(\Seq{\bar x_{n_k}}\). 只要说明数列\(\Seq{\,f(\bar x_{n_k})}\)也收敛于\(0\), 就能说明数列\(\Seq{\,f(x_n)}\)也收敛于\(0\), 从而函数在\(x \to x_0\)时也收敛于\(0\). + + 接下来, 我们来证明数列\(\Seq{\,f(\bar x_{n_k})}\)确实收敛于\(0\). 只需证明, 对于任意的\(ε > 0\), 只存在有限个项\(\bar x_{n_k}\)满足\(\,f(\bar x_{n_k}) \ge ε\)即可. 因为取\(K = \max\Set[\big]{\,k \mid \,f(\bar x_{n_k}) \ge ε\,}\), 就能使得当\(k > K\)时都有\(f(\bar x_{n_k}) < ε\). 因为\(\bar x_{n_k}\)是有理数, 必然能写成\(\bar x_{n_k} = p_k/q_k\)的形式. 令 + \begin{equation*} + P = \Set[\big]{\, p_k \mid \,f(p_k/q_k) \ge ε\,}, \quad + Q = \Set[\big]{\, q_k \mid \,f(p_k/q_k) \ge ε\,}, \quad + R = \Set[\big]{\, p_k/q_k \mid \,f(p_k/q_k) \ge ε\,}. + \end{equation*} + 易证\(\card*Q \in \N\), 从而\(\card*P \in \N\), 所以\(\card*R \in \N\). 若有无穷多项\(\bar x_{n_k}\)满足\(f(\bar x_{n_k}) \ge ε\), 则对于任意的正整数\(K\)都存在一个\(k > K\)满足 + \begin{equation*} + \abs[\big]{\bar x_{n_k} - x_0} \ge \min\Set[\big]{\,\abs{r - x_0} \mid r \in R \,} > 0. + \end{equation*} + 这与子列\(\Seq[\big]{\bar x_{n_k}}\)收敛于\(x_0\)是矛盾的. 因此只存在有限个项\(\bar x_{n_k}\)满足\(f(\bar x_{n_k}) \ge ε\). + \end{proof} +\end{example*} + +\subpdfbookmark{思考}{B1.2.4.P} +\subsection*{思考} + +\begin{enumerate} +\item 用\(ε\)--\(N\)语言给出\(\lim_{x\to\infty} f(x) = A\)的定量描述. + + \ifshowsolp + 用形式语言的来定义\,, 就是 + \begin{equation*} + \paren[\big]{\forall ε > 0} + \paren[\big]{\exists N > 0} + \paren[\big]{\forall \abs{x} > N} + \paren[\big]{\abs[\big]{\,f(x) - A} < ε}. + \end{equation*} + \fi + +\item 思考函数极限与数列极限之间的关系\,, 并尝试通过数列极限给出各种函数极限存在的柯西收敛原理. + + \ifshowsolp + 设函数\(f\)在点\(a\)附近有定义, 当 + \begin{equation*} + \paren[\big]{\forall ε > 0} + \paren[\big]{\exists δ > 0} + \paren[\big]{\forall \abs[\big]{x - a} < δ} + \paren[\big]{\forall \abs[\big]{y - a} < δ} + \paren[\big]{\abs[\big]{\,f(x) - f(y)} < ε} + \end{equation*} + 时, 我们称\(f\)在点\(a\)处柯西收敛. + + 函数的柯西收敛原理无非是说：函数\(f\)在点\(a\)处极限存在的充分必要条件是它在点\(a\)处柯西收敛. + + \begin{proof} + 易证必要性. 下面来证一下充分性. 对于任意的\(ε > 0\)都存在\(δ > 0\)使得当\(\abs{x - a} < δ,\ \abs{y - a} < δ\)时都有\(\abs*{\,f(x) - f(y)} < ε\). 这时, 对于任何收敛于\(a\)的非\(a\)数列\(\Seq{x_n}\), 自然存在一个正整数\(N\)使得：当\(n\)和\(m\)大于\(N\)时, 都有\(\abs*{x_n - a} < δ\)和\(\abs*{x_m - a} < δ\). 所以有\(\abs*{\,f(x_n) - f(x_m)} < ε\). 这就说明数列\(\Seq{\,f(x_n)}\)是柯西列, 从而收敛. 与不同的数列\(\Seq{x_n}\)所对应的数列\(\Seq{\,f(x_n)}\)必然收敛于同一个数. 因为假设收敛于不同的两个数, 将不同的两个数列可以合并成一个新的数列\(\Seq{\bar x_n}\), 从而推出\(\Seq{\,f(\bar x_n)}\)发散. 这和前面的结论时矛盾的. 因此\,, 函数\(f\)在点\(a\)处的极限存在. + \end{proof} + \fi +\end{enumerate} + +\ifshowex +\currentpdfbookmark{练习}{B1.2.4.E} +\subsection*{练习} + +\begin{enumerate} +\item 若\(\lim_{x\to0} \,f(x) = 1\), 则必定\uline{\makebox[6em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item \(f(0) = 1\) + \item 函数\(f\)在原点没定义. + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + 函数\(f\)在原点附近大于\(0\) + \item 函数\(f\)在原点附近不等于\(1\) + \end{itemize} + +\item 函数\(f(x) = \abs x / x\)在原点处\uline{\makebox[6em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item 极限存在且为\(1\) + \item 极限存在但不为\(1\) + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + 极限不存在但在该点附近有界 + \item 极限不存在且在该点附近无界 + \end{itemize} + +\item 函数 + \begin{equation*} + f(x) = + \begin{cases} + \sin\frac1x, & x > 0, \\ + x \sin\frac1x, & x < 0 + \end{cases} + \end{equation*} + 在原点处\uline{\makebox[6em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item 左右极限均存在且都为\(0\) + \item 左右极限均不存在 + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + 左极限存在\,, 但右极限不存在 + \item 左右极限都存在但不相同 + \end{itemize} + +\item 函数 + \begin{equation*} + f(x) = + \begin{cases} + 2x, & x > 0, \\ + a \cos x + b \sin x, & x < 0 + \end{cases} + \end{equation*} + 在原点处\uline{\makebox[6em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item 极限存在 + \item 极限不存在 + \item 当且仅当\(a = 0,\ b = 0\)时极限存在 + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + 当且仅当\(a = 0\)时极限存在 + \end{itemize} + +\item 关于函数极限, 下列结论中, 正确的有\uline{\makebox[6em]{% + \ifshowsol + \enumparen{2}% + \enumparen{4} + \fi}}. + \begin{enumerate} + \renewcommand{\labelenumii}{\enumparen{\arabic{enumii}}} + \item 若\(\lim_{x\to0} \,f(x^2) = A\), 则\(\lim_{x\to0} \,f(x) = A\) + \item 若\(\lim_{x\to0} \,f(x^3) = A\), 则\(\lim_{x\to0} \,f(x) = A\) + \item 若函数\(f\)是周期函数且\(\lim_{x\to0} \,f(x) = A\), 则\(f(x) \equiv A\) + \item 若函数\(f\)是周期函数且\(\lim_{x\to\infty} \,f(x) = A\), 则\(f(x) \equiv A\) + \end{enumerate} + +\item 狄利克雷函数（定义\ref{defn:dirichlet}）\uline{\makebox[6em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item 在任意点处的极限都存在 + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + 在任意点处的极限都不存在 + \item 仅在有理点处的极限存在 + \item 仅在无理点处的极限存在 + \end{itemize} + +\item 下列说法中, 正确的是\uline{\makebox[10em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item + \begin{math} + \paren[\big]{\exists ε > 0} + \paren[\big]{\forall δ > 0} + \paren[\big]{\forall 0 < \abs{x} < δ} + \paren[\big]{\abs[\big]{\,f(x) - A} < ε} + \implies + \lim_{x\to0} \,f(x) = A + \end{math} + \item + \begin{math} + \paren[\big]{\exists ε > 0} + \paren[\big]{\exists δ > 0} + \paren[\big]{\forall 0 < \abs{x} < δ} + \paren[\big]{\abs[\big]{\,f(x) - A} < ε} + \implies + \lim_{x\to0} \,f(x) = A + \end{math} + \item + \begin{math} + \lim_{x\to0} \,f(x) = A + \implies + \paren[\big]{\forall ε > 0} + \paren[\big]{\forall δ > 0} + \paren[\big]{\forall 0 < \abs{x} < δ} + \paren[\big]{\abs[\big]{\,f(x) - A} < ε} + \end{math} + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + \begin{math} + \paren[\big]{\forall ε > 0} + \paren[\big]{\forall δ > 0} + \paren[\big]{\forall 0 < \abs{x} < δ} + \paren[\big]{\abs[\big]{\,f(x) - A} < ε} + \implies + \lim_{x\to0} \,f(x) = A + \end{math} + \end{itemize} +\end{enumerate} +\fi + +\section{函数极限的运算} + +\begin{theorem}[函数极限的四则运算] + \label{thm:limfunc4ops} + 若\(\lim_{x \to x_0} \,f(x) = A,\ \lim_{x \to x_0} \,g(x) = B\)\comma 则 + \begin{enumerate} + \renewcommand{\labelenumi}{\enumparen{\arabic{enumi}}} + \item \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} \paren*{\,f(x) \pm g(x)} = A \pm B\)\scolon + \item \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} \,f(x)\,g(x) = AB\)\scolon + \item \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} \tfrac{f(x)}{g(x)} = \tfrac AB\ (B \ne 0)\)\period + \end{enumerate} + + \begin{proof} + 应用定理\ref{thm:seq4ops}和定理\ref{thm:limequiv}即可得证. + \end{proof} +\end{theorem} + +\begin{example*} + 求\(\!\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{5a^x - 3b^x}{5a^x + 3b^x}\ (a > 0,\ b > 0)\).\rule{0ex}{4ex} + + \begin{remark} + 当\(a = b\)时, 有\(\lim_{x\to+\infty} \frac{5a^x - 3b^x}{5a^x + 3b^x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{5a^x - 3a^x}{5a^x + 3a^x} = \frac14\). 当\(a > b\)时, 有 + \begin{align*} + \lim_{x\to+\infty} \frac{5a^x - 3b^x}{5a^x + 3b^x} + &= \lim_{x\to+\infty} \frac{5 - 3(b^x\!/a^x)}{5 + 3(b^x\!/a^x)} + = \lim_{x\to+\infty} \frac{5 - 3(b/a)^x}{5 + 3(b/a)^x} + && \reason{变形} \\ + &= \frac{\lim_{x\to+\infty} \paren*{5 - 3(b/a)^x}}{\lim_{x\to+\infty} \paren*{5 + 3(b/a)^x}} + && \reason{除法规则} \\ + &= \frac{\lim_{x\to+\infty} 5 - \lim_{x\to+\infty} 3(b/a)^x}{\lim_{x\to+\infty} 5 + \lim_{x\to+\infty} 3(b/a)^x} + && \reason{加减法规则} \\ + &= \frac{5 - 3 \lim_{x\to+\infty} (b/a)^x}{5 + 3 \lim_{x\to+\infty} (b/a)^x} + && \reason{乘法规则} \\ + &= 1. + \end{align*} + 同理可知, 当\(a < b\)时, 有\(\lim_{x\to+\infty} \frac{5a^x - 3b^x}{5a^x + 3b^x} = -1\). 所以, + \begin{equation*} + \lim_{x\to+\infty} \frac{5a^x - 3b^x}{5a^x + 3b^x} = + \begin{cases} + \dfrac14, & a = b, \\ + 1, & a > b, \\ + -1, & a < b. + \end{cases} + \end{equation*} + \end{remark} +\end{example*} + +\begin{example*} + 求\(\displaystyle \lim_{x\to2} \frac{x^2 + x - 6}{\sqrt{x\mathstrut} - \sqrt{4-x\mathstrut}}\). + + \begin{remark} + 分母有理化后, 得到 + \begin{equation*} + \lim_{x\to2} \frac{x^2 + x - 6}{\sqrt{x\mathstrut} - \sqrt{4-x\mathstrut}} + = \lim_{x\to2} \frac{% + \paren[\big]{x^2 + x - 6} + \paren[\big]{\sqrt{x\mathstrut} + \sqrt{4-x\mathstrut}}}{% + x - 4 + x} + = \lim_{x\to2} \frac{% + \paren[\big]{x-2} + \paren[\big]{x+3} + \paren[\big]{\sqrt{x\mathstrut} + \sqrt{4-x\mathstrut}}}{% + 2(x-2)} + = 5\sqrt2\,. + \end{equation*} + \end{remark} +\end{example*} + +\begin{theorem}[复合函数的极限] + \label{thm:limfunccomp} + 若函数\(f\)在点\(B\)处的极限是\(A\)\,\comma 函数\(g\)在点\(x_0\)处的极限是\(B\)且在点\(x_0\)附近不等于\(B\)\,\comma 则复合函数\(f \circ g\)在点\(x_0\)的极限是\(A\)\,\period + + \begin{proof} + 应用定理\ref{thm:limequiv}即可得证. + \end{proof} +\end{theorem} + +\begin{example*} + 令\(f(u) = \abs*{\sgn x}\,,\ g(x) = x \Fn D(x)\). 复合函数\(f \circ g\)在原点处的极限存在吗? + + \begin{remark} + 不存在. 若“生吞活剥”地套用上述定理, 就可能得出极限存在且为\(1\)的结论. 实际上\,, + \begin{equation*} + (\,f \circ g)(x) + = \abs[\Big]{\sgn\paren[\big]{x \Fn D(x)}} = + \begin{cases} + \Fn D(x), & x \ne 0, \\ + 0, & x = 0. + \end{cases} + \end{equation*} + 函数的极限在某点处的极限和它在这点的取值无关\,, 狄利克雷函数在实轴上处处极限不存在\,, 因此该复合函数在原点自然也不存在. 误用上述定理的原因是：函数\(g\)在原点附近总是能取到\(0\), 由于无理数是稠密的. + \end{remark} +\end{example*} + +\begin{example*} + 设在同一个极限过程中, 函数\(f\)的极限是正数\(A\), 函数\(g\)的极限是\(B\). 证明\(\,f(x)^{g(x)}\)的极限是\(A^B\). + + \begin{proof} + 运用两次定理\ref{thm:limfunccomp}和一次定理\ref{thm:limfunc4ops}, 有 + \begin{align*} + \lim_{x \to x_0\!} \,f(x)^{g(x)} + &= \smashoperator{\lim_{x \to x_0\!}} \expb[\Big]{\ln \,f(x)^{g(x)}} + = \smashoperator{\lim_{x \to x_0\!}} \expb[\Big]{g(x) \ln \,f(x)} + = \expb[\Big]{\lim_{x \to x_0\!} g(x) \ln \,f(x)} \\ + &= \expb[\Big]{\lim_{x \to x_0\!} g(x) \smashoperator[r]{\lim_{x \to x_0\!}} \ln \,f(x)} + = \expb[\Big]{B \ln \smashoperator[l]{\lim_{x \to x_0\!}} \,f(x)} \\ + &= \expb[\big]{B \ln A} = \expb[\big]{\ln A^B} = A^B. + \end{align*} + 注意\,, 在使用定理\ref{thm:limfunccomp}的时候, 用到了指数函数和对数函数都是连续函数的事实. + \end{proof} +\end{example*} + +\begin{theorem}[函数极限的夹逼定理] + \label{thm:funcsqueeze} + 若函数\(f,\ g,\ h\)满足： + \begin{enumerate}[topsep=0ex,itemsep=0ex] + \renewcommand{\labelenumi}{\enumparen{\arabic{enumi}}} + \item 在点\(x_0\)附近有\(f \le g \le h\)\comma + \item \(\lim\limits_{x \to x_0} \,f(x) = \lim\limits_{x \to x_0} h(x) = A\)\scolon + \end{enumerate} + 则\(\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = A\)\period + + \begin{proof} + 应用定理\ref{thm:limequiv}即可得证. + \end{proof} +\end{theorem} + +\begin{example*} + 求\(\lim\limits_{x\to0} x \floor[\bigg]{\dfrac1x}\). + + \begin{remark} + 实际上\,, 当\(x > -1\)时, 有 + \begin{equation*} + \Fn H(-x) + \frac{\floor{1/x}}{\floor{1/x}+1} \Fn H(x) + \le + x \floor[\bigg]{\dfrac1x} + \le + \frac{\floor{1/x}}{\floor{1/x}+1} \Fn H(-x) + \Fn H(x), + \end{equation*} + 其中\(\Fn H\)为阶跃函数. 所以\,, \(\lim\limits_{x\to0} x \floor[\bigg]{\dfrac1x} = 1\). + \end{remark} +\end{example*} + +\begin{theorem*} + \(\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\). + + \begin{proof} + 根据三角函数在几何上的意义, 当\(0 < x < \pi/2\)时, 有 + \begin{equation*} + \sin x < x < \tan x + \iff + 1 < \frac{x}{\sin x} < \sec x + \iff + \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1. + \end{equation*} + 使用一次夹逼定理, 得 + \begin{equation*} + \lim_{x\to0^+\negthickspace} \frac{\sin x}{x} = 1, + \end{equation*} + 又因为这个函数是偶函数, 所以\(\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\). + \end{proof} +\end{theorem*} + +\begin{example*} + 常见的极限结论： + \begin{equation*} + \lim_{x\to0} \frac{\tan x}{x} = 1, + \quad + \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12, + \quad + \lim_{x\to0} \frac{\arcsin x}{x} = 1, + \quad + \lim_{x\to0} \frac{\arctan x}{x} = 1. + \end{equation*} +\end{example*} + +\begin{example*} + 求\(\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\sin ax}{\sin bx}\ (b \ne 0)\). + + \begin{remark} + 当\(a \ne 0\)时, 有 + \begin{equation*} + \lim_{x\to0} \frac{\sin ax}{\sin bx} + = \lim_{x\to0} \frac{\sin ax}{ax} \frac{ax}{bx} \frac{bx}{\sin bx} + = \frac ab. + \end{equation*} + 当\(a = 0\)时, 有\(\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\sin ax}{\sin bx} = 0 = \dfrac ab\). 所以\,, 无论\(a\)的取值\,, 都有\(\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\sin ax}{\sin bx} = \dfrac ab\). + \end{remark} +\end{example*} + +\begin{example*} + 求\(\lim\limits_{x\to1} \dfrac{\sinp{1-x}}{\sqrt x - 1}\). + + \begin{equation*} + \lim_{x\to1} \frac{\sinp{1-x}}{\sqrt x - 1} + = \lim_{x\to1} \frac{-\paren{\sqrt x + 1} \sinp{x-1}}{x - 1} + = -2. + \end{equation*} +\end{example*} + +\begin{example*} + 求\(\;\smashoperator[l]{\lim\limits_{x\to\pi/2}} \dfrac{\cos x}{\pi/2 - x}\). + + \begin{equation*} + \lim_{x\to\pi/2} \frac{\cos x}{\pi/2 - x} + = - \smashoperator{\lim_{x\to\pi/2}} \frac{\cosp{x-\pi/2+\pi/2}}{x - \pi/2} + = - \smashoperator{\lim_{x\to\pi/2}} \frac{-\sinp{x-\pi/2}}{x-\pi/2} + = 1. + \end{equation*} +\end{example*} + +\begin{theorem*} + \(\!\lim\limits_{x\to\infty} \paren[\bigg]{1 + \dfrac1x}^x = e\). + + \begin{proof} + 应用定理\ref{thm:seqe}和定理\ref{thm:funcsqueeze}即可得证. + \end{proof} +\end{theorem*} + +\begin{example*} + 求\(\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1\). + + \begin{remark} + 令\(t = 1/x\), 有 + \begin{equation*} + \lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x)}{x} + = \lim_{x\to0} \ln(1+x)^{1/x} + = \lim_{t\to\infty} \lnp[\bigg]{1 + \frac1t}^t + = \ln e + = 1. + \end{equation*} + \end{remark} +\end{example*} + +\begin{example*} + 求\(\lim\limits_{x\to0} \dfrac{e^x-1}{x}\). + + \begin{remark} + 令\(t = e^x - 1\), 有 + \begin{equation*} + \lim_{x\to0} \frac{e^x-1}{x} + = \lim_{t\to0} \frac{t}{\ln(1+t)} + = 1. + \end{equation*} + \end{remark} +\end{example*} + +\begin{example*} + 求\(\lim\limits_{x\to0} \dfrac{a^x-1}{x}\ (a > 0)\). + + \begin{remark} + 当\(a \ne 1\)时, 有 + \begin{equation*} + \lim_{x\to0} \frac{a^x-1}{x} + = \lim_{x\to0} \frac{e^{x \ln a}-1}{x \ln a} \ln a + = \ln a. + \end{equation*} + 当\(a = 1\)时, 有 + \begin{equation*} + \lim_{x\to0} \frac{a^x-1}{x} + = \lim_{x\to0} \frac{0}{x} + = 0 = \ln a. + \end{equation*} + 所以\,, \(\lim\limits_{x\to0} \dfrac{a^x-1}{x} = \ln a\). + \end{remark} +\end{example*} + +\begin{example*} + 求\(\lim\limits_{x\to\infty} \paren[\bigg]{\dfrac{x+5}{x+2}}^{\mathrlap{x+3}}\). + + \begin{remark} + 稍作变形, 有 + \begin{align*} + \lim_{x\to\infty} \paren[\bigg]{\frac{x+5}{x+2}}^{x+3}\negthickspace + &= \lim_{x\to\infty} \paren[\bigg]{1 + \frac{3}{x+2}}^{x+2} \paren[\bigg]{% + 1 + \frac{3}{x+2}} \\ + &= \lim_{x\to\infty} \paren[\bigg]{1 + \frac{1}{(x+2)/3}}^{(x+2)/3\cdot3} \paren[\bigg]{% + 1 + \frac{3}{x+2}} \\ + &= e^3. + \end{align*} + \end{remark} +\end{example*} + +\begin{example*} + 求\(\lim\limits_{x\to0} (\cos x)^{1/\!\sin^2 x}\). + + \begin{remark} + 稍作变形, 有 + \begin{align*} + \lim_{x\to0} (\cos x)^{1/\!\sin^2 x} + &= \lim_{x\to0} \expb[\Bigg]{\frac{\ln \cos x}{\sin^2 x}} \\ + &= \lim_{x\to0} \expb[\Bigg]{ + \frac{\lnp{1 - 2 \sin^2 \frac x2}}{ + \paren{2 \sin\frac x2 \cos\frac x2}^2}} \\ + &= \lim_{x\to0} \expb[\Bigg]{ + \frac{\lnp{1 - 2 \sin^2 \frac x2}}{-2 \sin^2 \frac x2} + \cdot \frac{1}{-2 \cos^2 \frac x2}} \\ + &= e^{-1/2} = \frac1{\!\sqrt e\,}. + \end{align*} + \end{remark} +\end{example*} + +\subpdfbookmark{思考}{B1.2.5.P} +\subsection*{思考} + +复合函数求极限的条件是什么? 若不满足该条件, 会出现什么问题? + +\ifshowsolp +要在自变量趋向的点附近存在一个去心邻域\,, 使得内部函数在此邻域上不等于所趋向的极限值. 若不满足\,, 则可能所求的极限不存在\,, 或者等于其他值. +\fi + +\ifshowex +\currentpdfbookmark{练习}{B1.2.5.E} +\subsection*{练习} + +\begin{enumerate} +\item 函数 + \begin{equation*} + f(x) = \frac{2+e^{1/x}}{1+e^{4/x}} + \frac{\sin x}{\abs x} + \end{equation*} + 在原点处\uline{\makebox[6em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + 极限存在 + \item 左极限存在\,, 右极限不存在 + \item 左极限不存在\,, 右极限存在 + \item 左右极限都存在但不相等 + \end{itemize} + + \ifshowsol + 实际上\,, 有 + \begin{gather*} + \lim_{\,x\to0^+} \,f(x) + = \smashoperator[l]{\lim_{\,x\to0^+}} \paren[\bigg]{\frac{2/e^{1/x} + 1}{1/e^{1/x} + e^{3/x}} + \frac{\sin x}{x}} + = 1 + \iand + \lim_{\,x\to0^-} \,f(x) + = \smashoperator[l]{\lim_{\,x\to0^-}} \paren[\bigg]{\frac{2+e^{1/x}}{1+e^{4/x}} - \frac{\sin x}{x}} + = 1. + \end{gather*} + 所以函数\(f\)在原点处的极限是\(1\). + \fi + +\item 若\(\lim\limits_{x \to x_0} \,f(x)\)存在且\(\lim\limits_{x \to x_0} g(x)\)不存在, 则\uline{\makebox[10em]{}}. + \begin{itemize}[itemsep=1ex] + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item \(\lim\limits_{x \to x_0} \,f(x)\,g(x)\)和\(\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{g(x)}{f(x)}\)一定都不存在 + \item \(\lim\limits_{x \to x_0} \,f(x)\,g(x)\)和\(\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{g(x)}{f(x)}\)一定都存在 + \item 在\(\lim\limits_{x \to x_0} \,f(x)\,g(x)\)和\(\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{g(x)}{f(x)}\)中恰有一个存在 + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + \(\lim\limits_{x \to x_0} \paren*{\,f(x)+g(x)}\)和\(\lim\limits_{x \to x_0} \paren*{\,f(x)-g(x)}\)一定都不存在 + \end{itemize} + + \ifshowsol + 令\(f(x) = x\)和\(g(x) = 1/x\), 可以证伪选项A和B. 在此基础上\,, 令\(g(x) = 1/x^2\), 可以证伪选项C. 实际上\,, 在题干的条件下, \(\lim\limits_{x \to x_0} \paren*{\,f(x)+g(x)}\)、\(\lim\limits_{x \to x_0} \paren*{\,f(x)-g(x)}\)和\(\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{g(x)}{f(x)}\)一定都不存在. 当\(\lim\limits_{x \to x_0} \,f(x) \ne 0\)时, \(\lim\limits_{x \to x_0} \,f(x)\,g(x)\)一定不存在. 当\(\lim\limits_{x \to x_0} \,f(x) = 0\)时, \(\lim\limits_{x \to x_0} \,f(x)\,g(x)\)可能存在也可能不存在. + \fi + +\item 若\(\lim_{x\to\infty} \paren[\bigg]{\dfrac{x^2+1}{x+1} - ax -b} = 0\), 则\(a\)和\(b\)的值分别为\uline{\makebox[3em]{% + \ifshowsol + \(-1\) + \fi}}和\uline{\makebox[3em]{% + \ifshowsol + \(1\) + \fi}}. + +\item 求\(\lim\limits_{n\to\infty} \sin^2 \pi\sqrt{n^2+1}\). + + \ifshowsol + 稍作变形, 有 + \begin{align*} + \lim_{n \to \infty} \sin^2 \pi\sqrt{n^2+1} + &= \lim_{n \to \infty} \sin^2 \brce[\big]{\paren[\big]{\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2} + \sqrt{n^2}} \pi} \\ + &= \lim_{n \to \infty} + \bigl\lbrace + \sin\brkt[\big]{\paren[\big]{\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2}}\pi} + \cos\pi\sqrt{n^2} \\ + &\hphantom{= \lim_{n \to \infty} \lbrace} + + \cos\brkt[\big]{\paren[\big]{\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2}}\pi} + \sin\pi\sqrt{n^2} + \bigr\rbrace^2 \\ + &= \lim_{n \to \infty} + \sin^2\brkt[\big]{\paren[\big]{\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2}}\pi} + \cos^2\pi\sqrt{n^2} \\ + &= \lim_{n \to \infty} \sin^2\brkt[\big]{\paren[\big]{\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2}}\pi} \\ + &= 0. + \end{align*} + \fi + +\item 若\(\!\lim\limits_{x\to-\infty} \paren[\big]{\sqrt{x^2 - x + 1} - ax - b} = 0\), 则\(a\)和\(b\)的值分别为\uline{\makebox[3em]{% + \ifshowsol + \(-1\) + \fi}}和\uline{\makebox[3em]{% + \ifshowsol + \(1/2\) + \fi}}. + +\item 求\(\lim\limits_{x\to0} \paren{2 \sin x + \cos x}^{1/x}\). + + \ifshowsol + 稍作变形, 有 + \begin{align*} + \lim_{x\to0} \paren{2 \sin x + \cos x}^{1/x} + &= \lim_{x\to0} \expb[\bigg]{ + \frac{\lnp{1 + 2 \sin x + \cos x - 1}}{2 \sin x + \cos x - 1} + \cdot + \frac{2 \sin x + \cos x - 1}{x}} \\ + &= e^2. + \end{align*} + \fi + +\item 若函数 + \begin{equation*} + f(x) = + \begin{dcases} + \frac{\sin x}{x}, & x \ne 0, \\ + 0, & x = 0, + \end{dcases} + \txt{和} + g(t) = t \sin\frac1t. + \end{equation*} + 则\(\lim\limits_{t\to0} \,f\,\paren*{g(t)}\)\uline{\makebox[6em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item 等于\(1\) + \item 等于\(0\) + \item 等于\(-1\) + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + 不存在 + \end{itemize} + + \ifshowsol + 若令\(t_n = 1/n\pi\), 则\(\lim\limits_{n\to\infty} \,f\,\paren*{g(t_n)} = 0\). 若令\(t_n = 1/(n\pi+1)\), 则\(\lim\limits_{n\to\infty} \,f\,\paren*{g(t_n)} = 1\). 根据定理\ref{thm:limequiv}, 所以\(\lim\limits_{t\to0} \,f\,\paren*{g(t)}\)不存在. + \fi + +\item 求\(\!\lim\limits_{\,x\to0^+\!} \paren{\cos\sqrt x}^{\pi/x}\). + + \ifshowsol + 略作变形, 有 + \begin{equation*} + \lim_{\,x\to0^+\!} \paren{\cos\sqrt x}^{\pi/x} + = \lim_{\,x\to0^+\!} \expb[\bigg]{\frac{\pi \ln\cos\sqrt x}{x}} + = \lim_{\,x\to0^+\!} \expb[\bigg]{ + \frac{\pi \lnp{1 + \cos\sqrt x - 1}}{\cos\sqrt x - 1} + \cdot + \frac{\cos\sqrt x - 1}{x}} + = e^{-\pi/2}. + \end{equation*} + \fi + +\item 求\(\lim\limits_{x\to1} \dfrac{\sinp{x-1}}{\sqrt x - 1}\). + + \ifshowsol + \begin{equation*} + \lim_{x\to1} \frac{\sinp{x-1}}{\sqrt x - 1} + = \lim_{x\to1} \frac{\sinp{x-1}}{x-1} \cdot \frac{x-1}{\sqrt x - 1} + = 2. + \end{equation*} + \fi +\end{enumerate} +\fi + +\section{无穷小量及其（阶的）比较} + +\begin{definition*} + 若\(\!\lim\limits_{\,x \to x_0\!} \,f(x) = 0\), 则称函数\(f\)在\(x \to x_0\)时是一个无穷小量, 记作\(f(x) = \littleo(1)\ (x \to x_0)\). \end{definition*} -\unless\ifshowsol -\newpage -\fi - -\begin{figure}[H] - \centering - \tikzsetnextfilename{B1.1.6.4} - \begin{tikzpicture}[smooth,samples=50] - \draw (-1,0) -- (4*pi+1,0); - \foreach \x in {0,.8,1.6,2.4,3.2,4} { - \pgfmathsetmacro\theta{\x*pi} - \draw[dotted] (\theta,1) circle (1); - \draw ({\theta - sin(\theta r)},{1 - cos(\theta r)}) -- (\theta,1); - \fill[color=Dark2-D] - ({\theta - sin(\theta r)},{1 - cos(\theta r)}) circle (1pt) - (\theta,1) circle (1pt); - } - \draw[color=Dark2-C,domain=0:4*pi] plot ({\x - sin(\x r)},{1 - cos(\x r)}); - \end{tikzpicture} - \caption*{旋轮线} -\end{figure} \begin{definition*} - 星形线\footnote{星形线的概念最早也是由Ole Rømer于1674年在研究齿轮轮齿的最优形状时提出来的. 后来的伯努利父子、莱布尼茨、达朗贝尔都研究过这种曲线.}（astroid）的参数方程是 - \[ - \left\{ - \addtolength{\jot}{1ex} - \begin{alignedat}{2} - x &= a \cos^3 t &&= \frac a4 \paren{3 \cos t + \cos 3t}, \\ - y &= a \sin^3 t &&= \frac a4 \paren{3 \sin t - \sin 3t}. - \end{alignedat} - \right. - \] + 对于任意的\(M > 0\)都存在\(δ > 0\)使得当\(0 < \abs*{x - x_0} < δ\)时都有\(\abs*{\,f(x)} > M\). 这时, 我们称函数\(f\)在\(x \to x_0\)时是一个无穷大量, 记作\(\!\lim\limits_{\,x \to x_0\!} \,f(x) = \infty\). \end{definition*} -\ifshowsol -\pagebreak -\fi -莱布尼茨1715年给出了这个曲线的标准方程\(x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}\). +\begin{theorem*} + 无穷大量的倒数是无穷小量\period +\end{theorem*} -\begin{figure}[H] - \centering - \tikzsetnextfilename{B1.1.6.5} - \begin{tikzpicture}[smooth,samples=50] - \draw[color=Dark2-C] circle (4); - \foreach \x in {0,1,2,3,4,5,-3,-2,-1} { - \pgfmathsetmacro\theta{\x*acos(7/9)} - \draw[dotted] ({3*cos(\theta)},{3*sin(\theta)}) circle (1); - \draw ({3*cos(\theta)},{3*sin(\theta)}) - -- ({4*pow(cos(\theta),3)},{4*pow(sin(\theta),3)}); - \fill[color=Dark2-D] - ({3*cos(\theta)},{3*sin(\theta)}) circle (1pt) - ({4*pow(cos(\theta),3)},{4*pow(sin(\theta),3)}) circle (1pt); - } - \draw[color=Dark2-B,domain=0:360] - plot ({4*pow(cos(\x),3)},{4*pow(sin(\x),3)}); - \end{tikzpicture} - \caption*{星形线} -\end{figure} +\begin{theorem*} + 非零无穷小量的倒数是无穷大量\period +\end{theorem*} -\chapter{极限论} +\begin{theorem*} + 无穷小量与有界变量的乘积还是无穷小量\period +\end{theorem*} -\section{数列极限的概念与性质} +\begin{theorem*} + 函数\(f\)极限是\(A\)\comma 当且仅当它可以写成\(A\)与一个无穷小量之和的形式\period +\end{theorem*} \begin{definition*} - 将一些数编好号后\comma 按其编号从小到大排成一列\,\comma 称为数列\,\comma 记作\(a_1, a_2, \dots, a_n, \dots\)或\(\brce{a_n}\)\period -\end{definition*} + 在同一个极限过程中, 函数\(f\)和\(g\)都是无穷小量. + \begin{enumerate}[topsep=0ex] + \renewcommand{\labelenumi}{\enumparen{\arabic{enumi}}} + \item 若\(f/g\)收敛于某个非零常数\,, 则称\(f\)和\(g\)是\emph{同阶无穷小量}\,;\, 特别地\,, 若此常数是\(1\)\,, 则称\(f\)和\(g\)是\emph{等价无穷小量}\,, 记作\(f \sim g\)\,; + \item 若\(f/g\)也是无穷小量\,, 则称\(f\)是\(g\)的\textbf{高阶无穷小量}\footnote{关于小o和大O关系\,, 最常见的定义\,, 除了还要求\(g\)是一个正函数之外, 其实并不关心\(f\)和\(g\)是否收敛或者为无穷大量\,, 只要它们的商满足条件即可. 若\(f\)是\(g\)的高阶无穷小量\,, 则一定满足\(f = \littleo(\abs{g})\); 反之不然\,. 这里的小o和大O记号, 其实表达的是一个函数的集合, 更严谨的用法应该是\(f \in \littleop g\)和\(f \in \bigOp g\).}, 称\(g\)是\(f\)的\emph{低阶无穷小量}\,, 记作\(f= \littleo(g)\);\, 特别地\,, 若\(f/g^n\)收敛于某个非零常数\,, 则称\(f\)是\(g\)的\(n\)阶无穷小量. + \end{enumerate} -\begin{definition*} - 在数列\(\brce{a_n}\)中取出某些项后\comma 按原来的顺序排成一个新的数列\,\comma 则称此数列为原数列\(\brce{a_n}\)的一个子列\,\comma 记作\(\brce{a_{n_k}}\)\comma 其中\(n_k \ge k,\ n_{k+1} > n_k\). + \begin{remark} + 我们简称函数\(x-x_0\)在点\(x_0\)处和函数\(1/x\)在无穷处的\(k\)阶无穷小量为\(k\)阶无穷小量. 也就是说\,, 函数\(f\)在点\(x_0\)处是\(k\)阶无穷小量\,, 当且仅当\(0 < \abs[\Big]{\lim\limits_{\,x \to x_0\!} \frac{f(x)}{(x-x_0)^k}} < +\infty\); 函数\(f\)在无穷处是\(k\)阶无穷小量\,, 当且仅当\(0 < \abs[\Big]{\lim\limits_{x\to\infty} x^k\,f(x)} < +\infty\). + \end{remark} \end{definition*} \begin{definition*} - 设\(\Seq{a_n}\)是一个数列\,\comma{} \(A\)是一个常数\period 若对于任意的\(ε > 0\)\comma 总存在正整数\(N > 0\)\comma 使得当\(n > N\)时都有\(\abs*{\,a_n - A\,} < ε\)成立\,\comma 则称\(A\)是数列\(\brce{a_n}\)的极限\,\comma 记作\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = A\). + 在同一个极限过程中, 函数\(f\)和\(g\)都是无穷小量. 若\(f/g\)有界, 则称\(f\)和\(g\)有大O关系\footnote{同上.}, 记作\(f = \bigO(g)\). \end{definition*} -可以用形式化的符号来表示上述定义, 即 -\[ - \lim_{n\to\infty} a_n = A \iff - \paren[\big]{\forall ε>0} - \paren[\big]{\exists N > 0} - \paren[\big]{\forall n > N} - \paren[\big]{\abs*{a_n - A} < ε}. -\] -它的否定形式就是 -\[ - \lim_{n\to\infty} a_n \ne A \iff - \paren[\big]{\exists ε>0} - \paren[\big]{\forall N > 0} - \paren[\big]{\exists n > N} - \paren[\big]{\abs*{a_n - A} \ge ε}. -\] +\begin{example*} + 证明\(\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}k]{1+x} - 1 \sim \dfrac xk\ (x \to 0)\). -\begin{example} - \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \paren[\Big]{1+\frac1n} = 1\). \begin{proof} - 取\(N = \ceil{\frac1ε}\)即可. + 利用公式\(a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})\), 稍作变形, 有 + \begin{align*} + \lim_{x\to0} \frac{\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}k]{1+x} - 1}{x/k} + &= \lim_{x\to0} \frac{k(1+x-1)}{ + x \sum_{j=0}^{k-1} (1+x)^{(k-1-j)/k}} + && \reason{分子分母同乘以\(\Sigma\)} \\ + &= k\big/\!\lim_{x\to0} \sum_{j=0}^{k-1} (1+x)^{(k-1-j)/k} + && \reason{除法法则} \\ + &= k\bigg/\!\sum_{j=0}^{k-1} \lim_{x\to0} (1+x)^{(k-1-j)/k} + && \reason{加法法则} \\ + &= k/k = 1. + && \reason{复合法则} + \qedhere + \end{align*} \end{proof} -\end{example} +\end{example*} -\begin{example} - \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} q^n = 0\ (\abs{q} < 1)\). - \begin{proof} - 取\(N = \maxb*{1,\ceil*{\ln ε /\! \ln\abs q}}\)即可. - \end{proof} -\end{example} +\begin{theorem*} + 若\(f \sim α,\ g \sim β \), 则\(\lim \,f/g = \lim α/β\). -\begin{example} - \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a^{1/n} = 1\ (a > 1)\). - \begin{proof} - 取\(N = \ceil*{\ln a /\! \lnp{1+ε}}\)即可. - \end{proof} \begin{proof} - 第二种方法就是把\(a^{1/n}\)分解成一个常数与一个无穷小量和的形式. 因为\(a > 1\), 所以\(a^{1/n} > 1\). 令\(ε_n = a^{1/n} - 1\), 就有 - \begin{align*} - a^{1/n} - &= 1 + ε_n - && \reason{移项} \\ - a - &= (1 + ε_n)^n - && \reason{取\(n\)次幂} \\ - &= 1 + nε_n + \sum_{k=2}^n \binom{n}{k} nε_n^k - && \reason{二项式定理} \\ - &> nε_n. - \end{align*} - 因此 \begin{equation*} - \paren[\big]{\forall ε>0} - \paren[\big]{\exists N = \ceil[\Big]{\frac aε} > 0} - \paren[\big]{\forall n > N} - \paren[\big]{\abs[\big]{a^{1/n} - 1} = ε_n < \frac an < ε}. + \lim \frac{\,f}{g} + = \lim \frac{\,f}{α} \cdot \frac{α}{β} \cdot \frac{β}{g} + = \lim \frac{α}{β} \qedhere \end{equation*} \end{proof} -\end{example} +\end{theorem*} -\begin{example} - 若\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = A\), 则\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \abs{a_n} = \abs A\). - \begin{proof} - 因为\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = A\), 所以 +\begin{example*} + 求\(\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}\).\rule[-2ex]{0ex}{0ex} + + \begin{remark} + 稍作变形, 有 \begin{equation*} - \paren[\big]{\forall ε>0} - \paren[\big]{\exists N > 0} - \paren[\big]{\forall n > N} - \paren[\big]{\abs[\big]{a_n - A} = ε_n < \frac an < ε}. + \lim_{x\to0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} + = \lim_{x\to0} \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{\sin x}{x} + = \frac12. \end{equation*} - 由反三角不等式 + \end{remark} +\end{example*} + +\begin{example*} + 求\(\lim\limits_{x\to0} \dfrac{e^{1-\cos x}-1}{x^2}\). + + \begin{remark} + 使用等价无穷小量替换和复合法则, 有 \begin{equation*} - \abs*{\abs{a_n} - \abs A} \le \abs{a_n - A} + \lim_{x\to0} \frac{e^{1-\cos x}-1}{x^2} + = \lim_{x\to0} \frac{e^{1-\cos x}-1}{2(1-\cos x)} + = \frac12. \end{equation*} - 可知, 取同样的\(N\)即可. - \end{proof} -\end{example} + \end{remark} +\end{example*} -\begin{example} - 若\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = A\), 则\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} = A\). - \begin{proof} - 对于任意的\(ε > 0\), 因为\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = A\), 所以存在\(N_0\), 使得当\(n > N_0\)时都有 - \begin{align*} - \abs[\bigg]{\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} - A} - &= \abs[\bigg]{\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n - nA}{n}} \\ - &= \abs[\bigg]{\frac{(a_1-A) + (a_2-A) + \dots + (a_n-A)}{n}} \\ - &\le \frac{\abs{a_1-A} + \abs{a_2-A} + \dots + \abs{a_n-A}}{n} \\ - &= \frac{\abs{a_1-A} + \dots + \abs{a_{N_0}-A}}{n} - + \frac{\abs{a_{N_0+1}-A} + \dots + \abs{a_n-A}}{n} \\ - &< \frac{N_0 \maxb{a_1-A,\dots,a_{N_0}-A}}{n} + \frac{(n-N_0)ε}{n} \\ - &< \frac{N_0 \maxb{a_1-A,\dots,a_{N_0}-A}}{n} + ε. - \end{align*} - 此时, 取\(N = \maxb[\Big]{N_0,\ceil[\Big]{\frac{N_0 \maxb{a_1-A,\dots,a_{N_0}-A}}{ε}}}\), 当\(n > N\)时都有 +\begin{example*} + 求\(\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\ln(1+ax^m)}{1-\cos(1-\cos x)}\ (a \ne 0, m > 0)\). + + \begin{remark} + 使用等价无穷小量替换和复合法则, 有 \begin{equation*} - \abs*{\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} - A} - < 2ε. \qedhere + \lim_{x\to0} \frac{\ln(1+ax^m)}{1-\cos(1-\cos x)} + = \lim_{x\to0} \frac{ax^m}{(1-\cos x)^2\!/2} + = \lim_{x\to0} \frac{ax^m}{x^4\!/8} + = \lim_{x\to0} 8\,ax^{m-4} = + \begin{cases} + 0, & m > 4, \\ + 8\,a, & m = 4, \\ + \infty, & 0 < m < 4. + \end{cases} \end{equation*} - \end{proof} -\end{example} + \end{remark} +\end{example*} -\begin{theorem*} - 若极限\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n\)存在\,\comma 则其值唯一\period +\subpdfbookmark{思考}{B1.2.6.P} +\subsection*{思考} + +\begin{enumerate} +\item 两个无穷小量之和是不是无穷小量? 两个无穷大量之和是不是无穷大量? + + \ifshowsol + 是. 不是. 前者可由极限的加法法则得出. 后者可以构造反例\,, 函数\(f(x) = x,\ g(x) = -x\). 这里的\(f\)和\(g\)在无穷处都是无穷大量\,, 但是\(f+g\)是常函数. + \fi + +\item 任意两个无穷小量是否都可以比阶? 试举例说明. + + \ifshowsol + 不一定. 例如\,, 函数\(x \sin\frac1x\)和\(x\)在原点处都是无穷小量\,, 但是它们的商发散. + \fi +\end{enumerate} + +\ifshowex +\currentpdfbookmark{练习}{B1.2.6.E} +\subsection*{练习} + +\begin{enumerate} +\item 下列说法中, 正确的是\uline{\makebox[6em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + 无穷小量与无穷大量之和为无穷大量 + \item 无穷小量与无穷大量之积为无穷大量 + \item 无穷小量与无穷大量之差为无穷小量 + \item 无穷小量与无穷大量之积为无穷小量 + \end{itemize} + + \ifshowsol + 令\(f(x) = \sin x,\ g(x) = \frac1x\), 则在原点处\(f\)和\(g\)分别是无穷小量和无穷大量. 但是\(f \cdot g\)即不是无穷小量\,, 也不是无穷大量. 所以选项B和D都错了. 设\(f\)和\(g\)在点\(a\)处分别是无穷小量和无穷大量. 对于任意的\(M > 0\)都存在一个去心邻域使得当\(x\)在此邻域上时都有 + \begin{gather*} + \abs*{\,f(x)} < M + \txt{且} + 2\,M < \abs*{g(x)} \\ + \shortintertext{即} + \abs*{\,f(x) \pm g(x)} + \ge \abs[\Big]{\abs*{g(x)} - \abs*{\,f(x)}} + \ge \abs*{g(x)} - \abs*{\,f(x)} + > M. + \end{gather*} + 所以选项A对了而选项C错了. + \fi + +\item 当\(x \to 0\)时, 下列函数中不是无穷小量的是\uline{\makebox[6em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item \(\sin(\tan x^2)\) + \item \(x \cos\frac1x\) + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + \(\sin\paren{\cos x}\) + \item \(\lnp{\sin x + 1}\) + \end{itemize} + +\item 当\(x \to 0^+\)时, 下列函数中不是无穷大量的是\uline{\makebox[6em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item \(x - \ln x\) + \item \(x + \ln x\) + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + \(x \ln x\) + \item \(\dfrac{\ln x}{x}\)\rule{0ex}{3.5ex} + \end{itemize} + + \ifshowsol + 对于选项C, 令\(t = -\ln x\), 实际上有 + \begin{equation*} + \lim_{\,x \to 0^+\!} \!x \ln x + = - \smashoperator{\lim_{\,t \to +\infty\!}} te^{-t} + = 0. + \end{equation*} + \fi + +\item 当\(x \to 0^+\)时, 下列无穷小量按照其阶由低到高排列正确的是\uline{\makebox[10em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item \(\sin x^2,\ \sin(\tan x),\ e^{x^3}-1,\ \lnp{1+\sqrt x}\) + \item \(\lnp{1+\sqrt x},\ \sin x^2,\ \sin(\tan x),\ e^{x^3}-1\) + \item \(\sin(\tan x),\ \lnp{1+\sqrt x},\ \sin x^2,\ e^{x^3}-1\) + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + \(\lnp{1+\sqrt x},\ \sin(\tan x),\ \sin x^2,\ e^{x^3}-1\) + \end{itemize} + + \ifshowsol + 实际上\,, 有 + \begin{equation*} + \lnp{1+\sqrt x} \sim \sqrt x, \quad + \sin(\tan x) \sim x, \quad + \sin x^2 \sim x^2, \quad + e^{x^3}-1 \sim x^3. + \end{equation*} + \fi + +\item 当\(n \to \infty\)时, 下列无穷大量按照其阶由低到高排列正确的是\uline{\makebox[6em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + \(\sqrt n,\ n^2,\ e^n,\ n!,\ n^n\) + \item \(n^2,\ e^n,\ n!,\ \sqrt n,\ n^n\) + \item \(\sqrt n,\ n^2,\ n!,\ e^n,\ n^n\) + \item \(\sqrt n,\ n^2,\ n!,\ n^n,\ e^n\) + \end{itemize} + + \ifshowsol + 关于\(e^n = \littleop{n!}\), 参见例\ref{eg:factexp}. 下面证明一下, 对于给定的数\(a > 1\)和正整数\(k\), 都有\(n^k = \littleop{a^n}\). \begin{proof} - 假设\(A_1\)和\(A_2\)都是数列\(\Seq{a_n}\)的极限且\(A_1 \ne A_2\). 那么对于任意的\(ε > 0\), 就可以找到正整数\(N_1\)和\(N_2\), 当\(n > N_1\)时都有\(\abs{a_n - A_1} < ε\), 当\(n > N_2\)时都有\(\abs{a_n - A_2} < ε\). 这时, 取\(N = \maxb{N_1,N_2}\), 当\(n > N\)时都有 + 令\(α = a - 1\), 则 \begin{gather*} - 2\abs[\bigg]{a_n - \frac{A_1+A_2}{2}} = \abs[\big]{2a_n - (A_1+A_2)} \le \abs[\big]{a_n - A_1} + \abs[\big]{a_n - A_2} < 2ε, \\ - \intertext{即} - \abs[\bigg]{a_n - \frac{A_1+A_2}{2}} < ε. + a^n = (1+α)^n = \sum_{j=0}^n \binom nj α^j > \binom{n}{k+1} α^{k+1} + = α^{k+1} n^{k+1} + \bigOp{n^k}, \\ + \shortintertext{所以有} + 0 < \frac{n^k}{a^n} < \frac{n^k}{α^{k+1} n^{k+1} + \bigOp{n^k}} + = \frac{1}{α^{k+1} n + \bigOp{1}}. + \qedhere \end{gather*} - 这就说明\(\frac{A_1+A_2}{2}\)也是数列\(a_n\)的一个极限. 那么对于任意的\(0 < ε \le \frac{\abs{A_1-A_2}}{2}\), 也能找到这样的正整数\(N\)使得当\(n > N\)时上述几个不等式都成立. 但是这是不可能的, 因为不论\(a_n\)多大, 到\(A_1\)和\(A_2\)的距离, 其中之一必然大于\(ε\). 因此, \(A_1 = A_2\). \end{proof} -\end{theorem*} + \fi + +\item 当\(x \to 0^+\)时, 与\(\sqrt x\)等价的无穷小量是\uline{\makebox[6em]{}}. + \begin{itemize} + \renewcommand{\labelitemi}{\faCircleThin} + \item \(1 - e^{\sqrt x}\) + \ifshowsol + \item[\faCircle] + \else + \item + \fi + \(\ln \dfrac{1+x}{1-\sqrt x}\)\rule[-2ex]{0ex}{5ex} + \item \(\sqrt{1 + \sqrt x} - 1\) + \item \(1 - \cos\sqrt x\) + \end{itemize} -\begin{theorem*} - 若数列\(\Seq{a_n}\)收敛\,\comma 则其有界\period - \begin{proof} - 假设数列\(\Seq{a_n}\)收敛于\(A\). 任取一个\(ε > 0\), 则存在正整数\(N\)使得当\(n > N\)时都有\(\abs{a_n - A} < ε\), 即 - \begin{equation*} - A - ε < a_n < A + ε - \end{equation*} - 此时, \(\maxb{\abs{A+ε},\abs{A-ε}, \abs{a_1}, \dots, \abs{a_N}}\)就是数列\(\Seq{a_n}\)的一个界. - \end{proof} -\end{theorem*} + \ifshowsol + 实际上\,, 有 + \begin{equation*} + 1 - e^{\sqrt x} \sim -\sqrt x, \quad + \ln \dfrac{1+x}{1-\sqrt x} \sim \sqrt x, \quad + \sqrt{1 + \sqrt x} - 1 \sim \frac{\sqrt x}{2}, \quad + 1 - \cos\sqrt x \sim \frac x2. + \end{equation*} + \fi + +\item 当\(x \to 0\)时, 有\(\paren{1-ax^2}^{1/4} - 1 \sim x \sin x\). 求\(a\)的值. -\begin{theorem*} - 若\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = A\)且\(A > 0\)\comma 则存在\(N > 0\)使得当\(n > N\)时都有\(a_n > 0\)\scolon 若 -\end{theorem*} + \ifshowsol + 因为\(x \sin x \sim x^2\)和\(\paren{1-ax^2}^{1/4} - 1 \sim -ax^2/4\), 所以有\(a = 4\). + \fi +\end{enumerate} +\fi -\setcounter{chapter}{5} +\chapter{连续函数} + +\chapter{导数与微分} + +\chapter{导数应用} \chapter{原函数与不定积分} @@ -1730,7 +3826,7 @@ \section{概念与性质} (1) $ f \in C(a,b) $, 则$ f $在$(a,b)$内一定存在原函数.（下一章, 即第7章）\\ (2) $f$在$(a,b)$不连续, 是否还有可能存在原函数?} -\hypertarget{E:discontI}{} +\hypertarget{eg:discontI}{} \textbf{反例} \begin{gather*} f(x) = @@ -1770,7 +3866,7 @@ \section{概念与性质} 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} + 2, & x \ne 0 \\ -2, & x = 0 \end{cases}\] -$x=0$是第二类间断点, $f(x)$在$(a,b)\ (a<0, b>0)$上不存在原函数. (cf.~\hyperlink{E:discontI}{反例}) +$x=0$是第二类间断点, $f(x)$在$(a,b)\ (a<0, b>0)$上不存在原函数. (cf.~\hyperlink{eg:discontI}{反例}) \textbf{问题III：}若$f(x)$在$(a,b)$上有原函数, 有几个原函数? @@ -1955,7 +4051,7 @@ \subsection{第一换元法\label{6.2.1}} && \mreason{ u = \sin x } \end{align*} -\hypertarget{E:arctan}{} +\hypertarget{eg:arctan}{} \exds{3}{ \int \frac{dx}{a^2 + x^2} \quad (a \ne 0). } \begin{align} @@ -1994,7 +4090,7 @@ \subsection{第二换元法\label{6.2.2}} 若右边的原函数可求得, 记\disp{ G(t) = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) \, dt }, 则 \[ \int f(x) \, dx = G(\varphi^{-1}(x)) + C. \] -\hypertarget{E:sinsub}{} +\hypertarget{eg:sinsub}{} \exds{1}{ \int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx. } 假设$ a > 0 $, 则$ -a \le x \le a$. @@ -2389,7 +4485,7 @@ \subsection{四个特殊函数的不定积分} \[ I_{n,a^2}(x) = \int \frac{\dx}{\paren[\big]{x^2 + a^2}^n}, \] - 那么\(I_{1,a^2}(x)\)就是\ref{6.2.1}中的\hyperlink{E:arctan}{例3}. 此外还有 + 那么\(I_{1,a^2}(x)\)就是\ref{6.2.1}中的\hyperlink{eg:arctan}{例3}. 此外还有 \begin{align*} I_{n,a^2}(x) &= \frac{x}{\paren[\big]{x^2 + a^2}^n} - \int x \diff\brkt[\bigg]{\frac{1}{\paren[\big]{x^2 + a^2}^n}} \\ @@ -2660,7 +4756,7 @@ \section{简单无理式的积分\label{6.5}} \item \(\displaystyle \int R\paren[\big]{x, \sqrt{q^2 - (x+p)^2}} \dx\), 用\(x + p = q \sin t\)做替换. \end{itemize} -前面\ref{6.2.2}的\hyperlink{E:sinsub}{例1}就属于这一类型的替换. +前面\ref{6.2.2}的\hyperlink{eg:sinsub}{例1}就属于这一类型的替换. \exds{1}{\int \frac{\dx}{1+\sqrt{x^2+2x+2}}}. @@ -2699,7 +4795,7 @@ \section{简单无理式的积分\label{6.5}} = \int R\paren[\Big]{\frac{dt^n-b}{a-ct^n}, t} \frac{(ad-bc)nt^{n-1}}{(a-ct^n)^2} \dt. \] -\hypertarget{E:rootI}{} +\hypertarget{eg:rootI}{} \exds{3}{\int \frac{\dx}{\sqrt[3]{(x-1)(x+1)^2}}}. 用\(t = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}\)做换元, 则\(x = \frac{t^3+1}{t^3-1},\ \dx = -\frac{2(3t^2)}{(t^3-1)^2} \dt\), 那么 @@ -2763,7 +4859,7 @@ \subsection*{练习} \item \(\displaystyle \int \frac{\dx}{\sqrt[3]{(x-1)(x+1)^2}}\). \ifshowsol - 这题就是\ref{6.5}的\hyperlink{E:rootI}{例3} + 这题就是\ref{6.5}的\hyperlink{eg:rootI}{例3} \fi \item \(\displaystyle \int \frac{\dx}{1 + \sin x}\). @@ -2931,7 +5027,7 @@ \subsection*{练习} \item \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \int_0^1 \frac{x^n e^x}{1+e^x} \dx\). \ifshowsol - 在区间\([0, 1]\)上, 这个被积函数可以看成一个有界变量和\(x^n\)的乘积, 易知\(x^n\)是它的一个上界. 那么只要证明\(\int_0^1 x^n \dx\)的极限是\(0\), 即可证明所求积分的极限也是\(0\). + 在区间\([0, 1]\)上\,, 这个被积函数可以看成一个有界变量和\(x^n\)的乘积, 易知\(x^n\)是它的一个上界. 那么只要证明\(\int_0^1 x^n \dx\)的极限是\(0\), 即可证明所求积分的极限也是\(0\). \fi \item 设\(f(x)\)为\((0,+\infty)\)上的单调减函数, 试比较\(\sum_{k=1}^n f(k),\ \int_1^{n+1} f(x) \dx,\ \int_1^{n} f(x) \dx\)的大小关系. @@ -3510,6 +5606,9 @@ \section{反常积分} \subsection*{练习} \fi +\chapter{级数} + + \end{document} % Local Variables: