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239.sliding-window-maximum.md

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题目地址(239. 滑动窗口最大值)

https://leetcode-cn.com/problems/sliding-window-maximum/

题目描述

给定一个数组 nums，有一个大小为 k 的滑动窗口从数组的最左侧移动到数组的最右侧。你只可以看到在滑动窗口内的 k 个数字。滑动窗口每次只向右移动一位。

返回滑动窗口中的最大值。

 

进阶：

你能在线性时间复杂度内解决此题吗？

 

示例:

输入: nums = [1,3,-1,-3,5,3,6,7], 和 k = 3
输出: [3,3,5,5,6,7]
解释:

  滑动窗口的位置                最大值
---------------               -----
[1  3  -1] -3  5  3  6  7       3
 1 [3  -1  -3] 5  3  6  7       3
 1  3 [-1  -3  5] 3  6  7       5
 1  3  -1 [-3  5  3] 6  7       5
 1  3  -1  -3 [5  3  6] 7       6
 1  3  -1  -3  5 [3  6  7]      7
 

提示：

1 <= nums.length <= 10^5
-10^4 <= nums[i] <= 10^4
1 <= k <= nums.length

前置知识

  • 队列
  • 滑动窗口

公司

  • 阿里
  • 腾讯
  • 百度
  • 字节

思路

符合直觉的想法是直接遍历 nums, 然后然后用一个变量 slideWindow 去承载 k 个元素， 然后对 slideWindow 求最大值，这是可以的，遍历一次的时间复杂度是 $N$，k 个元素求最大值时间复杂度是 $k$， 因此总的时间复杂度是 O(n * k).代码如下：

JavaScript:

var maxSlidingWindow = function (nums, k) {
  // bad 时间复杂度O(n * k)
  if (nums.length === 0 || k === 0) return [];
  let slideWindow = [];
  const ret = [];
  for (let i = 0; i < nums.length - k + 1; i++) {
    for (let j = 0; j < k; j++) {
      slideWindow.push(nums[i + j]);
    }
    ret.push(Math.max(...slideWindow));
    slideWindow = [];
  }
  return ret;
};

Python3:

class Solution:
    def maxSlidingWindow(self, nums: List[int], k: int) -> List[int]:
        if k == 0: return []
        res = []
        for r in range(k - 1, len(nums)):
            res.append(max(nums[r - k + 1:r + 1]))
        return res

但是如果真的是这样，这道题也不会是 hard 吧？这道题有一个 follow up，要求你用线性的时间去完成。

其实，我们没必须存储窗口内的所有元素。 如果新进入的元素比前面的大，那么前面的元素就不再有利用价值，可以直接移除。这提示我们使用一个单调递增栈来完成。

但由于窗口每次向右移动的时候，位于窗口最左侧的元素是需要被擦除的，而栈只能在一端进行操作。

而如果你使用数组实现，就是可以在另一端操作了，但是时间复杂度仍然是 $O(k)$，和上面的暴力算法时间复杂度一样。

因此，我们考虑使用链表来实现，维护两个指针分别指向头部和尾部即可，这样做的时间复杂度是 $O(1)$，这就是双端队列。

因此思路就是用一个双端队列来保存接下来的滑动窗口可能成为最大值的数。

具体做法：

  • 入队列
  • 移除失效元素，失效元素有两种

  1. 一种是已经超出窗口范围了，比如我遍历到第 4 个元素，k = 3，那么 i = 0 的元素就不应该出现在双端队列中了 具体就是索引大于 i - k + 1的元素都应该被清除

  2. 小于当前元素都没有利用价值了，具体就是从后往前遍历（双端队列是一个递减队列）双端队列，如果小于当前元素就出队列

经过上面的分析，不难知道双端队列其实是一个递减的一个队列，因此队首的元素一定是最大的。用图来表示就是：

关键点解析

  • 双端队列简化时间复杂度

  • 滑动窗口

代码

JavaScript:

JS 的 deque 实现我这里没有写， 大家可以参考 collections/deque

var maxSlidingWindow = function (nums, k) {
  // 双端队列优化时间复杂度, 时间复杂度O(n)
  const deque = []; // 存放在接下来的滑动窗口可能成为最大值的数
  const ret = [];
  for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
    // 清空失效元素
    while (deque[0] < i - k + 1) {
      deque.shift();
    }

    while (nums[deque[deque.length - 1]] < nums[i]) {
      deque.pop();
    }

    deque.push(i);

    if (i >= k - 1) {
      ret.push(nums[deque[0]]);
    }
  }
  return ret;
};

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(N * k)$，如果使用双端队列优化的话，可以到 $O(N)$
  • 空间复杂度：$O(k)$

Python3:

class Solution:
    def maxSlidingWindow(self, nums: List[int], k: int) -> List[int]:
        q = collections.deque() # 本质就是单调队列
        ans = []
        for i in range(len(nums)):
            while q and nums[q[-1]] <= nums[i]: q.pop() # 维持单调性
            while q and i - q[0] >= k: q.popleft() # 移除失效元素
            q.append(i)
            if i >= k - 1: ans.append(nums[q[0]])
        return ans

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(N)$
  • 空间复杂度：$O(k)$

扩展

为什么用双端队列

因为删除无效元素的时候，会清除队首的元素（索引太小了）或者队尾(元素太小了)的元素。 因此需要同时对队首和队尾进行操作，使用双端队列是一种合乎情理的做法。

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